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浙江省金华市2024-2025学年下学期七年级期末质量评价卷数学试卷
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1．（2025七下·金华期末） 下列属于二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项次数都是一次的方程叫作二元一次方程。
A、方程中只含有一个未知数，不符合二元一次方程的概念，A错误；
B、方程中含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1次，符合二元一次方程的概念，B正确；
C、方程中含有两个未知数，但含有未知数的项的次数为2次，不符合二元一次方程的概念，C错误；
D、方程含有两个未知数，但含有未知数y的项的次数为-1次，不符合二元一次方程的概念，D错误.
故答案为：B.
【分析】方程既需要符合含有两个未知数，又需要符合含有未知数的项次数都是一次，根据二元一次方程的定义即可作出判断。
2．（2025七下·金华期末） 以下选项中，由不能得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：
A、
如图，由∠1=∠2（已知），∠2=∠3（对顶角相等），可得∠1=∠3，所以AB//CD（同位角相等，两直线平行），A选项不符合题意，A错误；
B、由∠1=∠2（已知），可得AB//CD（内错角相等，两直线平行），B选项不符合题意，B错误；
C、由∠1=∠2（已知），可得AB//CD（同位角相等，两直线平行），C选项不符合题意，C错误；
D、∠1与∠2互为对顶角，始终相等，无法证明AB与CD是否存在平行关系，D选项符合题意，D正确.
故答案为：D.
【分析】根据∠1与∠2的位置特点判断是否为同位角、内错角或同旁内角，若∠1与∠2互为对顶角，根据对顶角相等无法判断出AB与CD的平行关系.
3．（2025七下·金华期末） 型号为麒麟 9000s 的华为芯片厚度为 0.00042 米，其中 0.00042 用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：∵∴
故答案为：C.
【分析】有了负指数幂，就可以用科学记数法表示绝对值较小的数.
4．（2025七下·金华期末） 分式可变形为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式变形
【解析】【解答】解：∵
∴B选项正确
故答案为：B.
【分析】分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母，“-”可以看作“-1”省略1，，按照分式的乘法法则进行计算即可。
5．（2025七下·金华期末） 某校为了解七年级12个班级学生（每班50人）做家务情况，下列做法比较合理的是（　　）
A．了解每一名女生做家务情况
B．了解每一名男生做家务情况
C．了解每一名学生做家务情况
D．每班各抽5名男生和5名女生了解其做家务情况
【答案】D
【知识点】抽样调查的可靠性；收集数据的过程与方法
【解析】【解答】解：∵该校要了解七年级学生做家务情况，不方便也不必要对所有对象进行调查
∴可抽取一部分作调查分析，即抽样调查
∵选取样本中的个体要有代表性，且样本容量要适中
∴选取的样本中既要包含男生也要包含女生，且人数适中，可以每班各抽5名男生和5名女生了解其做家务情况，D选项正确.
故答案为：D.
【分析】要了解某校七年级学生做家务情况，不需要对全体学生进行调查，可以进行抽样调查，如果仅对男生进行调查，或仅对女生进行调查，缺乏代表性.
6．（2025七下·金华期末） 下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：A、，符合题意，A正确；
B、，不符合题意，B错误；
C、不能用平方差公式分解因式，C错误；
D、不能用平方差公式分解因式，D错误.
故答案为：D.
【分析】由因式分解的概念可得，多项式应化为几个整式的积的形式，用平方差公式进行分解因式时，需要先转化为的形式，所以判断每个选项的多项式能否转化为的形式是解题关键。
7．（2025七下·金华期末） 已知，，则的值为（　　）
A．-6 B． C．4 D．6
【答案】C
【知识点】同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：∵，且，
∴
故答案为：C .
【分析】由同底数幂的除法法则可得，同底数幂相除，底数不变，指数相减，再代入题中已知数据便可求解出答案。
8．（2025七下·金华期末） 已知关于x，y的方程组，甲同学看错了字母a解得；乙同学看错了字母b解得，则该方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解，需要同时满足二元一次方程组中各个方程
∴甲同学看错字母a解得 可代入方程x+by=3，解得b=-1
∴乙同学看错字母b解得可代入方程ax+2y=-5，解得a=-1
∴正确的二元一次方程组为，解得 ，A正确.
故答案为：A.
【分析】本题考查二元一次方程组的解的概念，需要同时满足二元一次方程组中的各个方程，因此即使看错其中一个方程，解出的值仍适用于另一个方程，代入便可求出字母a，b的值，从而求解出正确的解。
9．（2025七下·金华期末） 如图，点E，F分别为长方形ABCD的边AD，BC上的点，将该长方形纸片沿EF折叠，使点A，B的对应点分别为点，，折叠后与AD相交于点G.若将的度数分为1：2两部分，则的度数为（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵长方形ABCD沿EF折叠
∴∠EFB=∠EFB'
∵B'F将∠EFC分为1：2两部分
∴需要分类讨论：①∠EFB'=x，∠B'FC=2x，由平角的意义，得∠EFB+∠EFB'+∠B'FC=180°，解得x=45°，因此∠B'FC=90°；②∠EFB'=2x，∠B'FC=x，同理可得x=36°，因此∠B'FC=36°. D正确.
故答案为：D.
