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第六章 几何图形初步
6.2 直线、射线、线段
课时 2 线段的运算
1.已知 , , 三点在数轴上从左向右排列,且 = 3 = 6,原点 为 的中点,则点 表示的
数是( )
A.1 B. 1 C.3 D. 3
2.如图，线段 的长为 ，点 为 上一动点（不与 ， 重合）， 为 的中点， 为 的
中点，随着点 的运动，线段 的长度( )
A.随之变化 B.不变，且为2 C.不变，且为3 D.不变，且为1
3 5 2
3.已知点 , , 在同一条直线上， = 3， = 1，点 是 的中点，则 的长为______.
4.周末，小丽和小红相约爬山（山脚处的点 ， 在同一水平线上）．她们从南坡山脚 处出
发上行，在南坡的 处休息片刻后，继续登山到达坡顶 处观光游玩，之后沿北坡下山，至北
坡山脚 处．已知南北两坡长度不相等，可以分别看作线段 ， ，点 为 的中点，且 =
200 m，点 平分南北两坡总长，且 = 20 m，则北坡 的长度是_______________．
5.如图，将一根绳子对折以后用线段 表示，现从 处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最
长的一段为 12 cm，若 : = 1: 3 ，则这根绳子原来的长度为_______________.
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第六章 几何图形初步
6.已知线段 ，延长线段 到点 ，使 = 5 ， 为 的中点， 为 的中点.
2
（1）①补全图形；
②若 = 4，则 = ______.（直接写出结果）
（2）若 = 2，求 的长.
7.如图，已知线段 ，点 是 的中点，点 是 的三等分点，且点 在点 的右边．
（1）若 = 6，求 的长.
（2）在线段 上是否存在一点 ，使得点 是 的中点，同时点 也是 的中点？若存在，
请用圆规找出点 的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由．
8.如图，点 是线段 上任意一点（不与端点重合），点 是 的中点，点 是 的中点，
点 是 的中点，给出下列结论：① = ；② = 1 ( )；③ = 1 ( + )
2 2
；④ = 1 ( + ) .其中正确的有( )
2
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
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第六章 几何图形初步
一题练透————线段长度的有关计算
如图，点 ， 是线段 上两点（不与端点重合，且点 在点 的左侧）， = 4 cm ．
（1）若 = 1.5 cm， = 3.5 cm，则 的长度为___cm .
（2）若点 是线段 的中点，点 是线段 的中点，则 的长度为___cm .
（3）若 : = 1: 4， : = 2: 3，求 的长度.
（4）若 = ，延长线段 至点 ，使 = 5 cm，点 是线段 的中点，求 的长度.
（5）若点 是线段 的三等分点，点 是线段 的中点，求 的长度.
（6）若 = 1 cm，点 是线段 的中点，点 是线段 的中点，则当 在线段 上滑动
时， 的长度会发生改变吗 若不变，请求出 的长度；若改变，试说明你的理由.
64/69第六章 几何图形初步
6.2 直线、射线、线段
课时 2 线段的运算
1.已知 , , 三点在数轴上从左向右排列,且 = 3 = 6,原点 为 的中点,则点 表示的
数是( )
A.1 B. 1 C.3 D. 3
解析: 由题意，画出图形如图所示，因为 = 3 = 6,所以 = 2 . 因为原点 为 的中点,
所以 = 1 = 3,所以 < ,所以 = = 1,且点 在原点 的左侧，则点 表示
2
的数为 1 .
2.如图，线段 的长为 ，点 为 上一动点（不与 ， 重合）， 为 的中点， 为 的
中点，随着点 的运动，线段 的长度( )
A.随之变化 B.不变，且为2 C.不变，且为3 D.不变，且为1
3 5 2
解析: 因为点 是线段 的中点，点 是线段 的中点，所以 = 1 ， = 1 ，所以2 2
= + = 1 + 1 = 1 ( + ) = 1 = 1 ，所以线段 的长度不变，且为1
2 2 2 2 2 2
．
3.已知点 , , 在同一条直线上， = 3， = 1，点 是 的中点，则 的长为______.
解析: 当点 在点 的右边时，如图 1.因为 = 3， = 1 ，所以 = + = 4，因
为点 是 的中点，所以 = 1 = 2 ，所以 = = 1.当点 在点 的左边时，如
2
图 2.因为 = 3， = 1 ，所以 = = 2，因为点 是 的中点，所以 =
1 = 1 ，所以 = + = 2.综上， 的长为 1 或 2.
2
图 1 图 2
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第六章 几何图形初步
4.周末，小丽和小红相约爬山（山脚处的点 ， 在同一水平线上）．她们从南坡山脚 处出
发上行，在南坡的 处休息片刻后，继续登山到达坡顶 处观光游玩，之后沿北坡下山，至北
坡山脚 处．已知南北两坡长度不相等，可以分别看作线段 ， ，点 为 的中点，且 =
200 m，点 平分南北两坡总长，且 = 20 m，则北坡 的长度是_______________．
解析: 可分两种情况讨论：①当点 位于南坡时，如图 1，因为 = 200 m，点 为 的中
点，所以 = 2 = 400 m，因为 = 20 m ,所以 = = 380 m.因为点 平分南
北两坡总长，所以 + = = 380 m，所以 = 380 20 = 360(m).②当点 位于北
坡时，如图 2，因为 = 200 m，点 为 的中点，所以 = 2 = 400 m ，因为 = 20 m,
所以 + = 420 m.因为点 平分南北两坡总长，所以 = 420 m，所以 = + =
440 m．综上， 的长度是 360 m 或 440 m .
5.如图，将一根绳子对折以后用线段 表示，现从 处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最
长的一段为 12 cm，若 : = 1: 3 ，则这根绳子原来的长度为_______________.
解析: 因为 : = 1: 3， + = ，所以 = 1 ， = 3 ．①当“对折点”在点 时，这根绳
4 4
子被剪成 2 ， ， 三段，而 2 = 2 ， = 3 ，则 2 < ，所以 = 12 cm ，即3 = 12 cm，
4 4 4
所以 = 16 cm，此时这根绳子的长度为 2 = 32 cm ；②当“对折点”在点 时，这根绳子被剪成 ， ，
2 ，所以 2 = 12 cm，所以 = 6 cm，即3 = 6 cm，所以 = 8 cm ，此时这根绳子的长度为 2 =
4
16 cm.综上所述，这根绳子的长度为 16 cm 或 32 cm ．
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第六章 几何图形初步
6.已知线段 ，延长线段 到点 ，使 = 5 ， 为 的中点， 为 的中点.
2
（1）①补全图形；
解:补全图形如图所示.
②若 = 4，则 = __.（直接写出结果）
解析: 因为 = 4， = 5 ，所以 = 10，又因为 为 的中点，所以 = 1 = 1 ×
2 2 2
10 = 5，又因为 为 的中点，所以 = 1 = 1 × 5 = 5，所以 = = 4 5 = 3 .
2 2 2 2 2
（2）若 = 2，求 的长.
解:设 = ，
因为 为 的中点，所以 = = ， = = ，
因为 为 的中点，所以 = = ， = = ，
因为 = ， = + ,

