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2024-2025学年河南省南阳市方城第一高级中学高一（下）质检
数学试卷（7月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在平行四边形中，与相交于点，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，，，若，则( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.如图，函数的图象与轴交于点，将绘有该函数图象的纸片沿轴折成直二面角，如图，若折叠后，两点间的距离为，则( )
A. B. C. D.
7.已知直线和平面，若，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，，则
8.为弘扬中华优秀传统文化，进一步推进成语文化更好地传承，郑州市各中小学和幼儿园持续推进“成语文化进校园”活动，甲、乙两人组成“星队”参加此项活动活动规则如下：每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结
果也互不影响“星队”在两轮活动中猜对个成语的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为关于的方程在复数范围内的一个根，则( )
A.
B.
C. 为纯虚数
D. 为关于的方程的另一个根
10.已知函数，方程在区间上有且仅有个解，则下列说法中错误的有( )
A. 的取值范围是
B. 的最小正周期可能是
C. 在区间上有且仅有个不同的零点
D. 在区间上单调递增
11.如图，四面体中，等边的边长为，，，平面平面，则下列选项正确的是( )
A. 四面体的体积为
B. 直线与直线所成角的大小为
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.设非零向量，，满足，且，若向量在上的投影向量为，则向量与的夹角是______．
13.现有一组数据，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数为______，方差为______．
14.设，，分别为的内角，，的对边已知，则______，______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
若，求的值；
若，求向量与夹角的余弦值．
16.本小题分
已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
求函数和的解析式；
求函数的单调递增区间和对称中心；
求函数在区间上的值域．
17.本小题分
已知函数．
若的最小正周期为，求的单调递增区间；
若在区间上恰有两个零点，求的取值范围．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量作：，，当不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定．
已知，求；
若向量，求证：；
记，且满足，求的最大值．
19.本小题分
某市组织了一场面向全市大学生、中学生、小学生的科技节活动，为了解对活动的满意度，特随机向参与活动的同学做问卷调查，共收集了份问卷，并统计每个问卷的满意度得分满分分，绘制了如下频率分布直方图：
求频率分布直方图中的值；
估计该满意度得分的第百分位数精确到和总体平均数；
已知填写问卷的同学中，大学生、中学生、小学生的人数比例为：：，其中大学生满意度得分的平均数为，方差为；小学生满意度得分的平均数为，方差为请结合频率分布直方图，估计中学生对该活动满意度得分的平均数和方差．
参考公式：若总体划分为层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，，记总体样本平均数为，样本方差为，则．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.，，
，，
又，
，
即，
；
因为，
所以，解得，，
所以．
16.由图象可知，，解得，
所以，，
又的图象过点，所以，
所以，解得，
又，所以，，
将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到．
令，，解得，，
即函数的单调递增区间为，
令，，解得，，
所以函数的对称中心为；
当时，，所以，
所以，即函数的值域为．
17.解：由题意知
，
因为的最小正周期为，且，所以，
解得，所以，
令，，
解得，，
即的单调递增区间为．
令，得，
当时，，
又在区间上恰有两个零点，即有两解，
所以，
解得，即的取值范围是．
18.根据题意可知，，得；
证明：因为，，所以，
因此，同理，
所以；
根据题意可知，当为锐角时，，
当为钝角时，，
当为锐角时，
，
当时，取到最大值，
当为钝角时，
，
当，即时，取得最大值，
故最大值．
19.由频率分布直方图得：
，解得；
到分累计：，
到分累计：，
到分累计：，
因，第百分位数在组，，
份问卷的平均分可估计为：
，
用样本估计总体，可以估计游客对该景点满意度的总体平均数为；
由频率分布直方图，份问卷的方差可估计为：
，
用样本估计总体，则所有游客满意度平均分为，方差为，
儿童游客满意度平均分为，方差为，
老年人游客满意度平均分为方差为，
估计中青年游客对该景点满意度的平均分为，方差，
则，
所以，，
得，所以估计中青年游客对该景点满意度的平均分为，方差．
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