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湖南省衡阳市育贤中学2025年中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·衡阳模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故结果错误；
B、，故结果错误；
C、，故结果正确；
D、，故结果错误；
故正确答案为：C.
【分析】A、合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的指数都不变；
B、同底数的乘法，底数不变，指数相加；
C、幂的乘方，底数不变，指数相乘；
D、合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的指数都不变.
2．（2025·衡阳模拟）若，下列关于的方程一定有两个不相等的实数根的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】A．，不能判断与0的大小关系，故不符合题意；
B．，不能判断与0的大小关系，故不符合题意；
C．，不能判断与0的大小关系，故不符合题意；
D．，因为，所以，一定有两个不相等的实数根，故符合题意．
故选：D．
【分析】
对于一元二次方程有根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
3．（2025·衡阳模拟）如图，直线，，AC平分，，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵AC平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选C．
【分析】
先由邻补角的概念可得，再由角平分线的概念得，由直角三角形两锐角互余得，又两直线平行内错角相等，即，最后由计算即可．
4．（2025·衡阳模拟）如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】过点作于点E，于点，
根据题意得：，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
同理：，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】
点B分别作AD和CD的垂线BE和BF，则，再由概念可判定四边形是平行四边形，由于，可由平行线的性质得和都等于，再由直角三角形两锐角互余可得和都等于，再直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半可得，则是菱形，此时再由勾股定理求AD上的高BE即可．
5．（2025·衡阳模拟）如图，在△ABC中，，，若△ADE的周长为，则△ABC的周长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应周长；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】在中，，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC ，
∴，
∵，
∴，
故选择：C．
【分析】
因为，则；由于，则由两位角相等可判定，再由周长比等于相似比可得的周长是为 ．
6．（2025·衡阳模拟）已知，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【分析】
由幂的乘方的逆运算法则可把三个幂转化为同指数幂，再对底数进行大小比较即可，即．
7．（2025·衡阳模拟）如图，是的直径，点是圆上两点，连接，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵∠CBA=25°，
∴∠C=90°-∠CBA=65°，
∴∠C1=∠C=65°，
故选：C．
【分析】
由圆周角定理得出∠BAC=90°，再由直角三角形两锐角互余可得∠C=65°，再由圆周角定理即可得出∠C1=∠C=65°．
8．（2025·衡阳模拟）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国 传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本)，则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：记《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别为，，，，画树状图如下：
∴一共有12种等可能的结果，
抽取的两本恰好是《论语》（即和《大学》（即的可能结果有2种可能，
（抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果），
故答案为：B．
【分析】先用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果，再利用概率公式求解．
9．（2025·衡阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；坐标与图形变化﹣旋转；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：作QM⊥x轴于点M，Q'N⊥x轴于N，
设Q(，)，则PM=，QM=，
∵∠PMQ=∠PNQ'=∠QPQ'=90°，
∴∠QPM+∠NPQ'=∠PQ'N+∠NPQ'，
∴∠QPM=∠PQ'N，
在△PQM和△Q'PN中，
，
∴△PQM≌△Q'PN(AAS)，
∴PN=QM=，Q'N=PM=，
∴ON=1+PN=，
∴Q'(，)，
∴OQ'2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5，
当m=2时，OQ'2有最小值为5，
∴OQ'的最小值为，
故选：B．
【分析】
如图作QM⊥x轴于点M，Q'N⊥x轴于N，由旋转的性质可知QP=PQ`，再根据垂直的概念结合同角的余角相等可得，则PN=QM、Q'N=PM；此时再由直线上点的坐标特征设点Q的坐标为Q(，)，因为P(1，0) ，则PN=QM=，Q'N=PM=，即ON=1+PN=，则点Q`的坐标可求，再利用两点距离公式可得OQ'2是关于m的二次函数，且二次项系数为正，则OQ'2有最小值，再利用二次函数的最值求出这个最小值即可．
10．（2025·衡阳模拟）如图，AB为的直径，BC为的切线，弦AD∥OC，直线CD交的BA延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是的切线；②；③；④．其中正确结论的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：连结．
为的直径，为的切线，
，
，
，．
又，
，
．
在和中，，
，
．
又点在上，
是的切线；故①正确，
，
，
，
垂直平分，
即，故②正确；
为的直径，为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，故③正确；
，
，
，
，
，
，故④正确，
综上，正确的有4个.
