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2024-2025学年江西省萍乡市芦溪中学高二（下）期中数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1.已知离散型随机变量 的分布列为 ( = ) = 3 ( = 1,2,3)，则 ( ≥ 2) =( )
A. 1 1 26 B. 3 C. 3 D. 1
2.已知等差数列{ }的前 项和为 ， 3 + 9 = 12，则 11 =( )
A. 66 B. 72 C. 132 D. 144
3.在( 5 1)5的展开式中， 2的系数为( )
A. 250 B. 500 C. 250 D. 500
4.直线 ：3 4 + = 0( > 0)与圆 ： 2 + 2 = 16 相交于 ， 两点，当 = 8 时 的值为( )
A. 10 B. 8 C. 6 D. 4
5.已知直线 ：4 + 3 + 6 = 0 与圆 ： 2 + 2 2 + = 0( < 1)相切，则 =( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
6.已知等差数列{ }和{
3 +4
}的前 项和分别为 、 ，若 6 = +2，则 =( ) 6
A. 111 B. 37 C. 111 3713 13 26 D. 26
7.用五种不同颜色的涂料涂在如图所示的五个区域，相邻两个区域不能同色，且至少要用四种颜色，则不
同的涂色方法有( )
A. 240
B. 480
C. 420
D. 360
8.将一根长为 3 的铁丝截成 9 段，使其组成一个正三棱柱的框架(铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和)，
则该正三棱柱的体积最大为( )
A. 336 B.
3 C. 3 372 108 D. 324
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 ， ∈ ，且 ≥ ≥ 2，则下列等式一定正确的是( )
A. 1 = 20242025 2025 B. 710 = 7 710 7
C. + 1 = +1 D. 1 1 =
10.已知函数 ( ) = ( )2( + )，下列结论正确的是( )
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A.若 ( )为奇函数，则 = 1
B. ( ) 的图象关于直线 = 2对称
C.若 = 0 ，则 ( )的单调递增区间为[ 2 + 2 , 2 + 2 ]， ∈
D.当 ∈ (3, + ∞)时， ( )在[ 3 2 + 2 , 2 + 2 ]， ∈ 上单调递增
11.已知数列{ }满足 +1 + = ( )，则下列说法中正确的是( )
A.若 1 = 2， ( ) = 4 + 2，则{ }是等差数列
B.若 1 = 1， ( ) = 2 1，则{ }是等差数列
C.若 1 = 1， ( ) = 4，则{ }是等比数列
D.若 1 = 2， ( ) = 3 2 ，则{ }是等比数列
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知 ， 是两个离散型随机变量，且 = 2 + 7，若 ( ) = 2025，则 ( ) = ______．
13.从 1，2，3，4，5，6，7 这 7 个数中任取 3 个不同的数，则这 3 个不同的数的中位数为 4 的概率为______．
14 3.已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点 到其准线的距离为2，若等边三角形 1

( ∈ )的边 1
在 轴的非负半轴上， 0与原点 重合，点 的横坐标大于点 1的横坐标，位于第一象限的点 ，在抛物
线 上，则| 1 | = ______. (用含 的式子表示)
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
若(1 + )5 = 0 + 1 + 22 + 3 4 53 + 4 + 5 ，其中 3 = 80．
(1)求 的值；
(2)求( 2 20 + 2 + 4) ( 1 + 2 + 3) ．
16.(本小题 15 分)
已知数列{ }的前 项和为 ，且 = +1 ， 2 = 2 1 + 1．
(1)求 1， 2，并证明：数列{ + 1}为等比数列；
(2)求 1 + 2 + … + 10的值．
17.(本小题 15 分)
2 2
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的右焦点为 ( , 0)，过点 的直线 交 的右支于 ， 两点，当 ⊥
2
轴时，| | = 3 ．
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(1)求双曲线 的离心率；
(2) 若直线 的倾斜角为4，且 经过点 ( 3, 0)， 为双曲线 的左支上一动点，求△ 面积的最小值．
18.(本小题 17 分)
对于三次函数 ( ) = 3 + 2 + + ( ≠ 0)，给出定义：设 ′( )是函数 = ( )的导数， ″( )是函
数 ′( )的导数，若方程 ″( ) = 0 有实数解 0，则称点( 0, ( 0))为函数 = ( )的“拐点”.某同学经过
探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.
给定函数 ( ) = 13
3 1 2 132 + 12，请你根据上面的探究结果，解答以下问题：
(1)求 = ( )的对称中心．
(2) = ( 1 ) + ( 2 3 2 1求 2 2 ) + ( 2 ) + … + ( 2 )．
(3)记数列{ }的前

