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第二章 有理数的运算
2.2 有理数的乘法与除法
课时 2 有理数的加减乘除混合运算
1. 1将下列运算符号分别填入算式 6 ( ◇2)的◇ 中，计算结果最小的是 ( )
2
A.+ B.- C.× D.÷
2.我们把 2 ÷ 2 ÷ 2记作2③，( 4) ÷ ( 4) 记作( 4)②，那么计算 9 × ( 3)④ 的结果为( )
A.1 B.3 C.1 D.1
3 9
3. “五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响.大致海拔每升高 100米，气温下降
约 0.6 ℃ .有一座海拔为 2 350米的山，在这座山上海拔为 350米的地方测得气温是 6℃ ，则
此时山顶的气温约为____℃ .
4.计算下列各题：
（1）18 6 ÷ ( 2) × ( 1 ) ;
3
（2） 3 [ 5 + (1 0.2 × 5 ) ÷ ( 2)] ;
3
（3） 2 ÷ ( 4 ) 24 × ( 2 3 1 ) .
3 3 3 4 12
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第二章 有理数的运算
5.阅读下面解题过程：
计算：( 15) ÷ ( 1 3 3) × 6 .
3 2
解：( 15) ÷ ( 1 3 3) × 6
3 2
= ( 15) ÷ ( 25 ) × 6 （第一步）
6
= ( 15) ÷ ( 25) （第二步）
= 3 （第三步）.
5
回答：
（1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第几步？第二处是第几步？
（2）请写出正确的解题过程．
6. 1阅读下列材料：计算： ÷ ( 1 1+ 1 ) .
24 3 4 12
= 1 ÷ 1 1 ÷ 1+ 1 ÷ 1 = 1 1 1解法一：原式 × 3 × 4 + × 12 = 11 .
24 3 24 4 24 12 24 24 24 24
1 4
解法二：原式= ÷ ( 3 + 1 ) = 1 ÷ 2 = 1 × 6 = 1 .
24 12 12 12 24 12 24 4
解法三：原式的倒数= ( 1 1 + 1 ) ÷ 1 = ( 1 1 + 1 ) × 24 = 1 × 24 1 × 24 + 1 × 24 = 4 ，
3 4 12 24 3 4 12 3 4 12
所以原式= 1 .
4
（1）上述得到的结果不同，你认为解法____是错误的.
1 1 3 2 2
（2）请你选择合适的解法计算：( ) ÷ ( + ) .
42 6 14 3 7
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第二章 有理数的运算
数学思想——有理数运算中的数学思想方法
思想方法 1 分类讨论思想
1.已知| | = 5，| | = 4 .
（1）若 < 0，则 + 的值为_______；
（2）若| + | = + ，则 的值为_________.
2. > 0 | | + | | | |若 ，化简： = _______.

思想方法 2 数形结合思想
3.在数轴上表示有理数 ， ， 的点如图所示，已知 + < 0， < 0，给出四个结论：① < 0；
② + < 0 ；③| | | | > 0；④| | < | | ，其中一定成立的结论个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
思想方法 3 转化思想（减法转化为加法，除法转化为乘法）
4.计算：
（1） | 0.5| ( 3 1 ) + 2.75 7 1 ；
4 2
2
（2） ÷ ( 1 ) ÷ ( 3 2 ) × 5 2 .
5 3 5 3
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第二章 有理数的运算
一题练透——有理数四则运算的实际应用
小明的妈妈在某模具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种模具 280个，计划每天生产 4
0个，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入．下表是小明妈妈某周的生产
情况（超产记为正、减产记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减产值 +8 1 4 +9 13 +7 0
（1）小明的妈妈本周实际生产模具多少个？
（2）该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个模具可得工资 6元，若超额完成任务，则超过
的部分每个另奖 3元；若没有完成任务，则少生产一个倒扣 2元.小明的妈妈这一周的工资总
额是多少元？
（3）在（2）的条件下，①若将实行“每日计件工资制”改为实行“每周计件工资制”，则在此方
式下小明的妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由．
②若按“每周计件工资制”的方式，小明的妈妈这一周的工资要想达到 1806元，则她一周需要
生产多少个模具？
③若按“每日计件工资制”的方式，且某周中的星期一至星期六每天生产模具的个数分别是 45，
38，43，40，41，36，小明妈妈这一周的工资要想达到 1 803元，则她星期日需要生产多少个
模具？
24/69第二章 有理数的运算
2.2 有理数的乘法与除法
课时 2 有理数的加减乘除混合运算
1.将下列运算符号分别填入算式 6 ( 1◇2)的◇ 中，计算结果最小的是 ( )
2
A.+ B.- C.× D.÷
1
解析： 当填入“+”时，6 ( + 2) = 6 3 = 9
2 2 2
当填入“-”时，6 ( 1 2) = 6 + 5 = 17；
2 2 2
1
当填入“×”时，6 ( × 2) = 6 + 1 = 7 ；
2
当填入“÷ ”时，6 ( 1÷ 2) = 6 + 1 = 25. 17 > 7 > 25 9因为 > ，
2 4 4 2 4 2
所以填入“+ ”时，计算结果最小.
