资源简介

四川省达州铭仁园学校 2024-2025 学年高一下学期
第三次月考数学试题
一、单选题
1. 已知 ， ，且 ，则 等于（ ）
A．2 B． C．1 D．
2. 若复数 z 满足 ，则 （ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
3. 某学校参加志愿服务社团的学生中，高一年级有 50 人，高二年级有 30 人，
高三年级有 20 人，现用分层抽样的方法从这 100 名学生中抽取学生组成一个活
动小组，已知从高二年级的学生中抽取了 6人，则从高三年级的学生中应抽取的
人数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4. 如图，在 中，设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5. 已知函数 的部分图象如图所示，则
（ ）
A． B．
C． D．
6. 在 中，若 ，且 ，那么 一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．非等边等腰三角形 D．等边三角形
7. 定义运算： ，将函数 的图像向左平移
个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则 的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
8. 设函数 ，若函数 的图象关于点
对称，且在区间 上的值域为 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9. 从刚生产的一批产品（既有正品也有次品）中取出 3件产品，设 {3 件产
品全不是次品}， {3 件产品全是次品}， {3 件产品不全是次品}，则下列
结论正确的是（ ）
A．A 与 B 互斥 B．A 与 C 互斥
C．A 与 B 对立 D．B 与 C 对立
10. 下列说法正确的是（ ）
A． ，
B．
C．若 ，则 ，
D．若 是关于 x 的方程 的根，则
11. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优
美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它
的具体内容是：已知 M 是 内一点， ， ， 的面积分
别为 ， ， ，且 ．以下命题正确的是（ ）
A．若 ，则 M 为 的重心
B．若 M 为 的内心，则
C．若 ， ，M 为 的外心，则
D．若 M 为 的垂心， ，则
三、填空题
12. 已知非零向量 ， 的夹角为 ， ， ，则 ____________.
13. 一组数据 的平均值为 3，方差为 1，记
的平均值为 a，方差为 b，则 _________.
14. 在某海域开展的海上演习中，我方军舰要到达 C 岛完成任务．已知军舰位
于 B 市的南偏西 25°方向上的 A 处，且在 C 岛的北偏西 58°方向上，B 市在 C
岛的北偏西 28°方向上，且距离 C 岛 248km，此时，我方军舰沿着 AC 方向以
50km/h 的速度航行，则我方军舰到达 C 岛的小时大约为________h．（参考数据：
， ， ）
四、解答题
15. —只不透明的袋子中装有 2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同.
(1)搅匀后从中任意摸出 2个球，求这 2个都球是白球的概率；
(2)搅匀后从中任意摸出 1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出 1个
球，求 2次摸到的球恰好是 1个白球和 1个红球的概率.
16. 在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 ．
(1)求角 ；
(2)若 ， 的周长为 ，求 的面积．
17. 某消防队为了了解市民对“消防基本常识”的认知程度，针对本市不同年龄
的人举办了一次“消防之星”知识竞赛，满分100分（95分及以上为消防之星”），
共有 100 人荣获“消防之星”称号，将其按年龄分成以下五组：第一组 ，
第二组 ，第三组 ，第四组 ，第五组 ，得到如图
所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄和第 80 百分位数；
(2)若从第三组，第四组，第五组三组中分层抽取 6人，再从这 6人中随机抽取
2人，求抽取的 2人年龄在不同组的概率；
(3)若第三组的年龄的平均数与方差分别为 36 和 2，第四组的年龄的平均数与方
差分别为 46 和 4，据此计算这 100 人中第三组与第四组所有人的年龄的方差．
18. 已知向量 ，函数 ．
(1)求函数 的解析式；
(2)若 ，且 ，求 的值；
(3)已知 ，将 的图象向左平移 个单位长度得到函数
的图象．在 的图象上是否存在一点 ，使得 ？若存在，求出所
有符合条件的点 的坐标；若不存在，说明理由．
19. 1637 年，法国数学家笛卡尔发表了《几何学》，在这本书中，笛卡尔提出了
著名的笛卡尔坐标系统.笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜坐标系的统称，相交
于原点的两条数轴，构成了平面放射坐标系.如两条数轴上的度量单位相等，则
称此放射坐标系为笛卡尔坐标系，两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡
尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系，如图，设 、 是平面内相交成
的两条射线， 、 分别为 、 同向的单位向量，定义平面坐标
系 为 仿射坐标系，在 仿射坐标系中，若 ，则记
.
(1)在 仿射坐标系中，若 ，求 ；
(2)在 仿射坐标系中，若 ， ，且 与 的夹角为 ，求
；
(3)如图所示，在 仿射坐标系中， 、 分别在 轴、 轴正半轴上， ，
， 、 分别为 、 中点，求 的最大值.
四川省达州铭仁园学校 2024-2025 学年高一下学期第三次月考数学试题
整体难度：适中
考试范围：平面向量、复数、计数原理与概率统计、三角函数与解三角形
试卷题型
题型 数量
单选题 8
多选题 3
填空题 3
解答题 5
试卷难度
难度 题数
容易 5
较易 3
适中 9
较难 1
困难 1
细目表分析
题号 难度系数 详细知识点
一、单选题
1 0.94 由向量共线（平行）求参数
2 0.94 求复数的模；复数的除法运算
3 0.94 抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算
4 0.94 用基底表示向量
5 0.85 由图象确定正（余）弦型函数解析式
用和、差角的正弦公式化简、求值；正弦定理边角互化的应用；正、余弦定理判
6 0.65
定三角形形状
由余弦（型）函数的奇偶性求参数；求图象变化前（后）的解析式；辅助角公式；
7 0.65
三角函数新定义
由 cosx（型）函数的值域（最值）求参数；利用 cosx（型）函数的对称性求参
8 0.65
数
二、多选题
9 0.94 判断所给事件是否是互斥关系；互斥事件与对立事件关系的辨析
10 0.65 共轭复数的概念及计算；复数的除法运算；复数的乘方
三角形的心的向量表示；根据向量关系判断三角形的心；已知两角的正、余弦，
11 0.4
求和、差角的余弦；三角形面积公式及其应用
三、填空题
12 0.85 已知数量积求模；用定义求向量的数量积；垂直关系的向量表示
平均数的和差倍分性质；各数据同时乘除同一数对方差的影响；各数据同时加减
13 0.65
同一数对方差的影响
14 0.65 正弦定理解三角形；用和、差角的正弦公式化简、求值；距离测量问题
四、解答题
15 0.65 计算古典概型问题的概率；有放回与无放回问题的概率
正弦定理边角互化的应用；三角形面积公式及其应用；用和、差角的正弦公式化
16 0.85
简、求值；余弦定理解三角形
计算古典概型问题的概率；总体百分位数的估计；由频率分布直方图估计平均数；
17 0.65
计算几个数据的极差、方差、标准差
三角恒等变换的化简问题；数量积的坐标表示；求图象变化前（后）的解析式；
18 0.65
用和、差角的正弦公式化简、求值
数量积的运算律；向量新定义；三角恒等变换的化简问题；正弦定理边角互化的
19 0.15
应用
知识点分析
序号 知识点 对应题号
1 平面向量 1,4,11,12,18,19
2 复数 2,10
3 计数原理与概率统计 3,9,13,15,17
4 三角函数与解三角形 5,6,7,8,11,14,16,18,19
试题答案解析
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
（16）
（17）
（18）
（19）

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