【分析】长方形纸片折叠时，必定会出现相同的角度及相同的线段，这就是解题的关键所在，本题利用平角的意义和已知条件中B'F将∠EFC分为1：2两部分构造关于所求角度的方程，即可得到答案。
10．（2025七下·金华期末） 现有A，B，C三种型号的正方形和长方形纸片若干张，大小如图所示. 从中取出部分纸片进行无空隙、无重叠拼接，拼成一个长和宽分别为16和7的新长方形. 在各种拼法中，B型纸片需要的张数最多为（　　）
A．4张 B．5张 C．8张 D．9张
【答案】C
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设A型纸片x张，B型纸片y张，C型纸片z张，且x、y、z均为正整数
由题意得，A型纸片的面积为6，B型纸片的面积为12，C型纸片的面积为16，拼成的新长方形面积为112
因此，可列方程为6x+12y+16z=112，化简得
若y最大，则x、z最小，当x=0，z=1时，y最大，y=8，C正确.
故答案为：C.
【分析】本题关键在于各种卡片的面积之和等于拼成的新长方形的总面积，因此可以根据不同型号纸片的张数与面积之间的关系列出三元一次方程，再根据方程的正整数解得出答案。
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11．（2025七下·金华期末）分解因式：4a2-1=　 　.
【答案】(2a+1)(2a-1 )
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：由题意得(2a+1)(2a-1 )，
故答案为：(2a+1)(2a-1 )
【分析】根据平方差公式（二数和乘二数差，等于二数的平方差）结合题意因式分解即可求解。
12．（2025七下·金华期末） 将等式变形为用含x的代数式表示y，即　 　.
【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：∵用含x的代数式表示y
∴移项得，y=5-3x
故答案为：5-3x.
【分析】要用关于x的代数式表示y，只要把方程3x+y=5看作未知数是y的一元一次方程。
13．（2025七下·金华期末） 把50个数据分成6组，第一到第四组的频数分别为9，10，8，12，第五组的频率是0.1，则第六组的频数是　 　 .
【答案】6
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：∵一共有50个数，分成6组，第一到第四组频数已知，为9，10，8，12
∴第五组与第六组频数之和为，50-9-10-8-12=11
∵第五组的频率为0.1
∴第五组的频数为，50×0.1=5
∴第六组的频数为，11-5=6.
故答案为：6.
【分析】数据分组后落在各小组内的数据个数称为频数，由50个数及前四组的频数可得第五组与第六组的频数之和。由频率的概念可得，每一组的频数与数据总数的比为频率，即可计算出第五组的频数，因此便能求得第六组的频数。
14．（2025七下·金华期末） 已知代数式 中含 项的系数为 3，则 n 的值为　 　.
【答案】3
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：
由化简后的代数式可得，含项的系数为3n-6
由已知条件可得， 含 项的系数为 3，因此3n-6=3，解得n=3
故答案为：3.
【分析】由多项式与多项式相乘的法则，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，可以求得 的结果，将结果进行化简便能得到含 项的系数，从而可以求得n的值。
15．（2025七下·金华期末） 已知，则的值为　 　.
【答案】13
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵∴
∴
∴
故答案为：13.
【分析】先将进行化简得，由所求的 的形式联系完全平方公式即可得到所求式子的值。
16．（2025七下·金华期末） 如图，已知，点E在直线AB上，点F在直线CD上，连结EF.点G是射线FD上一点（不与点F重合），过点G作交线段EF于点H，且.
（1） 的度数为　 　.
（2） 已知点P，Q在直线AB，CD之间，点M在射线EA上，连结PQ，PM，MQ，使线段PQ经过点H.若，，则的度数为　 　.
【答案】（1）30°
（2）72°或168°
【知识点】平行线的性质；铅笔头模型；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（1）∵AB//CD ∴∠AEF=∠EFD（两直线平行，内错角相等）
∵GH⊥EF ∴∠FGH=90°，∠EFD+∠HGF=90°
∵∴∠EFD：∠HGF=1：2 ，解得∠EFD=30°
∴∠AEF=∠EFD=30°
故答案为：30°.
（2）由∠GHQ=42°，可对P、Q的位置进行分类讨论：
①点Q在HG左侧时
过点P作PL//AB，过点H作HR//AB
∵PL//AB，HR//AB，AB//CD
∴PL//HR//AB//CD
由（1）得∠HGF=60° ∴∠RHG=60°，∠RHQ=42°+60°=102°
∴∠LPH=∠RHQ=102°
∵∠MPQ=90° ∴∠MPL=360°-90°-102°=168°
∵AB//PL ∴∠AMP=∠MPL=168°
②点Q在HG右侧时，过点P作PL//AB，过点H作HR//AB
同理可得，PL//HR//AB//CD
由（1）得∠HGF=60° ∴∠RHG=60°，∠RHQ=60°-42°=18°
∴∠LPH=∠RHQ=18°
∵∠MPQ=90° ∴∠MPL=90°-18°=72°
∵AB//PL ∴∠AMP=∠MPL=72°
故答案为：168°或72°.
【分析】（1）由平行线的性质定理可得∠AEF=∠EFD，再根据三角形内角和定理及已知条件中，便可求得∠AEF的度数。
（2）本题若只看点P，Q在直线AB，CD之间，无法确定P、Q的位置，可利用∠GHQ=42°且线段PQ经过点H ，对P、Q的位置进行分类讨论，确定P、Q的位置后，再借助平行线的性质定理及∠MPQ=90°求得相关角度，从而得到∠AMP的度数。
三、解答题(本题有7小题，共52分，各小题都必须写出解答过程)
17．（2025七下·金华期末）计算：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：原式=-4a2×3a=-12a3
（2）解：原式=4-1=3
【知识点】单项式乘单项式；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）首先积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，其次单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
（2）规定：任何不等于零的数的零次幂都等于1，任何不等于零的数的-p（p是正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数.