故答案为：A．
【分析】由圆的切线垂直经过切点的半径得∠CBO=90°，由二直线平行，内错角相等（同位角相等）得∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD，由等边对等角得∠DAO=∠ADO，由等量代换得∠COD=∠COB，从而由SAS判断出△COD≌△COB，由全等三角形的对应角相等得∠CDO=∠CBO=90°，从而根据“垂直半径外端点的直线是圆的切线”可判断①正确；由全等三角形的对应边相等得CD=CB，结合OB=OD，由“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”得点C、O都在线段BD的垂直平分线上，进而根据“两点确定一条直线”可得CO是BD的垂直平分线，据此可判断②正确；由同角的余角相等得∠EDA=∠ODB，结合等边对等角，由等量代换得到∠EDA=∠ABD，再结合公共角∠E，根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”得到△ADE∽△DBE，据此判断③正确；根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”得到△EOD∽△ECB，由相似三角形对应边成比例得到，据此判断④正确.
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2025·衡阳模拟）函数有意义，则自变量x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：依题意得，
．
故答案为：．
【分析】
分式有意义的条件是分母不等于0．
12．（2025·衡阳模拟）小李同学联系快递员寄A、B两种物品各20个，分别装在甲、乙两个完全相同的快递盒里，A物品每个重，B物品每个重．因为小李同学一时疏忽，导致两个快递盒内的物品虽然数量正确，但部分物品装混了，快递员取件称重时发现甲快递盒比乙快递盒重，则甲快递盒中有　 　个物品装错．
【答案】2
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设甲盒中有x个B物品，则乙盒中有x个A物品，根据题意列方程得：
整理得：，
解得：
则甲快递盒中有2个物品装错，
故答案为：2．
【分析】
设甲盒中有x个B物品，则乙盒中有x个A物品，则甲盒总重量为，乙盒总重量为，再由相等关系“甲快递盒比乙快递盒重”列出关于x的一元一次方程并求解即可．
13．（2025·衡阳模拟）如图，点是数轴上，之间的一个动点（不与，重合），则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：根据题意，得，
解得．
故答案为：．
【分析】
由于数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数字大，可得不等式，再解不等式组即可．
14．（2025·衡阳模拟）如图，在矩形中，与相交于点，于点．若，，则的长为．
【答案】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴；
故答案为：1．
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【分析】
由于矩形的对角线相等且互相平分，即OB=OC=2，再由直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半即可.
15．（2025·衡阳模拟）如图，一根排水管道的横截面是半径为13cm的圆．排水管内有水，若水面宽度AB＝24cm，则水管中的水最大深度为 　 　cm．
【答案】8
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，连接AO，作OC垂直AB交AB于点C，交圆于点D．
∵ AB是圆的一条弦，
∴，
∴在△AOC中，，
∴，
∴水管中的水最大深度为8cm．
故答案为：8．
【分析】
连接AO，作OC垂直AB交AB于点C，交于点D，则OA=OD=13，再由垂径定理得到AC=BC=12，再利用根据勾股定理得CO=5，即CD的长为水管中水的最大深度．
16．（2025·衡阳模拟）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，若点C是x轴上一点，，则k的值为　 　．
【答案】2
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA.
轴，
，
，
，
，
．
故答案为：2．
【分析】
如图所示，连接OA，由同底等高两三角形面积相等可得，再由反比例函数系数k的几何意义得到，由于，即．
17．（2025·衡阳模拟）如图，三角形△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，点P从A出发沿AB运动到点B，作如图的Rt△PQC，且∠P＝30°，∠Q＝90°，点P运动过程中，BQ的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系；四点共圆模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点C作CT⊥AB于点T，连接TQ，过点B作BH⊥QT于点H．
∵∠CQP＝∠CTP＝90°，
∴C，P，T，Q四点共圆．
∴∠CTQ＝∠CPQ＝30°，
∴点Q的运动轨迹是射线TQ，
∵AC＝4，BC＝3，AB＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CBT＝∠ABC，∠ACB＝∠CTB＝90°，
∴△BTC∽△BCA，
∴BC2＝BT BA，
∴BT，
∵∠BTH＝60°，
∴BH＝BT sin60°，
∴当点Q与点H重合时，CQ的值最小，最小值为．
【分析】