2.我们把 2 ÷ 2 ÷ 2记作2③，( 4) ÷ ( 4) 记作( 4)②，那么计算 9 × ( 3)④ 的结果为( )
A.1 B.3 C.1 D.1
3 9
解析： 9 × ( 3)④ = 9 × [( 3) ÷ ( 3) ÷ ( 3) ÷ ( 3)] = 9 × [( 3) × ( 1 ) × ( 1 ) ×
3 3
( 1 )] = 9 × 1 = 1 .
3 9
3. “五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响.大致海拔每升高 100米，气温下降
约 0.6 ℃ .有一座海拔为 2 350米的山，在这座山上海拔为 350米的地方测得气温是 6℃ ，则
此时山顶的气温约为____℃ .
解析： 根据题意得，山顶比海拔 350米高的地方高 2 350 350 = 2 000 （米），所以此时山
6 2 000顶的气温约为 × 0.6 = 6(℃) .
100
4.计算下列各题：
（1）18 6 ÷ ( 2) × ( 1 ) ;
3
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第二章 有理数的运算
解：18 6 ÷ ( 2) × ( 1 )
3
= 18 6 × ( 1 ) × ( 1 )
2 3
= 18 1
= 17 .
（2） 3 [ 5 + (1 0.2 × 5 ) ÷ ( 2)] ;
3
解： 3 [ 5 + (1 0.2 × 5 ) ÷ ( 2)]
3
= 3 [ 5 + 2 × ( 1 )]
3 2
= 3 ( 5 1 )
3
= 3 ( 16 )
3
= 7 .
3
2
（3） ÷ ( 4 ) 24 × ( 2 3 1 ) .
3 3 3 4 12
2 ÷ ( 4 ) 24 × ( 2 3 1解： )
3 3 3 4 12
= 2 × ( 3 ) 24 × 2 24 × ( 3 ) 24 × ( 1 )
3 4 3 4 12
= 1 16 + 18 + 2
2
= 4 1 .
2
5.阅读下面解题过程：
计算：( 15) ÷ ( 1 3 3) × 6 .
3 2
解：( 15) ÷ ( 1 3 3) × 6
3 2
= ( 15) ÷ ( 25 ) × 6 （第一步）
6
= ( 15) ÷ ( 25) （第二步）
= 3 （第三步）.
5
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第二章 有理数的运算
回答：
（1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第几步？第二处是第几步？
解：第一处错误是第二步，第二处错误是第三步.
（2）请写出正确的解题过程．
解：正确的解题过程如下：
( 15) ÷ ( 1 3 3) × 6
3 2
= ( 15) ÷ ( 25 ) × 6
6
= 15 × 6 × 6
25
= 108 .
5
6. 1 1 1 1阅读下列材料：计算： ÷ ( + ) .
24 3 4 12
= 1 ÷ 1 1 ÷ 1+ 1 ÷ 1 = 1 × 3 1 × 4+ 1 × 12 = 11解法一：原式 .
24 3 24 4 24 12 24 24 24 24
1 4 3 1 1 2
解法二：原式= ÷ ( + ) = ÷ = 1 × 6 = 1 .
24 12 12 12 24 12 24 4
1 1 1 1 1 1 1 1
解法三：原式的倒数= ( + ) ÷ = ( + ) × 24 = × 24 1 × 24 + 1 × 24 = 4 ，
3 4 12 24 3 4 12 3 4 12
= 1所以原式 .
4
（1）上述得到的结果不同，你认为解法____是错误的.
解析： 因为除法没有分配律，所以解法一是错误的.
1 1 3 2 2
（2）请你选择合适的解法计算：( ) ÷ ( + ) .
42 6 14 3 7
解：选择解法二，( 1 ) ÷ ( 1 3 + 2 2 )
42 6 14 3 7
= ( 1 ) ÷ ( 7 9 + 28 12 )
42 42 42 42 42
= ( 1 ) ÷ 14
42 42
= ( 1 ) × 42
42 14
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第二章 有理数的运算
= 1 .
14
选择解法三，原式的倒数= ( 1 3 + 2 2 ) ÷ ( 1 )
6 14 3 7 42
= ( 1 3 + 2 2 ) × ( 42)
6 14 3 7
= 1 × ( 42) 3 × ( 42) + 2 × ( 42) 2 × ( 42)
6 14 3 7
= 7+ 9 28 + 12
= ( 7 28) + (9 + 12)
= 35 + 21
= 14 ，
所以原式= 1 ．
14
数学思想
有理数运算中的数学思想方法
思想方法 1 分类讨论思想
1.已知| | = 5，| | = 4 .