18．（2025七下·金华期末）解下列方程(组)：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：
①-②，得
把代入①，得x=2
∴方程组的解为
（2）解：方程两边同乘3(x+6)，得3(2x-3)=x+6
去括号，得6x-9=x+6
移项，得5x=15
将未知数的系数化为1，得
检验：把x=3代入原方程，左边=右边，所以x=3是原方程的解.
【知识点】解二元一次方程组；解分式方程
【解析】【分析】（1）考查二元一次方程组的解法，通过观察两个方程的同一个未知数的系数时，发现未知数x的系数相同，因此可以选择加减消元法求解方程组。
（2）考查分式方程的解法，先去分母使分式方程转化为整式方程后求解，最后要验根，保证未知数的值是分式方程的解.
19．（2025七下·金华期末） 先化简，再求值：，其中.
【答案】解：原式=4x2+4x+1+x2-4x-12
=5x2-11，
当x=2时，原式=5x2-11=5×22-11=9
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】整式的化简遵循先乘方、再乘除、最后算加减的顺序，能运用乘法公式的则运用乘法公式，再将字母的值代入即可。
20．（2025七下·金华期末）某校为监测学生体质健康情况，随机从七年级各班抽取相同数量的学生进行“1分钟跳绳”测试，并将测试成绩整理后绘制出如下不完整的频数表、频数直方图：
某校七年级学生“1分钟跳绳”次数频数表
跳绳次数(次) 频数 占比
60≤t<80 2 4%
80≤t<100 6 12%
100≤t<120 a 28%
120≤t<140 18 b
140≤t<160 10 20%
某校七年级学生“1分钟跳绳”次数频数直方图
请根据以上信息，回答下列问题：
（1） 填空：= ，= ，并补全频数直方图.
（2） 若全校七年级共有800人，请估计跳绳次数不少于120次的学生人数.
【答案】（1）解：∵样本容量为 10÷20%=50（人）
∴a=50×28%=14
∴b=18÷50×100%=36%
故填：14；36%；补全频数直方图如下，
（2）解：人
【知识点】频数与频率；频数（率）分布直方图；用样本的频数估计总体的频数
【解析】【分析】（1）由已知小组的频数和占比，可以求出抽取的总人数，再根据频数可以计算相应的占比，或者根据占比计算相应的频数，然后补充频数直方图即可
（2）样本可以估计整体，由样本中不少于120次（大于等于120次）的占比可以计算出全校学生中跳绳次数不少于120次的学生人数.
21．（2025七下·金华期末） 定义：若代数式 满足 ，其中 k 为非零常数，则称 是关于 的 k 级平衡数系. 例如：对于代数式 ，当 时 ，当 时 ，满足 ，则称 是关于 的 5 级平衡数系.
（1） 若 ，且 是关于 的 9 级平衡数系，求 的值.
（2） 若 ，且 是关于 的 3 级平衡数系，其中 ，求 ， 的值.
【答案】（1）解：，
∵ 是关于 的 9 级平衡数系 ∴
∴，解得.
（2）解：，
∵ 是关于 的 3 级平衡数系 ∴
∴ 化简得m+2n=-26
∵∴
∴，
【知识点】整式的混合运算；二元一次方程组的解
【解析】【分析】（1）根据已知条件，特别是示例部分，可以将x=3和x=1时的转化为相应代数式，再由 是关于 的 9 级平衡数系列出式子求解出n的值。
（2）同第（1）题的方法，将x=4和x=1代入 得到相应的代数式，再根据 是关于 的 3 级平衡数系化简得到m与n的关系式m+2n=-26，由m-n=10，可列二元一次方程组求解m与n的值。
22．（2025七下·金华期末） 随着新能源汽车市场的迅速发展，市场对电池的需求也逐渐增大. 某电池生产企业承接了生产58000组汽车电池的任务让甲、乙两个车间的工人来完成. 若甲车间工人每人每天平均生产15组电池，乙车间工人每人每天平均生产20组电池，则需40天时间完成；若甲、乙车间工人每人每天平均都生产25组电池，则只需29天时间完成.
（1）求甲、乙两个车间参与生产的工人数.
（2）根据实际生产需要，该企业设计了如下两种具体生产方案：
甲车间 乙车间 新增费用
方案一 每人每天平均生产15组电池 租用先进设备，工作效率在每人每天平均生产20组电池的基础上提高了 租用设备费用为每天1200元，租用期间的来回运输费共1400元
方案二 从其他部门调配若干名工人到甲车间后，每人每天平均生产28组电池 每人每天平均生产24组电池 调配过来的工人每人每天需支付费用150元
若方案一比方案二多用了4天时间完成，请问：从新增费用的角度考虑，选择哪种方案更节省开支？请说明理由.
【答案】（1）解：设甲车间m人，乙车间n人，
根据题意得，
解得.
答：甲车间参与生产的有30人，乙车间参与生产的50人
（2）解：方案一费用：甲车间共30人，每人每天平均生产15组电池，因此甲车间一天生产30×15=450（组）电池
乙车间共50人，每人每天平均生产20×（1+55%）=31（组）电池，因此乙车间一天生产50×31=1550（组）电池
共有58000组电池，需要58000÷（450+1550）=29（天）完成任务
新增费用为1200×29+1400=36200（元）
方案二费用：设方案二调整到甲车间x人，
∵方案一比方案二多用了4天时间完成 ∴方案二需要29-4=25（天）
根据题意得
解得.