过点C作CT⊥AB于点T，连接TQ，由于∠CQP＝∠CTP＝90°，则C，P，T，Q四点共圆，所以∠CTQ＝∠CPQ＝30°，即点Q在射线TQ上运动，此时再过点B作BH⊥QT于点H，显然当Q、H重合时，BQ最小，由于可求∠BTH＝60°，则解Rt △BTH即可得出，此时可利用AA证明 △BTC∽△BCA ，再由相似比求出BT即可．
18．（2025·衡阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点是边上的一点，坐标为，将沿折叠，点落在点处．若的延长线交于，且，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵沿折叠，点落在点处．
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，坐标为，，，
∴．
∴，．
根据勾股定理，得，
解得，
故，，，
过点E作于点G，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
故点；
故答案为：．
【分析】
连接AF，由折叠的性质知AE=AO，由正方形的性质知AB=AO，即AB=AE，则利用“HL”可判定，则BF=EF，设，则，因为，即，则，在中应用根据勾股定理可求得，，，此时再过点E作于点G，可得两角对应相等可判定，再由相似比可分得EG和DG，则OG可得，即点E坐标可得．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2025·衡阳模拟）（1）计算：；
（2）计算：
【答案】解：（1）原式
．
（2）原式
．
【知识点】分式的混合运算；二次根式的乘除混合运算
【解析】【分析】
（1）实数的混合运算，先计算二次根式除法和零指数幂，再计算绝对值，最后计算加减法即可得到答案；
（2）分式的混合运算，先对小括号内的式子通分再相减，再把除法变成乘法并对分子和分母分别分解因式，再约分化结果为最简分式或整式．
20．（2025·衡阳模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
；
当时，
原式．
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；求算术平方根；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先根据分式的混合运算法则化简原式，再利用实数的混合运算求出字母的值，最后把a的值代入化简后的式子求解即可．
21．（2025·衡阳模拟）随着经济快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校为了了解节能减排、垃圾分类等知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”、“了解”、“了解较少”、“不了解”四类，并将结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）估计这所学校3000名学生中，“不了解”的人数是多少人．
（2）“非常了解”的4人中有，，两名男生，，，两名女生，若从中随机抽取两人去参加环保知识竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．
【答案】（1）解：本次调查的学生总人数为，“不了解”对应的百分比，
∴估计该校名学生中“不了解”的人数是（人），
即估计这所学校名学生中，“不了解”的人数是人；
（2）解：将抽取分别记为第一次和第二次，用下表列出所有可能出现的结果
第一次
第二次
由表可知，若从中随机抽取两人去参加环保知识竞赛，可能出现的结果有种，恰好抽到2名男生的结果有2个，
∴P（抽到2名男生），
即恰好抽到2名男生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】
（1）观察扇形统计图和条形统计图，可由非常了解的学生人数及其所占百分比求得调查总人数，用总人数乘以样本中不了解所对应的百分比可得；
（2）两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据.
22．（2025·衡阳模拟）列方程（组）解应用题：重庆某动漫玩具创意企业计划委托供货商生产自己设计的甲、乙两种动漫玩具共7800个投放市场，甲玩具的数量比乙玩具数量的一半少300个．
（1）甲、乙两种动漫玩具的数量分别是多少个？
（2）若供货商安排20人同时生产这两种动漫玩具，每人每天能生产甲玩具20个或乙玩具30个，应分别安排多少人生产甲、乙玩具，才能确保同时完成两种玩具的生产任务？
【答案】（1）解：设乙种动漫玩具的数量为个，则甲种动漫玩具的数量为个，根据题意，得，
解方程，得
故．
答：甲种动漫玩具的数量为2400个，乙种动漫玩具的数量为5400个．
（2）解：设安排m人生产甲种玩具，安排人生产乙种玩具，根据题意，得，
解方程，得．
经检验，是原方程的根，
故，
答：安排8人生产甲种玩具，安排12人生产乙种玩具．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设乙种动漫玩具的数量为个，则甲种动漫玩具的数量为个，根据相等关系“ 甲玩具的数量比乙玩具数量的一半少300个 ”列方程并求解即可．
（2）设安排m人生产甲种玩具，安排人生产乙种玩具，根据相等关系“ 同时完成两种玩具的生产任务 ”列分式方程并求解即可．
（1）解：设乙种动漫玩具的数量为个，则甲种动漫玩具的数量为个，根据题意，得，
解方程，得
故．
答：甲种动漫玩具的数量为2400个，乙种动漫玩具的数量为5400个．
（2）解：设安排m人生产甲种玩具，安排人生产乙种玩具，根据题意，得，
解方程，得．
经检验，是原方程的根，
故，
答：安排8人生产甲种玩具，安排12人生产乙种玩具．
23．（2025·衡阳模拟）某数学活动小组设计采用航拍无人机测量楼高．如图所示，航拍无人机飞行到楼房前方某高度时测得楼房底端B处俯角为，楼房顶端A处俯角为，米．