（1）若 < 0，则 + 的值为_______；
解析： 因为 < 0( ， 异号)，所以 = 5， = 4或 = 5， = 4 ，所以 + = 1 或
1．
（2）若| + | = + ，则 的值为_________.
解析： 因为| + | = + ，所以 + ≥ 0，所以 = 5， = 4 或 4，所以 = 20 或 2
0.
2. > 0 | | + | | | |若 ，化简： = _______.

解析：因为 > 0，所以 ， 同号.当 > 0， > 0 时，
| | + | | | | = 1 + 1 1 = 1；当 < 0， < 0 时，

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第二章 有理数的运算
| | + | | | | = 1 1 1 = 3. | | + | | | |综上， 的值为 1或 3 .

思想方法 2 数形结合思想
3.在数轴上表示有理数 ， ， 的点如图所示，已知 + < 0， < 0，给出四个结论：① < 0；
② + < 0 ；③| | | | > 0；④| | < | | ，其中一定成立的结论个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析： 因为 < 0，且点 在点 的左边，所以 < 0, > 0 .因为 + < 0，且点 在点 的左
边，所以| | > | |.① 的符号无法确定，故 < 0 不一定成立，故①不符合题意；②因为
的符号无法确定，故 + < 0不一定成立，故②不符合题意；③因为| | > | | ，所以| | | | >
0，故③一定成立，符合题意；④因为 < 0, > 0 ，所以原点在点 和点 之间，因为| |
表示点 与点 之间的距离，| |表示点 到原点的距离，所以| | > | | ，故④不成立，不
符合题意.综上，一定成立的结论是③，共 1个.
思想方法 3 转化思想（减法转化为加法，除法转化为乘法）
4.计算：
（1） | 0.5| ( 3 1 ) + 2.75 7 1 ；
4 2
解： | 0.5| ( 3 1 ) + 2.75 7 1
4 2
= 1+ 3 1 + 2 3 7 1
2 4 4 2
= ( 1 7 1 ) + (3 1 + 2 3 )
2 2 4 4
= 8+ 6
= 2 .
2 2 ÷ ( 1（ ） ) ÷ ( 3 2 ) × 5 2 .
5 3 5 3
解： 2 ÷ ( 1 ) ÷ ( 3 2 ) × 5 2
5 3 5 3
= 2 × ( 3) × ( 5 ) × 17
5 17 3
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第二章 有理数的运算
= 2 ．
一题练透
有理数四则运算的实际应用
小明的妈妈在某模具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种模具 280个，计划每天生产 4
0个，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入．下表是小明妈妈某周的生产
情况（超产记为正、减产记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减产值 +8 1 4 +9 13 +7 0
（1）小明的妈妈本周实际生产模具多少个？
解： +8 + 1 + 4 + +9 + 13 + +7 + 0
= 8 1 4 + 9 13 + 7 + 0 = 6,
280 + 6 = 286 （个），故小明的妈妈本周实际生产模具 286个.
（2）该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个模具可得工资 6元，若超额完成任务，则超过
的部分每个另奖 3元；若没有完成任务，则少生产一个倒扣 2元.小明的妈妈这一周的工资总
额是多少元？
解：286 × 6 + (8 + 9 + 7) × 3 + (1 + 4 + 13) × ( 2) = 1 752 （元），
故小明的妈妈这一周的工资总额是 1 752元.
（3）在（2）的条件下，①若将实行“每日计件工资制”改为实行“每周计件工资制”，则在此方
式下小明的妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由．
解：按日计件的工资更多.理由如下：
若实行“每周计件工资制”，则小明的妈妈这一周的工资总额为
280 × 6 + 6 × (6 + 3) = 1 734 （元）.
因为 1 752 > 1 734 ，所以按日计件的工资更多.
②若按“每周计件工资制”的方式，小明的妈妈这一周的工资要想达到 1806元，则她一周需要
生产多少个模具？
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第二章 有理数的运算
解：(1 806 280 × 6) ÷ (6 + 3) = 14，280 + 14 = 294 （个），
故她一周需要生产 294个模具．
③若按“每日计件工资制”的方式，且某周中的星期一至星期六每天生产模具的个数分别是 45，
38，43，40，41，36，小明妈妈这一周的工资要想达到 1 803元，则她星期日需要生产多少个
模具？
解：星期一至星期六的工资总额为(45 + 38 + 43 + 40 + 41 + 36) × 6 + (5 × 3 2 × 2 + 3 ×
3 + 1 × 3 4 × 2) = 1 473 （元），
所以星期日的工资为 1 803 1 473 = 330 （元），
330 40 × 6 = 90（元），90 ÷ (6 + 3) = 10 （个），40 + 10 = 50 （个）,
故她星期日需要生产 50个模具.
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