新增费用为（元）
∴选方案一更节省
【知识点】二元一次方程组的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）考查二元一次方程组的应用，根据数量关系“人数×工作效率=工作总量”列出方程组，选择适当的方法求解方程组即可。
（2）根据表格信息分别计算方案一与方案二新增的总费用，可以先计算使用方案一所需的总天数（），再求出方案一因租用设备产生的费用；由于方案一比方案二多4天，从而得到方案二的工作天数，便可以列方程求出方案二中甲车间新增的人数，从而算出新增的费用。
23．（2025七下·金华期末）根据以下素材，探索完成任务.
教材母题
素材1 浙教版七年级下册数学教材第23页有一例题，如右图.小明和小芳发现，通过计算两条角平分线(AP与CP)的夹角(∠P)也可判断两条直线是否平行. 例4 如图.AP平分∠BAC，CP平分∠ACD. ∠1+∠2=90°，判断AB.CD是否平行，并说明理由. 解：AB∥CD，理由如下： 如图，由已知AP平分∠BAC，CP平分∠ACD.根据角平分线的意义，知 ∠1=∠BAC，∠2=∠ACD. 所以∠BAC+∠ACD=2(∠1+∠2)=2×90°=180°， 根据”同旁内角互补，两直线平行”得AB∥CD.
类比探究
素材2 小明和小芳思考：角的其它等分线夹角度数与两直线平行之间是否存在联系 已知线段MN夹在直线AB与直线CD之间，其中点M在直线AB上，点N在直线CD上. 小明的做法：如图1，在线段MN的左侧分别作∠AMN的三等分线ME和ME作∠CNM的三等分线NE和NF，其中ME和NE交于点E，MF和NF交于点F.小芳的做法：如图2，在线段MN的两侧分别作∠AMN和∠MND的三等分线，使∠AME=∠AMN， ∠ENC=∠MNC， ∠BMF=∠BMN， ∠FND= ∠MND.
深化探究
素材3 小明和小芳继续思考：当线段MN变为折线时，是否可以利用平行条件求某些 角度关系呢 已知AB∥CD，M，N分别为直线AB，CD上的点，线段EF在平行线AB，CD之间，点P为线段EF上的一个动点，连结ME，NF，MP，NP，使∠AME=2∠EMP，∠DNF=2∠FNP，记∠MPN=α. 如图3和图4分别为小明和小芳根据题意画出的两个图形.
问题解决
⑴任务1 素材1的例题中，当∠P= 度时，AB∥CD.
⑵任务2 请你猜想素材2中，当∠E和∠F满足怎样的数量关系时AB∥CD 并选择其中一种做法说明理由.
⑶任务3 请你根据素材3中小明和小芳画出的两个图形，直接写出∠F-∠E的值. (用含a的式子表示)
【答案】解：（1）若∠P=90°，由三角形内角和定理，得∠CAP+∠ACP=90°
∵∠1+∠2=90° ∴∠BAC+∠ACD=180° ∴AB//CD（同旁内角互补，两直线平行）
（2）小明的证法：设∠AME=x，∠FNC=y
若AB//CD，则由题意得3x+3y=180°，即x+y=60°
由三角形内角和定理得，∠E=180°-2x-y，∠F=180°-x-2y
∴∠E+∠F=360°-3x-3y=180°(图1)
因此，若AB//CD，则需要满足∠E+∠F=180°
小芳的证法：设∠AME=x，∠FND=y，∠ENM=m，∠NMF=n
若AB//CD，则由题意得∠AMN=∠DNM，∠CNM=∠BMN，即x=y，m=n
由三角形内角和定理得，∠E=180°-2x-m，∠F=180°-2y-n(图2)
因此，若AB//CD，则需要满足∠E=∠F.
（3）如图3，过点E作EK//AB，过点F作FR//AB
则EK//FR//AB//CD
∴∠KEF=∠EFR 设∠KEF=∠EFR=m
设∠EMP=x，∠FNP=y
∵ ∠AME=2∠EMP，∠DNF=2∠FNP ∴∠AME=2x，∠DNF=2y
∠MEF=2x+m，∠EFN=2y+m
∴∠EFN-∠MEF=2(y-x)
由（2）得，∠MPN=∠AMP+∠PNC=α
∴3x+180-3y=α ∴3(x-y)=α-180
∴
∴
如图4，过点E作EK//AB，过点F作FR//AB
则EK//FR//AB//CD
同理可得，
【知识点】平行线的判定与性质；铅笔头模型
【解析】【分析】（1）考查平行线的判定定理：同旁内角互补，两直线平行。当∠P=90°时，根据三角形内角和定理，得∠PAC+∠ACP=90°，又因为∠1+∠2=90°，所以∠BAC+∠ACD=180°，则AB//CD。
（2）在判断过程中，可以采用倒推的方式，若要满足AB//CD，则需得到什么结论，结合平行线的判定定理以及三角形内角和定理，利用已知条件中角的等分线所包含的角的倍数关系，便能找到小明与小芳的作法中∠E与∠F的数量关系。
（3）可以作EG//AB，PH//AB，FI//AB，从而得到AB//EG//PH//FI//CD，由平行线的性质定理找到相应角度之间的数量关系即可。
1 / 1浙江省金华市2024-2025学年下学期七年级期末质量评价卷数学试卷
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1．（2025七下·金华期末） 下列属于二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七下·金华期末） 以下选项中，由不能得到的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025七下·金华期末） 型号为麒麟 9000s 的华为芯片厚度为 0.00042 米，其中 0.00042 用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025七下·金华期末） 分式可变形为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·金华期末） 某校为了解七年级12个班级学生（每班50人）做家务情况，下列做法比较合理的是（　　）
A．了解每一名女生做家务情况
B．了解每一名男生做家务情况
C．了解每一名学生做家务情况
D．每班各抽5名男生和5名女生了解其做家务情况
6．（2025七下·金华期末） 下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025七下·金华期末） 已知，，则的值为（　　）
A．-6 B． C．4 D．6
8．（2025七下·金华期末） 已知关于x，y的方程组，甲同学看错了字母a解得；乙同学看错了字母b解得，则该方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025七下·金华期末） 如图，点E，F分别为长方形ABCD的边AD，BC上的点，将该长方形纸片沿EF折叠，使点A，B的对应点分别为点，，折叠后与AD相交于点G.若将的度数分为1：2两部分，则的度数为（　　）
A． B． C．或 D．或
10．（2025七下·金华期末） 现有A，B，C三种型号的正方形和长方形纸片若干张，大小如图所示. 从中取出部分纸片进行无空隙、无重叠拼接，拼成一个长和宽分别为16和7的新长方形. 在各种拼法中，B型纸片需要的张数最多为（　　）
A．4张 B．5张 C．8张 D．9张
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11．（2025七下·金华期末）分解因式：4a2-1=　 　.