（1）求此时航拍无人机离地面的垂直距离．
（2）求楼房高度．
（本题参考数据：，结果精确到1米）
【答案】（1）解：
由题意，得，
∴，
在 中，
（米），
即无人机距离地面112米．
（2）解：
在中，
（米），
由题意可知四边形为矩形，
，
在中，
（米），
（米），
米．
即楼房高为49米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；矩形底座模型
【解析】【分析】
（1）过点S作BC的垂线段SF构造，再解直角三角形即可；
（2）过点A作SF的垂线段AE，再解直角三角形可得米，再利用矩形的性质可得米，再解即可求解．
（1）解：
由题意，得，
∴，
在 中，
（米），
即无人机距离地面112米．
（2）解：
在中，
（米），
由题意可知四边形为矩形，
，
在中，
（米），
（米），
米．
即楼房高为49米．
24．（2025·衡阳模拟）如图所示，等腰中，，，点为斜边上一点（不与重合），，连接，将线段绕点沿顺时针方向旋转至，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：由旋转可得，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴。
（2）解：由（）知，
∴，，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，，
，
∴。
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，可得，，又根据，可得，再根据三角形的判定方法，即可求证。
（2）根据（1）可知，可得，，然后再根据等腰直角三角形的性质，可得，，从而可得的值，，代入数据求出BD的值，，再利用勾股定理：，代入数据即可求解。
（1）证明：由旋转可得，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：由（）知，
∴，，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，，
，
∴．
25．（2025·衡阳模拟）四边形是的内接矩形，点E是上的一动点，连接，，，其中交于点F．
（1）如1图，当时，
①求证：；
②若，连接，．求证：四边形是菱形．
（2）如2图，若，，请用含k的式子表示的值．
【答案】（1）①证明：∵，∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴
②证明：如图1，连接，
∵四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∴，
∴
∵
∴
∵，
∴是等边三角形，
∴
∴
∴四边形是菱形
（2）解：如图2，连接，过点E作于点，
∵，
∴是的直径，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴，即
∵，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴
【知识点】菱形的判定；圆周角定理；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）①由可得，由圆周角定理可得，又AE=AE，可依据AAS即可证明 ；
②连接，由于矩形ABCD中，结合已知可得，由圆周角定理知，则，所以AB=AE，又、，则和都是等边三角形，则四边形ABOE的四条国相等，即结论成立．
（2）连接BD，由于，则过点E作AD上的高EH构造直角三角形EAH，则有，即，化比例式为等积式得，此时可利用AA证明，由相似比得，因为，所以，再由勾股定理可得，即．
26．（2025·衡阳模拟）如图，二次函数的图象过、、三点
（1）求二次函数的解析式；
（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；
（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．
【答案】解：（1）把、、代入得
解得
∴二次函数的解析式为；
（2）如图，设OB的中点为E，OB的垂直平分线交y轴于F，设
∵，
∴
∵直线CD垂直平分OB
∴OD=BD
，解得
设直线CD的解析式为
∴，解得
（3）联立
得到
解得x1=-，x2=1，
设P的横坐标为t，则P（t，），
∵过点P作轴，交直线CD于Q，
∴Q（t，-t+）
∴PQ=（-t+）-（）=-
故当t=-时PQ有最大值
此时P的坐标为（-，）．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；线段垂直平分线的性质；二次函数-动态几何问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法即可求解；
（2）如图，设OB的中点为E，OB的垂直平分线交y轴于F，再设，则先由中点坐标公式得出点E坐标，再由垂直平分线的性质定理得OF=BF，结合两点距离公式可得关于m的方程并求解可得点F的坐标，此时可设出直线DC的解析式，再利用待定系数法即可；
（3）如图设P的横坐标为t，由二次函数图象上点的坐标特征可得P（t，），由于PQ垂直x轴，则点Q（t，-t+），则PQ可利用Q与P的纵坐标的差表示，整理得PQ是关于t的二二次函数且二次项系数为负，则PQ有最大值，再利用二次函数的性质即可求解．
