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2024-2025学年广西河池市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列中，，则( )
A. B. C. D.
2.“关于，的方程表示双曲线”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知空间四点，，，，则直线与直线所成的角为( )
A. B. C. D.
4.一个数阵有行列，第一行中的个数互不相同，其余行都由这个数以不同的顺序组成如果要使任意两行的顺序都不相同，那么的最大值为( )
A. B. C. D.
5.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是( )
A. B. C. D.
6.在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球的球心到平面的距离为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知函数，有两个极值点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，圆的方程为，斜率为的直线过点且与圆相交于，两点若，则所有满足条件的直线的斜率之积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，正确的有( )
A. 对于，，有
B. 若随机变量，，则
C. 若随机变量，且，则
D. 若、两组成对数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性强
10.记等比数列的公比为，其前项和为，且，则下列说法一定正确的有( )
A. 是等比数列
B. 是等差数列
C. ，，是等比数列
D. 是等比数列
11.已知抛物线：，的顶点均在上，且的重心为抛物线的焦点若，则( )
A.
B. 的三个顶点到轴的距离之和为
C. 的周长小于
D. 当点的纵坐标为时，的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.二项式的展开式中常数项的值为 ．
13.若直线为曲线的一条切线，则实数的值为______．
14.某班级一天排六节课，上午四节，下午两节有节不同的文化课、节不同的艺术课和节体育课，要求排出一个课表上午第一节课和下午最后一节课都是艺术课，有______种排法；上午有艺术课，且体育课不排在上午第一节，有______种排法．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的公差为，其前项和，对于，有．
求的通项公式；
数列的前项和为，证明．
16.本小题分
如图，在各棱长都相等的正四棱锥中，为与的交点，为侧棱的中点．
证明：平面；
求直线与平面的所成角的大小．
17.本小题分
一个盒子中有个大小重量相同的小球，其中个白球，个黑球从盒子中随机取出一个小球不放回，然后再从盒子中随机取出一个小球．
在第一次取到黑球的条件下，求第二次取到白球的概率；
设表示两次取球取到黑球的个数，求的分布列和均值．
18.本小题分
已知函数．
若，求函数在处的切线方程；
若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；
若存在，使得成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知椭圆：上一动点到原点距离的最小值为，最大值为椭圆的左顶点为，过的两条直线，关于直线：对称，，与椭圆的另外一个交点分别为，，，与轴分别交于为，．
求椭圆的标准方程；
求的值；
直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由．
参考答案
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14.
15.因为等差数列的公差为，
则，，
可得，
当时，，所以，解得，
所以；
证明：由可知，
所以，
，
得：，
所以．
16.证明：因为，分别为，的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
由题意得底面，，
以为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
设正四棱锥的棱长为，所以，，
所以，，
所以，
，，
设平面的法向量为，
则，所以，
则，
设直线与平面的夹角为，
则，
所以．
17.根据题意，设第一次取到黑球为事件，第二次取到白球为事件，
盒子中有个大小重量相同的小球，其中个白球，个黑球，
则，
所以．
根据题意，表示两次取球取到黑球的个数，则的取值可能有，，，
，，，
则的分布列为：
且．
18.的定义域为，
若，则，，
可得，，
即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程为，即；
，
因为在定义域内为增函数，
所以，，恒成立，即，恒成立，
即，
构建，则，
又因为在定义域内单调递减，且，
当时，，即；当时，，即；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
可得，所以实数的取值范围为．
因为，即，可得，
构建，
原题意等价于存在，使得成立，
当时，则，，可得；
当时，可得；
当时，则，，可得；
综上所述：，
可得，所以实数的取值范围为．
19.解：设，那么，
由于，因此，那么，，
因此：；
根据第一问知，设：，：，
那么点的纵坐标，点的纵坐标为，
点是点关于的对称点，设是上异于点的任意一点，
根据，得，
根据，可得，
联立方程，解得，代入：，可得，
又根据点在：上，那么，
因此有，因此根据，可得，
那么；
设，，
设直线：，由，
消得，
设，，所以，
，，
由知，即，
即，
即，
化简得，解得或舍去，
所以动直线恒过轴上的定点．
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