12．（2025七下·金华期末） 将等式变形为用含x的代数式表示y，即　 　.
13．（2025七下·金华期末） 把50个数据分成6组，第一到第四组的频数分别为9，10，8，12，第五组的频率是0.1，则第六组的频数是　 　 .
14．（2025七下·金华期末） 已知代数式 中含 项的系数为 3，则 n 的值为　 　.
15．（2025七下·金华期末） 已知，则的值为　 　.
16．（2025七下·金华期末） 如图，已知，点E在直线AB上，点F在直线CD上，连结EF.点G是射线FD上一点（不与点F重合），过点G作交线段EF于点H，且.
（1） 的度数为　 　.
（2） 已知点P，Q在直线AB，CD之间，点M在射线EA上，连结PQ，PM，MQ，使线段PQ经过点H.若，，则的度数为　 　.
三、解答题(本题有7小题，共52分，各小题都必须写出解答过程)
17．（2025七下·金华期末）计算：
（1） ；
（2） .
18．（2025七下·金华期末）解下列方程(组)：
（1） ；
（2） .
19．（2025七下·金华期末） 先化简，再求值：，其中.
20．（2025七下·金华期末）某校为监测学生体质健康情况，随机从七年级各班抽取相同数量的学生进行“1分钟跳绳”测试，并将测试成绩整理后绘制出如下不完整的频数表、频数直方图：
某校七年级学生“1分钟跳绳”次数频数表
跳绳次数(次) 频数 占比
60≤t<80 2 4%
80≤t<100 6 12%
100≤t<120 a 28%
120≤t<140 18 b
140≤t<160 10 20%
某校七年级学生“1分钟跳绳”次数频数直方图
请根据以上信息，回答下列问题：
（1） 填空：= ，= ，并补全频数直方图.
（2） 若全校七年级共有800人，请估计跳绳次数不少于120次的学生人数.
21．（2025七下·金华期末） 定义：若代数式 满足 ，其中 k 为非零常数，则称 是关于 的 k 级平衡数系. 例如：对于代数式 ，当 时 ，当 时 ，满足 ，则称 是关于 的 5 级平衡数系.
（1） 若 ，且 是关于 的 9 级平衡数系，求 的值.
（2） 若 ，且 是关于 的 3 级平衡数系，其中 ，求 ， 的值.
22．（2025七下·金华期末） 随着新能源汽车市场的迅速发展，市场对电池的需求也逐渐增大. 某电池生产企业承接了生产58000组汽车电池的任务让甲、乙两个车间的工人来完成. 若甲车间工人每人每天平均生产15组电池，乙车间工人每人每天平均生产20组电池，则需40天时间完成；若甲、乙车间工人每人每天平均都生产25组电池，则只需29天时间完成.
（1）求甲、乙两个车间参与生产的工人数.
（2）根据实际生产需要，该企业设计了如下两种具体生产方案：
甲车间 乙车间 新增费用
方案一 每人每天平均生产15组电池 租用先进设备，工作效率在每人每天平均生产20组电池的基础上提高了 租用设备费用为每天1200元，租用期间的来回运输费共1400元
方案二 从其他部门调配若干名工人到甲车间后，每人每天平均生产28组电池 每人每天平均生产24组电池 调配过来的工人每人每天需支付费用150元
若方案一比方案二多用了4天时间完成，请问：从新增费用的角度考虑，选择哪种方案更节省开支？请说明理由.
23．（2025七下·金华期末）根据以下素材，探索完成任务.
教材母题
素材1 浙教版七年级下册数学教材第23页有一例题，如右图.小明和小芳发现，通过计算两条角平分线(AP与CP)的夹角(∠P)也可判断两条直线是否平行. 例4 如图.AP平分∠BAC，CP平分∠ACD. ∠1+∠2=90°，判断AB.CD是否平行，并说明理由. 解：AB∥CD，理由如下： 如图，由已知AP平分∠BAC，CP平分∠ACD.根据角平分线的意义，知 ∠1=∠BAC，∠2=∠ACD. 所以∠BAC+∠ACD=2(∠1+∠2)=2×90°=180°， 根据”同旁内角互补，两直线平行”得AB∥CD.