1 / 1湖南省衡阳市育贤中学2025年中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·衡阳模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·衡阳模拟）若，下列关于的方程一定有两个不相等的实数根的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·衡阳模拟）如图，直线，，AC平分，，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·衡阳模拟）如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·衡阳模拟）如图，在△ABC中，，，若△ADE的周长为，则△ABC的周长是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·衡阳模拟）已知，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·衡阳模拟）如图，是的直径，点是圆上两点，连接，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·衡阳模拟）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国 传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本)，则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·衡阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为(　　)
A． B． C． D．
10．（2025·衡阳模拟）如图，AB为的直径，BC为的切线，弦AD∥OC，直线CD交的BA延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是的切线；②；③；④．其中正确结论的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2025·衡阳模拟）函数有意义，则自变量x的取值范围是　 　．
12．（2025·衡阳模拟）小李同学联系快递员寄A、B两种物品各20个，分别装在甲、乙两个完全相同的快递盒里，A物品每个重，B物品每个重．因为小李同学一时疏忽，导致两个快递盒内的物品虽然数量正确，但部分物品装混了，快递员取件称重时发现甲快递盒比乙快递盒重，则甲快递盒中有　 　个物品装错．
13．（2025·衡阳模拟）如图，点是数轴上，之间的一个动点（不与，重合），则的取值范围是　 　．
14．（2025·衡阳模拟）如图，在矩形中，与相交于点，于点．若，，则的长为．
15．（2025·衡阳模拟）如图，一根排水管道的横截面是半径为13cm的圆．排水管内有水，若水面宽度AB＝24cm，则水管中的水最大深度为 　 　cm．
16．（2025·衡阳模拟）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，若点C是x轴上一点，，则k的值为　 　．
17．（2025·衡阳模拟）如图，三角形△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，点P从A出发沿AB运动到点B，作如图的Rt△PQC，且∠P＝30°，∠Q＝90°，点P运动过程中，BQ的最小值为　 　．
18．（2025·衡阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点是边上的一点，坐标为，将沿折叠，点落在点处．若的延长线交于，且，则点的坐标为　 　．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2025·衡阳模拟）（1）计算：；
（2）计算：
20．（2025·衡阳模拟）先化简，再求值：，其中．
21．（2025·衡阳模拟）随着经济快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校为了了解节能减排、垃圾分类等知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”、“了解”、“了解较少”、“不了解”四类，并将结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）估计这所学校3000名学生中，“不了解”的人数是多少人．
（2）“非常了解”的4人中有，，两名男生，，，两名女生，若从中随机抽取两人去参加环保知识竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．
22．（2025·衡阳模拟）列方程（组）解应用题：重庆某动漫玩具创意企业计划委托供货商生产自己设计的甲、乙两种动漫玩具共7800个投放市场，甲玩具的数量比乙玩具数量的一半少300个．
（1）甲、乙两种动漫玩具的数量分别是多少个？
（2）若供货商安排20人同时生产这两种动漫玩具，每人每天能生产甲玩具20个或乙玩具30个，应分别安排多少人生产甲、乙玩具，才能确保同时完成两种玩具的生产任务？
23．（2025·衡阳模拟）某数学活动小组设计采用航拍无人机测量楼高．如图所示，航拍无人机飞行到楼房前方某高度时测得楼房底端B处俯角为，楼房顶端A处俯角为，米．
（1）求此时航拍无人机离地面的垂直距离．
（2）求楼房高度．
（本题参考数据：，结果精确到1米）
24．（2025·衡阳模拟）如图所示，等腰中，，，点为斜边上一点（不与重合），，连接，将线段绕点沿顺时针方向旋转至，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
25．（2025·衡阳模拟）四边形是的内接矩形，点E是上的一动点，连接，，，其中交于点F．
（1）如1图，当时，
①求证：；
②若，连接，．求证：四边形是菱形．
（2）如2图，若，，请用含k的式子表示的值．
26．（2025·衡阳模拟）如图，二次函数的图象过、、三点
（1）求二次函数的解析式；
（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；
（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故结果错误；
B、，故结果错误；
C、，故结果正确；
D、，故结果错误；
故正确答案为：C.