项和为 ，数列{ }的前 项和为 ，若 ≤ 对 ∈ +恒成立，求 的取值范 +1
围．
19.(本小题 17 分)
若随机变量 ， 均为定义在同一样本空间 上的离散型随机变量，则将( , )称为二维离散型随机变量，将
( , )取值为( , )的概率记作 ( = , = )，其中 ， = 1，2， ， ．
甲、乙两人进行足球点球比赛，约定如下：甲、乙各点一次球，点球者进球得 1 分，不进球得 1 分，分数
高者获胜，比赛结束. 1若平局，甲、乙再通过抽签决定谁点球，且甲、乙抽中签的概率均为2，抽中签者点球，
进球得 1 分，不进球得 1 分；未抽中者不点球，得 0 分，分数高者获胜，比赛结束.已知甲、乙每次进球
1 2
的概率分别为2，3，且每次点球之间相互独立.记甲得分为 ，乙得分为 ．
(1)求 ( = 1, = 0)， ( = 2, = 1)；
(2)求 ( = 0| = 1)；
(3)已知随机事件 = 1 发生了，求随机变量 的分布列与数学期望．
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参考答案
1.
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3.
4.
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6.
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8.
9.
10.
11.
12.1009
13. 935
14.2
15.解：(1 + )5 = + + 2 3 4 50 1 2 + 3 + 4 + 5 ，其中 3 = 80．
(1)易知展开式中含 3项为 3 3512( )3 = 3 3 35 ，
因此可得 3 = 3 35 = 80，即 10 3 = 80；
解得 = 2；
(2)由(1)可知，二项式为(1 + 2 )5，
令 = 1，可得(1 + 2 × 1)5 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 35；
令 = 1，可得(1 2 × 1)5 = 0 1 + 2 3 + 4 55 = ( 1) ；
因此可得( 2 20 + 2 + 4) ( 1 + 2 + 3) = ( 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5)( 0 1 + 2 3 + 4 5) =
243．
16.(1)由 = +1 ， 2 = 2 1 + 1，
可得 1 = 1 = 2 1 = 2 1，
解得 1 = 0， 2 = 1，
当 ≥ 2 时，有 = +1 ，可得 1 = ( 1)，
得 = 1 = +1 1，即 +1 = 2 + 1，
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即有 +1 + 1 = 2( + 1)，
上式对 = 1 也成立，
所以数列{ + 1}是首项为 1，公比为 2 的等比数列．
(2)由(1)得， + 1 = 2 1 ，∴ = 2 1 1，

∴ = 1 + 22 + + = (1 + 2 + 2 + + 2 1) =
1 2 = 2 1 2 1，
∴ 2 101 + 2 + + 10 = (2 + 2 + + 2 ) (1 + 2 + + 10) 10
2(1 210= ) 10×111 2 2 10 = 2
11 2 55 10 = 1981．
17.(1) ⊥ | | = 2当 轴时， 3 ，
因为过点 的直线 交 的右支于 ， 两点，
将 = 代入双曲线方程中，
2 2
可得
2