类比探究
素材2 小明和小芳思考：角的其它等分线夹角度数与两直线平行之间是否存在联系 已知线段MN夹在直线AB与直线CD之间，其中点M在直线AB上，点N在直线CD上. 小明的做法：如图1，在线段MN的左侧分别作∠AMN的三等分线ME和ME作∠CNM的三等分线NE和NF，其中ME和NE交于点E，MF和NF交于点F.小芳的做法：如图2，在线段MN的两侧分别作∠AMN和∠MND的三等分线，使∠AME=∠AMN， ∠ENC=∠MNC， ∠BMF=∠BMN， ∠FND= ∠MND.
深化探究
素材3 小明和小芳继续思考：当线段MN变为折线时，是否可以利用平行条件求某些 角度关系呢 已知AB∥CD，M，N分别为直线AB，CD上的点，线段EF在平行线AB，CD之间，点P为线段EF上的一个动点，连结ME，NF，MP，NP，使∠AME=2∠EMP，∠DNF=2∠FNP，记∠MPN=α. 如图3和图4分别为小明和小芳根据题意画出的两个图形.
问题解决
⑴任务1 素材1的例题中，当∠P= 度时，AB∥CD.
⑵任务2 请你猜想素材2中，当∠E和∠F满足怎样的数量关系时AB∥CD 并选择其中一种做法说明理由.
⑶任务3 请你根据素材3中小明和小芳画出的两个图形，直接写出∠F-∠E的值. (用含a的式子表示)
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项次数都是一次的方程叫作二元一次方程。
A、方程中只含有一个未知数，不符合二元一次方程的概念，A错误；
B、方程中含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1次，符合二元一次方程的概念，B正确；
C、方程中含有两个未知数，但含有未知数的项的次数为2次，不符合二元一次方程的概念，C错误；
D、方程含有两个未知数，但含有未知数y的项的次数为-1次，不符合二元一次方程的概念，D错误.
故答案为：B.
【分析】方程既需要符合含有两个未知数，又需要符合含有未知数的项次数都是一次，根据二元一次方程的定义即可作出判断。
2．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：
A、
如图，由∠1=∠2（已知），∠2=∠3（对顶角相等），可得∠1=∠3，所以AB//CD（同位角相等，两直线平行），A选项不符合题意，A错误；
B、由∠1=∠2（已知），可得AB//CD（内错角相等，两直线平行），B选项不符合题意，B错误；
C、由∠1=∠2（已知），可得AB//CD（同位角相等，两直线平行），C选项不符合题意，C错误；
D、∠1与∠2互为对顶角，始终相等，无法证明AB与CD是否存在平行关系，D选项符合题意，D正确.
故答案为：D.
【分析】根据∠1与∠2的位置特点判断是否为同位角、内错角或同旁内角，若∠1与∠2互为对顶角，根据对顶角相等无法判断出AB与CD的平行关系.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：∵∴
故答案为：C.
【分析】有了负指数幂，就可以用科学记数法表示绝对值较小的数.
4．【答案】B
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式变形
【解析】【解答】解：∵
∴B选项正确
故答案为：B.
【分析】分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母，“-”可以看作“-1”省略1，，按照分式的乘法法则进行计算即可。
5．【答案】D
【知识点】抽样调查的可靠性；收集数据的过程与方法
【解析】【解答】解：∵该校要了解七年级学生做家务情况，不方便也不必要对所有对象进行调查
∴可抽取一部分作调查分析，即抽样调查
∵选取样本中的个体要有代表性，且样本容量要适中
∴选取的样本中既要包含男生也要包含女生，且人数适中，可以每班各抽5名男生和5名女生了解其做家务情况，D选项正确.
故答案为：D.
【分析】要了解某校七年级学生做家务情况，不需要对全体学生进行调查，可以进行抽样调查，如果仅对男生进行调查，或仅对女生进行调查，缺乏代表性.
6．【答案】A
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：A、，符合题意，A正确；
B、，不符合题意，B错误；
C、不能用平方差公式分解因式，C错误；
D、不能用平方差公式分解因式，D错误.
故答案为：D.
【分析】由因式分解的概念可得，多项式应化为几个整式的积的形式，用平方差公式进行分解因式时，需要先转化为的形式，所以判断每个选项的多项式能否转化为的形式是解题关键。
7．【答案】C
【知识点】同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：∵，且，
∴
故答案为：C .
【分析】由同底数幂的除法法则可得，同底数幂相除，底数不变，指数相减，再代入题中已知数据便可求解出答案。
8．【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解，需要同时满足二元一次方程组中各个方程
∴甲同学看错字母a解得 可代入方程x+by=3，解得b=-1
∴乙同学看错字母b解得可代入方程ax+2y=-5，解得a=-1
∴正确的二元一次方程组为，解得 ，A正确.
故答案为：A.
【分析】本题考查二元一次方程组的解的概念，需要同时满足二元一次方程组中的各个方程，因此即使看错其中一个方程，解出的值仍适用于另一个方程，代入便可求出字母a，b的值，从而求解出正确的解。
9．【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵长方形ABCD沿EF折叠
∴∠EFB=∠EFB'
∵B'F将∠EFC分为1：2两部分
∴需要分类讨论：①∠EFB'=x，∠B'FC=2x，由平角的意义，得∠EFB+∠EFB'+∠B'FC=180°，解得x=45°，因此∠B'FC=90°；②∠EFB'=2x，∠B'FC=x，同理可得x=36°，因此∠B'FC=36°. D正确.