【分析】A、合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的指数都不变；
B、同底数的乘法，底数不变，指数相加；
C、幂的乘方，底数不变，指数相乘；
D、合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的指数都不变.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】A．，不能判断与0的大小关系，故不符合题意；
B．，不能判断与0的大小关系，故不符合题意；
C．，不能判断与0的大小关系，故不符合题意；
D．，因为，所以，一定有两个不相等的实数根，故符合题意．
故选：D．
【分析】
对于一元二次方程有根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
3．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵AC平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选C．
【分析】
先由邻补角的概念可得，再由角平分线的概念得，由直角三角形两锐角互余得，又两直线平行内错角相等，即，最后由计算即可．
4．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】过点作于点E，于点，
根据题意得：，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
同理：，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】
点B分别作AD和CD的垂线BE和BF，则，再由概念可判定四边形是平行四边形，由于，可由平行线的性质得和都等于，再由直角三角形两锐角互余可得和都等于，再直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半可得，则是菱形，此时再由勾股定理求AD上的高BE即可．
5．【答案】C
【知识点】A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应周长；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】在中，，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC ，
∴，
∵，
∴，
故选择：C．
【分析】
因为，则；由于，则由两位角相等可判定，再由周长比等于相似比可得的周长是为 ．
6．【答案】C
【知识点】幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【分析】
由幂的乘方的逆运算法则可把三个幂转化为同指数幂，再对底数进行大小比较即可，即．
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵∠CBA=25°，
∴∠C=90°-∠CBA=65°，
∴∠C1=∠C=65°，
故选：C．
【分析】
由圆周角定理得出∠BAC=90°，再由直角三角形两锐角互余可得∠C=65°，再由圆周角定理即可得出∠C1=∠C=65°．
8．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：记《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别为，，，，画树状图如下：
∴一共有12种等可能的结果，
抽取的两本恰好是《论语》（即和《大学》（即的可能结果有2种可能，
（抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果），
故答案为：B．
【分析】先用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果，再利用概率公式求解．
9．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；坐标与图形变化﹣旋转；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：作QM⊥x轴于点M，Q'N⊥x轴于N，
设Q(，)，则PM=，QM=，
∵∠PMQ=∠PNQ'=∠QPQ'=90°，
∴∠QPM+∠NPQ'=∠PQ'N+∠NPQ'，
∴∠QPM=∠PQ'N，
在△PQM和△Q'PN中，
，
∴△PQM≌△Q'PN(AAS)，
∴PN=QM=，Q'N=PM=，
∴ON=1+PN=，
∴Q'(，)，
∴OQ'2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5，
当m=2时，OQ'2有最小值为5，
∴OQ'的最小值为，
故选：B．
【分析】
如图作QM⊥x轴于点M，Q'N⊥x轴于N，由旋转的性质可知QP=PQ`，再根据垂直的概念结合同角的余角相等可得，则PN=QM、Q'N=PM；此时再由直线上点的坐标特征设点Q的坐标为Q(，)，因为P(1，0) ，则PN=QM=，Q'N=PM=，即ON=1+PN=，则点Q`的坐标可求，再利用两点距离公式可得OQ'2是关于m的二次函数，且二次项系数为正，则OQ'2有最小值，再利用二次函数的最值求出这个最小值即可．
10．【答案】A
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：连结．
为的直径，为的切线，
，
，
，．
又，
，
．
在和中，，
，
．
又点在上，
是的切线；故①正确，
，
，
，
垂直平分，
即，故②正确；
为的直径，为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，故③正确；
，
，
，
，
，
，故④正确，
综上，正确的有4个.
故答案为：A．
【分析】由圆的切线垂直经过切点的半径得∠CBO=90°，由二直线平行，内错角相等（同位角相等）得∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD，由等边对等角得∠DAO=∠ADO，由等量代换得∠COD=∠COB，从而由SAS判断出△COD≌△COB，由全等三角形的对应角相等得∠CDO=∠CBO=90°，从而根据“垂直半径外端点的直线是圆的切线”可判断①正确；由全等三角形的对应边相等得CD=CB，结合OB=OD，由“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”得点C、O都在线段BD的垂直平分线上，进而根据“两点确定一条直线”可得CO是BD的垂直平分线，据此可判断②正确；由同角的余角相等得∠EDA=∠ODB，结合等边对等角，由等量代换得到∠EDA=∠ABD，再结合公共角∠E，根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”得到△ADE∽△DBE，据此判断③正确；根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”得到△EOD∽△ECB，由相似三角形对应边成比例得到，据此判断④正确.