所以 = ( + )，解得 = ，

所以 = = = ，

所以 = + = × + = .

7.如图，已知线段 ，点 是 的中点，点 是 的三等分点，且点 在点 的右边．
（1）若 = 6，求 的长.
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第六章 几何图形初步
解:因为点 是 的中点，点 是 的三等分点，
所以 = ， = ，所以 = = .

因为 = ，所以 = .
解析: 解题思路：由点 是 的中点，点 是 的三等分点可知，
= = 1 1 = 1 .
2 3 6
（2）在线段 上是否存在一点 ，使得点 是 的中点，同时点 也是 的中点？若存在，
请用圆规找出点 的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由．
解:存在，理由如下. 如图，在线段 的延长线上作线段 = ．
由（1）知， = ， = ，

所以 = = ，所以 = ，

所以 = = ，所以点 是 的中点，

所以 = = ，

所以 = = ，所以点 是 的中点．

另解 如图，
在线段 的延长线上作线段 = ,则点 是 的中点.
由（1）知， = ， = ，

所以 = ，所以 = + = ，

所以 = = ，所以 = ，所以 = ,

所以点 是 的中点.
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第六章 几何图形初步
8.如图，点 是线段 上任意一点（不与端点重合），点 是 的中点，点 是 的中点，
点 是 的中点，给出下列结论：① = ；② = 1 ( )；③ = 1 ( + )
2 2
；④ = 1 ( + ) .其中正确的有( )
2
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
解析: 对于①，因为点 是 的中点，点 是 的中点，所以
= + = 1 + 1 = 1 ( + ) = 1 .因为点 是 的中点，
2 2 2 2
所以 = 1 ，所以 = ，故①正确.对于②，因为点 是 的中
2
点，点 是 的中点，所以 = = 1 1 = 1 .又因为
2 2 2
= = ，所以 = 1 ( ) ，故②正确.对于③，
2
由①知 = 1 ，由已知无法得出 + = ，故③错误.对于④，
2
因为点 是 的中点，点 是 的中点，所以
= = 1 1 = 1 ( ) = 1 .又因为
2 2 2 2
+ = + = ，所以 = 1 ( + ) ，故④正确.综上，
2
正确的有①②④，共 3 个.
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第六章 几何图形初步
一题练透————线段长度的有关计算
如图，点 ， 是线段 上两点（不与端点重合，且点 在点 的左侧）， = 4 cm ．
（1）若 = 1.5 cm， = 3.5 cm，则 的长度为___cm .
解析: 因为 = 4 cm， = 1.5 cm，所以 = = 2.5 cm ，
因为 = 3.5 cm,所以 = = 3.5 2.5 = 1(cm) ．
（2）若点 是线段 的中点，点 是线段 的中点，则 的长度为___cm .
解析: 因为点 是线段 的中点， = 4 cm,所以 = 1 = 2 cm . 因为点 是线段 的中
2
点，所以 = 1 = 1 cm ．
2
（3）若 : = 1: 4， : = 2: 3，求 的长度.
解:因为 : = : ， : = : ， = ,
所以 = = ， = = ，

所以 = = ．

（4）若 = ，延长线段 至点 ，使 = 5 cm，点 是线段 的中点，求 的长度.
解:设 = = ，因为 = , = ,所以
= = + = ( + ) ，
所以 = + = ( + ) .
因为 是 的中点，所以 = = ( + ) ，

所以 = = ．

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第六章 几何图形初步
（5）若点 是线段 的三等分点，点 是线段 的中点，求 的长度.
解:因为点 是线段 的中点，所以 = .

分情况讨论：
当点 靠近点 时，因为点 是线段 的三等分点，所以 = = ，

所以 = × = ( ) ；

当点 靠近点 时，因为点 是线段 的三等分点，所以 = = ，

所以 = × = ( ) .

综上， 的长度为 或 ．

（6）若 = 1 cm，点 是线段 的中点，点 是线段 的中点，则当 在线段 上滑动
时， 的长度会发生改变吗 若不变，请求出 的长度；若改变，试说明你的理由.
解:不会发生改变.
因为点 是线段 的中点，所以 = .

因为点 是线段 的中点，所以 = .

所以 = + + = + + = ( + ) + = ( ) + =

( + ) .

因为 = , = ,
所以 = ( + ) = ,

所以 的长度不会发生改变，长度为 .

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