故答案为：D.
【分析】长方形纸片折叠时，必定会出现相同的角度及相同的线段，这就是解题的关键所在，本题利用平角的意义和已知条件中B'F将∠EFC分为1：2两部分构造关于所求角度的方程，即可得到答案。
10．【答案】C
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设A型纸片x张，B型纸片y张，C型纸片z张，且x、y、z均为正整数
由题意得，A型纸片的面积为6，B型纸片的面积为12，C型纸片的面积为16，拼成的新长方形面积为112
因此，可列方程为6x+12y+16z=112，化简得
若y最大，则x、z最小，当x=0，z=1时，y最大，y=8，C正确.
故答案为：C.
【分析】本题关键在于各种卡片的面积之和等于拼成的新长方形的总面积，因此可以根据不同型号纸片的张数与面积之间的关系列出三元一次方程，再根据方程的正整数解得出答案。
11．【答案】(2a+1)(2a-1 )
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：由题意得(2a+1)(2a-1 )，
故答案为：(2a+1)(2a-1 )
【分析】根据平方差公式（二数和乘二数差，等于二数的平方差）结合题意因式分解即可求解。
12．【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：∵用含x的代数式表示y
∴移项得，y=5-3x
故答案为：5-3x.
【分析】要用关于x的代数式表示y，只要把方程3x+y=5看作未知数是y的一元一次方程。
13．【答案】6
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：∵一共有50个数，分成6组，第一到第四组频数已知，为9，10，8，12
∴第五组与第六组频数之和为，50-9-10-8-12=11
∵第五组的频率为0.1
∴第五组的频数为，50×0.1=5
∴第六组的频数为，11-5=6.
故答案为：6.
【分析】数据分组后落在各小组内的数据个数称为频数，由50个数及前四组的频数可得第五组与第六组的频数之和。由频率的概念可得，每一组的频数与数据总数的比为频率，即可计算出第五组的频数，因此便能求得第六组的频数。
14．【答案】3
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：
由化简后的代数式可得，含项的系数为3n-6
由已知条件可得， 含 项的系数为 3，因此3n-6=3，解得n=3
故答案为：3.
【分析】由多项式与多项式相乘的法则，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，可以求得 的结果，将结果进行化简便能得到含 项的系数，从而可以求得n的值。
15．【答案】13
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵∴
∴
∴
故答案为：13.
【分析】先将进行化简得，由所求的 的形式联系完全平方公式即可得到所求式子的值。
16．【答案】（1）30°
（2）72°或168°
【知识点】平行线的性质；铅笔头模型；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（1）∵AB//CD ∴∠AEF=∠EFD（两直线平行，内错角相等）
∵GH⊥EF ∴∠FGH=90°，∠EFD+∠HGF=90°
∵∴∠EFD：∠HGF=1：2 ，解得∠EFD=30°
∴∠AEF=∠EFD=30°
故答案为：30°.
（2）由∠GHQ=42°，可对P、Q的位置进行分类讨论：
①点Q在HG左侧时
过点P作PL//AB，过点H作HR//AB
∵PL//AB，HR//AB，AB//CD
∴PL//HR//AB//CD
由（1）得∠HGF=60° ∴∠RHG=60°，∠RHQ=42°+60°=102°
∴∠LPH=∠RHQ=102°
∵∠MPQ=90° ∴∠MPL=360°-90°-102°=168°
∵AB//PL ∴∠AMP=∠MPL=168°
②点Q在HG右侧时，过点P作PL//AB，过点H作HR//AB
同理可得，PL//HR//AB//CD
由（1）得∠HGF=60° ∴∠RHG=60°，∠RHQ=60°-42°=18°
∴∠LPH=∠RHQ=18°
∵∠MPQ=90° ∴∠MPL=90°-18°=72°
∵AB//PL ∴∠AMP=∠MPL=72°
故答案为：168°或72°.
【分析】（1）由平行线的性质定理可得∠AEF=∠EFD，再根据三角形内角和定理及已知条件中，便可求得∠AEF的度数。
（2）本题若只看点P，Q在直线AB，CD之间，无法确定P、Q的位置，可利用∠GHQ=42°且线段PQ经过点H ，对P、Q的位置进行分类讨论，确定P、Q的位置后，再借助平行线的性质定理及∠MPQ=90°求得相关角度，从而得到∠AMP的度数。
17．【答案】（1）解：原式=-4a2×3a=-12a3
（2）解：原式=4-1=3
【知识点】单项式乘单项式；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）首先积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，其次单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
（2）规定：任何不等于零的数的零次幂都等于1，任何不等于零的数的-p（p是正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数.
18．【答案】（1）解：
①-②，得
把代入①，得x=2
∴方程组的解为
（2）解：方程两边同乘3(x+6)，得3(2x-3)=x+6
去括号，得6x-9=x+6
移项，得5x=15
将未知数的系数化为1，得
检验：把x=3代入原方程，左边=右边，所以x=3是原方程的解.
【知识点】解二元一次方程组；解分式方程
【解析】【分析】（1）考查二元一次方程组的解法，通过观察两个方程的同一个未知数的系数时，发现未知数x的系数相同，因此可以选择加减消元法求解方程组。
（2）考查分式方程的解法，先去分母使分式方程转化为整式方程后求解，最后要验根，保证未知数的值是分式方程的解.