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：依题意得，
．
故答案为：．
【分析】
分式有意义的条件是分母不等于0．
12．【答案】2
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设甲盒中有x个B物品，则乙盒中有x个A物品，根据题意列方程得：
整理得：，
解得：
则甲快递盒中有2个物品装错，
故答案为：2．
【分析】
设甲盒中有x个B物品，则乙盒中有x个A物品，则甲盒总重量为，乙盒总重量为，再由相等关系“甲快递盒比乙快递盒重”列出关于x的一元一次方程并求解即可．
13．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：根据题意，得，
解得．
故答案为：．
【分析】
由于数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数字大，可得不等式，再解不等式组即可．
14．【答案】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴；
故答案为：1．
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【分析】
由于矩形的对角线相等且互相平分，即OB=OC=2，再由直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半即可.
15．【答案】8
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，连接AO，作OC垂直AB交AB于点C，交圆于点D．
∵ AB是圆的一条弦，
∴，
∴在△AOC中，，
∴，
∴水管中的水最大深度为8cm．
故答案为：8．
【分析】
连接AO，作OC垂直AB交AB于点C，交于点D，则OA=OD=13，再由垂径定理得到AC=BC=12，再利用根据勾股定理得CO=5，即CD的长为水管中水的最大深度．
16．【答案】2
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA.
轴，
，
，
，
，
．
故答案为：2．
【分析】
如图所示，连接OA，由同底等高两三角形面积相等可得，再由反比例函数系数k的几何意义得到，由于，即．
17．【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系；四点共圆模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点C作CT⊥AB于点T，连接TQ，过点B作BH⊥QT于点H．
∵∠CQP＝∠CTP＝90°，
∴C，P，T，Q四点共圆．
∴∠CTQ＝∠CPQ＝30°，
∴点Q的运动轨迹是射线TQ，
∵AC＝4，BC＝3，AB＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CBT＝∠ABC，∠ACB＝∠CTB＝90°，
∴△BTC∽△BCA，
∴BC2＝BT BA，
∴BT，
∵∠BTH＝60°，
∴BH＝BT sin60°，
∴当点Q与点H重合时，CQ的值最小，最小值为．
【分析】
过点C作CT⊥AB于点T，连接TQ，由于∠CQP＝∠CTP＝90°，则C，P，T，Q四点共圆，所以∠CTQ＝∠CPQ＝30°，即点Q在射线TQ上运动，此时再过点B作BH⊥QT于点H，显然当Q、H重合时，BQ最小，由于可求∠BTH＝60°，则解Rt △BTH即可得出，此时可利用AA证明 △BTC∽△BCA ，再由相似比求出BT即可．
18．【答案】
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵沿折叠，点落在点处．
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，坐标为，，，
∴．
∴，．
根据勾股定理，得，
解得，
故，，，
过点E作于点G，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
故点；
故答案为：．
【分析】
连接AF，由折叠的性质知AE=AO，由正方形的性质知AB=AO，即AB=AE，则利用“HL”可判定，则BF=EF，设，则，因为，即，则，在中应用根据勾股定理可求得，，，此时再过点E作于点G，可得两角对应相等可判定，再由相似比可分得EG和DG，则OG可得，即点E坐标可得．
19．【答案】解：（1）原式
．
（2）原式
．
【知识点】分式的混合运算；二次根式的乘除混合运算
【解析】【分析】
（1）实数的混合运算，先计算二次根式除法和零指数幂，再计算绝对值，最后计算加减法即可得到答案；
（2）分式的混合运算，先对小括号内的式子通分再相减，再把除法变成乘法并对分子和分母分别分解因式，再约分化结果为最简分式或整式．
20．【答案】解：
；
当时，
原式．
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；求算术平方根；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先根据分式的混合运算法则化简原式，再利用实数的混合运算求出字母的值，最后把a的值代入化简后的式子求解即可．
21．【答案】（1）解：本次调查的学生总人数为，“不了解”对应的百分比，
∴估计该校名学生中“不了解”的人数是（人），
即估计这所学校名学生中，“不了解”的人数是人；
（2）解：将抽取分别记为第一次和第二次，用下表列出所有可能出现的结果
第一次
第二次
由表可知，若从中随机抽取两人去参加环保知识竞赛，可能出现的结果有种，恰好抽到2名男生的结果有2个，
∴P（抽到2名男生），
即恰好抽到2名男生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】
（1）观察扇形统计图和条形统计图，可由非常了解的学生人数及其所占百分比求得调查总人数，用总人数乘以样本中不了解所对应的百分比可得；
（2）两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据.