2 = 1，
又 2 = 2 + 2，
2
解得 =± ，
2
所以| | = 2 ，
2 2此时
3 =
2 ，

整理得 2 = 3 2，
所以 2 = 2 + 2 = 4 2，
2 4
此时 2 = 2 = ，3
因为 > 1，
所以 = 2 3；3
(2)因为双曲线 过点 ( 3, 0)，
所以 = 3，
此时 2 = 1 23 = 1，
2
所以双曲线 的方程为 2 = 1，右焦点 (2,0)，3
设直线 ： 0 = tan 4 ( 2)，
即 = 2，
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= 2
联立 2 2 ，消去 并整理得 2
2 12 + 15 = 0，
3 = 1
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
由韦达定理得 1 + 2 = 6, =
15
1 2 2，
所以| | = 1 + 2 ( + 21 2) 4 1 2 = 2 6 = 2 3．
设过点 与直线 平行的直线 1的方程为 = + ，
当 1与双曲线 的左支相切时， 1与 之间的距离最小，
此时△ 的面积最小．
= +
联立 2 2 ，消去 并整理得 2 2 + 6 + 3 2 + 3 = 0，
3 = 1
此时 = (6 )2 8(3 2 + 3) = 0，
解得 =± 2．
当 = 2时， 1与双曲线 的右支相切，不符合题意；
当 = 2时， 1与双曲线 的左支相切，符合题意，
所以 = 2，
= |2+ 2|其与直线 的距离为 2 = 2 + 1．
孤△ 1面积的最小值为2 | | =
1
2 2 3( 2 + 1) = 6 + 3．
18.(1) ′( ) = 2 ，
因此 ″( ) = 2 1，
令 ″( ) = 0 1，可得 = 2，
易知 ( 1 1 1 3 12 ) = 3 × ( 2 ) 2 × (
1 )2 + 132 12 = 1，
1
因此 = ( )的对称中心为( 2 , 1)；
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(2)由(1)中 = ( ) 1的对称中心为( 2 , 1)，可得 ( ) + (1 ) = 2，
= ( 1 ) + ( 2因为 2 2 ) + (
3 2 1
2 ) + . . . + ( 2 )，
因此 = (
2 1 2 2 2 3
2 ) + ( 2 ) + ( 2 ) + . . . + (
1
2 )，
2 = [ ( 1 ) + ( 2 1 )] + [ ( 2 ) + ( 2 2 )] + . . . + [ ( 2 1 ) + ( 1两式相加可得 2 2 2 2 2 2 )]
= 2(2 1)，
可得 = 2 1，
(3)由(2)可得数列{ }为等差数列，且 1 = 1，
(1+2 1)
因此 = 2 =
2；
1 1 1
=
2 2 4+4 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1可得 +1 (2 1)(2 +1)
= 4 2 1 = 4 + 4 2 1 = 4 + 4 (2 1)(2 +1) = 4 + 4 × 2 ( 2 1 2 +1 ) = 4 +
1 ( 1 18 2 1 2 +1 )；
= 1 + 1 ( 1 1 ) + 1+ 1 ( 1 1 ) + . . . + 1+ 1 ( 1 1因此 4 8 1 3 4 8 3 5 4 8 2 1 2 +1 )
= 1 1 1 1 14 + 8 ( 1 3 + 3 5 + . . . +
1 1 1
2 1 2 +1 ) = 4 + 8 (1
1 ) = ( +1)2 +1 2(2 +1)；
若 ≤ 对 ∈
( +1)
+恒成立，可得
2
2(2 +1) ≤ ，
即 ≥ +1 +12 (2 +1) = 4 2+2 ，
令 + 1 = ≥ 2 ≥ 1 1，可得 4 2 6 +2 = 恒成立，因此 ≥ ( ) , ∈ [2, + ∞)；4 6+2 4 6+2
令 = 4 6 + 2 2 ，由对勾函数性质可知函数 = 4 6 + 在[2, + ∞)上单调递增，
2 1因此 = 4 × 2 6 + 2 = 3，可得 ≥ 3，
1即 的取值范围为[ 3 , + ∞)．
19.(1)若 = 1， = 0，
此时甲的得分为 1 分，乙的得分为 0，
其情形为甲、乙各进一球，且乙抽到签，未进球，
1 2
因为甲、乙每次进球的概率分别为2，3，且每次点球之间相互独立，
所以 ( = 1, = 0) = 1 2 1 2 12 × 3 × 2 × (1 3 ) = 18，
因为 = 2， = 1 是不可能事件，
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所以 ( = 2, = 1) = 0；
(2)若 = 1，
此时甲的得分为 1 分，
需满足甲进球，乙未进球，或甲进球，乙进球，且乙抽到签，
所以 ( = 1) = 12 × (1
2 1 2 1 1
3 ) + 2 × 3 × 2 = 3，
1
( =1, =0)
则 ( = 0| = 1) = = 18 1 ( =1) 1 = 6；
3
(3)若随机事件 = 1 发生了，
此时甲的得分为 1 分，
需满足甲未进球，乙进球，或甲未进球，乙未进球，且乙抽到签，
所以 ( = 1) = (1 12 ) ×
2
3 + (1
1
2 ) × (1
2 ) × 1 53 2 = 12，
已知 的所有可能取值为 2，0，1，
所以 ( = 1, = 2) = (1 1 2 1 22 ) × (1 3 ) × 2 × (1 3 ) =
1
36，
1
( = 2| = 1) = ( = 1, =0) 36 1 ( = 1) = 5 = 15，
12
( = 1, = 0) = (1 12 ) × (1
2
3 ) ×
1 × 2 12 3 = 18，
1
( = 0| = 1) = ( = 1, =0) 18 2所以 ( = 1) = 5 = 15，
12
( = 1, = 1) = (1 1 2 12 ) × 3 = 3，
1
( = 1| = 1) = ( = 1, =1) 3 4 ( = 1) = 5 = 5，
12
则 的分布列为：
2 0 1
1 2 4
15 15 5
故 ( ) = 2 × 115 + 0 ×
2 4 2
15 + 1 × 5 = 3．
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