19．【答案】解：原式=4x2+4x+1+x2-4x-12
=5x2-11，
当x=2时，原式=5x2-11=5×22-11=9
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】整式的化简遵循先乘方、再乘除、最后算加减的顺序，能运用乘法公式的则运用乘法公式，再将字母的值代入即可。
20．【答案】（1）解：∵样本容量为 10÷20%=50（人）
∴a=50×28%=14
∴b=18÷50×100%=36%
故填：14；36%；补全频数直方图如下，
（2）解：人
【知识点】频数与频率；频数（率）分布直方图；用样本的频数估计总体的频数
【解析】【分析】（1）由已知小组的频数和占比，可以求出抽取的总人数，再根据频数可以计算相应的占比，或者根据占比计算相应的频数，然后补充频数直方图即可
（2）样本可以估计整体，由样本中不少于120次（大于等于120次）的占比可以计算出全校学生中跳绳次数不少于120次的学生人数.
21．【答案】（1）解：，
∵ 是关于 的 9 级平衡数系 ∴
∴，解得.
（2）解：，
∵ 是关于 的 3 级平衡数系 ∴
∴ 化简得m+2n=-26
∵∴
∴，
【知识点】整式的混合运算；二元一次方程组的解
【解析】【分析】（1）根据已知条件，特别是示例部分，可以将x=3和x=1时的转化为相应代数式，再由 是关于 的 9 级平衡数系列出式子求解出n的值。
（2）同第（1）题的方法，将x=4和x=1代入 得到相应的代数式，再根据 是关于 的 3 级平衡数系化简得到m与n的关系式m+2n=-26，由m-n=10，可列二元一次方程组求解m与n的值。
22．【答案】（1）解：设甲车间m人，乙车间n人，
根据题意得，
解得.
答：甲车间参与生产的有30人，乙车间参与生产的50人
（2）解：方案一费用：甲车间共30人，每人每天平均生产15组电池，因此甲车间一天生产30×15=450（组）电池
乙车间共50人，每人每天平均生产20×（1+55%）=31（组）电池，因此乙车间一天生产50×31=1550（组）电池
共有58000组电池，需要58000÷（450+1550）=29（天）完成任务
新增费用为1200×29+1400=36200（元）
方案二费用：设方案二调整到甲车间x人，
∵方案一比方案二多用了4天时间完成 ∴方案二需要29-4=25（天）
根据题意得
解得.
新增费用为（元）
∴选方案一更节省
【知识点】二元一次方程组的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）考查二元一次方程组的应用，根据数量关系“人数×工作效率=工作总量”列出方程组，选择适当的方法求解方程组即可。
（2）根据表格信息分别计算方案一与方案二新增的总费用，可以先计算使用方案一所需的总天数（），再求出方案一因租用设备产生的费用；由于方案一比方案二多4天，从而得到方案二的工作天数，便可以列方程求出方案二中甲车间新增的人数，从而算出新增的费用。
23．【答案】解：（1）若∠P=90°，由三角形内角和定理，得∠CAP+∠ACP=90°
∵∠1+∠2=90° ∴∠BAC+∠ACD=180° ∴AB//CD（同旁内角互补，两直线平行）
（2）小明的证法：设∠AME=x，∠FNC=y
若AB//CD，则由题意得3x+3y=180°，即x+y=60°
由三角形内角和定理得，∠E=180°-2x-y，∠F=180°-x-2y
∴∠E+∠F=360°-3x-3y=180°(图1)
因此，若AB//CD，则需要满足∠E+∠F=180°
小芳的证法：设∠AME=x，∠FND=y，∠ENM=m，∠NMF=n
若AB//CD，则由题意得∠AMN=∠DNM，∠CNM=∠BMN，即x=y，m=n
由三角形内角和定理得，∠E=180°-2x-m，∠F=180°-2y-n(图2)
因此，若AB//CD，则需要满足∠E=∠F.
（3）如图3，过点E作EK//AB，过点F作FR//AB
则EK//FR//AB//CD
∴∠KEF=∠EFR 设∠KEF=∠EFR=m
设∠EMP=x，∠FNP=y
∵ ∠AME=2∠EMP，∠DNF=2∠FNP ∴∠AME=2x，∠DNF=2y
∠MEF=2x+m，∠EFN=2y+m
∴∠EFN-∠MEF=2(y-x)
由（2）得，∠MPN=∠AMP+∠PNC=α
∴3x+180-3y=α ∴3(x-y)=α-180
∴
∴
如图4，过点E作EK//AB，过点F作FR//AB
则EK//FR//AB//CD
同理可得，
【知识点】平行线的判定与性质；铅笔头模型
【解析】【分析】（1）考查平行线的判定定理：同旁内角互补，两直线平行。当∠P=90°时，根据三角形内角和定理，得∠PAC+∠ACP=90°，又因为∠1+∠2=90°，所以∠BAC+∠ACD=180°，则AB//CD。
（2）在判断过程中，可以采用倒推的方式，若要满足AB//CD，则需得到什么结论，结合平行线的判定定理以及三角形内角和定理，利用已知条件中角的等分线所包含的角的倍数关系，便能找到小明与小芳的作法中∠E与∠F的数量关系。
（3）可以作EG//AB，PH//AB，FI//AB，从而得到AB//EG//PH//FI//CD，由平行线的性质定理找到相应角度之间的数量关系即可。
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