22．【答案】（1）解：设乙种动漫玩具的数量为个，则甲种动漫玩具的数量为个，根据题意，得，
解方程，得
故．
答：甲种动漫玩具的数量为2400个，乙种动漫玩具的数量为5400个．
（2）解：设安排m人生产甲种玩具，安排人生产乙种玩具，根据题意，得，
解方程，得．
经检验，是原方程的根，
故，
答：安排8人生产甲种玩具，安排12人生产乙种玩具．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设乙种动漫玩具的数量为个，则甲种动漫玩具的数量为个，根据相等关系“ 甲玩具的数量比乙玩具数量的一半少300个 ”列方程并求解即可．
（2）设安排m人生产甲种玩具，安排人生产乙种玩具，根据相等关系“ 同时完成两种玩具的生产任务 ”列分式方程并求解即可．
（1）解：设乙种动漫玩具的数量为个，则甲种动漫玩具的数量为个，根据题意，得，
解方程，得
故．
答：甲种动漫玩具的数量为2400个，乙种动漫玩具的数量为5400个．
（2）解：设安排m人生产甲种玩具，安排人生产乙种玩具，根据题意，得，
解方程，得．
经检验，是原方程的根，
故，
答：安排8人生产甲种玩具，安排12人生产乙种玩具．
23．【答案】（1）解：
由题意，得，
∴，
在 中，
（米），
即无人机距离地面112米．
（2）解：
在中，
（米），
由题意可知四边形为矩形，
，
在中，
（米），
（米），
米．
即楼房高为49米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；矩形底座模型
【解析】【分析】
（1）过点S作BC的垂线段SF构造，再解直角三角形即可；
（2）过点A作SF的垂线段AE，再解直角三角形可得米，再利用矩形的性质可得米，再解即可求解．
（1）解：
由题意，得，
∴，
在 中，
（米），
即无人机距离地面112米．
（2）解：
在中，
（米），
由题意可知四边形为矩形，
，
在中，
（米），
（米），
米．
即楼房高为49米．
24．【答案】（1）证明：由旋转可得，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴。
（2）解：由（）知，
∴，，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，，
，
∴。
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，可得，，又根据，可得，再根据三角形的判定方法，即可求证。
（2）根据（1）可知，可得，，然后再根据等腰直角三角形的性质，可得，，从而可得的值，，代入数据求出BD的值，，再利用勾股定理：，代入数据即可求解。
（1）证明：由旋转可得，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：由（）知，
∴，，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，，
，
∴．
25．【答案】（1）①证明：∵，∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴
②证明：如图1，连接，
∵四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∴，
∴
∵
∴
∵，
∴是等边三角形，
∴
∴
∴四边形是菱形
（2）解：如图2，连接，过点E作于点，
∵，
∴是的直径，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴，即
∵，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴
【知识点】菱形的判定；圆周角定理；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）①由可得，由圆周角定理可得，又AE=AE，可依据AAS即可证明 ；
②连接，由于矩形ABCD中，结合已知可得，由圆周角定理知，则，所以AB=AE，又、，则和都是等边三角形，则四边形ABOE的四条国相等，即结论成立．
（2）连接BD，由于，则过点E作AD上的高EH构造直角三角形EAH，则有，即，化比例式为等积式得，此时可利用AA证明，由相似比得，因为，所以，再由勾股定理可得，即．
26．【答案】解：（1）把、、代入得
解得
∴二次函数的解析式为；
（2）如图，设OB的中点为E，OB的垂直平分线交y轴于F，设
∵，
∴
∵直线CD垂直平分OB
∴OD=BD
，解得
设直线CD的解析式为
∴，解得
（3）联立
得到
解得x1=-，x2=1，
设P的横坐标为t，则P（t，），
∵过点P作轴，交直线CD于Q，
∴Q（t，-t+）
∴PQ=（-t+）-（）=-
故当t=-时PQ有最大值
此时P的坐标为（-，）．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；线段垂直平分线的性质；二次函数-动态几何问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法即可求解；
（2）如图，设OB的中点为E，OB的垂直平分线交y轴于F，再设，则先由中点坐标公式得出点E坐标，再由垂直平分线的性质定理得OF=BF，结合两点距离公式可得关于m的方程并求解可得点F的坐标，此时可设出直线DC的解析式，再利用待定系数法即可；
（3）如图设P的横坐标为t，由二次函数图象上点的坐标特征可得P（t，），由于PQ垂直x轴，则点Q（t，-t+），则PQ可利用Q与P的纵坐标的差表示，整理得PQ是关于t的二二次函数且二次项系数为负，则PQ有最大值，再利用二次函数的性质即可求解．
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