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2024-2025学年江西省萍乡市芦溪中学高二（下）期中数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知离散型随机变量的分布列为，则( )
A. B. C. D.
2.已知等差数列的前项和为，，则( )
A. B. C. D.
3.在的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
4.直线：与圆：相交于，两点，当时的值为( )
A. B. C. D.
5.已知直线：与圆：相切，则( )
A. B. C. D.
6.已知等差数列和的前项和分别为、，若，则( )
A. B. C. D.
7.用五种不同颜色的涂料涂在如图所示的五个区域，相邻两个区域不能同色，且至少要用四种颜色，则不同的涂色方法有( )
A.
B.
C.
D.
8.将一根长为的铁丝截成段，使其组成一个正三棱柱的框架铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和，则该正三棱柱的体积最大为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，且，则下列等式一定正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，下列结论正确的是( )
A. 若为奇函数，则
B. 的图象关于直线对称
C. 若，则的单调递增区间为，
D. 当时，在，上单调递增
11.已知数列满足，则下列说法中正确的是( )
A. 若，，则是等差数列
B. 若，，则是等差数列
C. 若，，则是等比数列
D. 若，，则是等比数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，是两个离散型随机变量，且，若，则 ______．
13.从，，，，，，这个数中任取个不同的数，则这个不同的数的中位数为的概率为______．
14.已知抛物线：的焦点到其准线的距离为，若等边三角形的边在轴的非负半轴上，与原点重合，点的横坐标大于点的横坐标，位于第一象限的点，在抛物线上，则 ______用含的式子表示
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
若，其中．
求的值；
求．
16.本小题分
已知数列的前项和为，且，．
求，，并证明：数列为等比数列；
求的值．
17.本小题分
已知双曲线的右焦点为，过点的直线交的右支于，两点，当轴时，．
求双曲线的离心率；
若直线的倾斜角为，且经过点，为双曲线的左支上一动点，求面积的最小值．
18.本小题分
对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心给定函数，请你根据上面的探究结果，解答以下问题：
求的对称中心．
求．
记数列的前项和为，数列的前项和为，若对恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
若随机变量，均为定义在同一样本空间上的离散型随机变量，则将称为二维离散型随机变量，将取值为的概率记作，其中，，，，．
甲、乙两人进行足球点球比赛，约定如下：甲、乙各点一次球，点球者进球得分，不进球得分，分数高者获胜，比赛结束若平局，甲、乙再通过抽签决定谁点球，且甲、乙抽中签的概率均为，抽中签者点球，进球得分，不进球得分；未抽中者不点球，得分，分数高者获胜，比赛结束已知甲、乙每次进球的概率分别为，，且每次点球之间相互独立记甲得分为，乙得分为．
求，；
求；
已知随机事件发生了，求随机变量的分布列与数学期望．
参考答案
1.
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5.
6.
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10.
11.
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13.
14.
15.解：，其中．
易知展开式中含项为，
因此可得，即；
解得；
由可知，二项式为，
令，可得；
令，可得；
因此可得．
16.由，，
可得，
解得，，
当时，有，可得，
得，即，
即有，
上式对也成立，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
由得，，，
，
．
17.当轴时，，
因为过点的直线交的右支于，两点，
将代入双曲线方程中，
可得，
又，
解得，
所以，
此时，
整理得，
所以，
此时，
因为，
所以；
因为双曲线过点，
所以，
此时，
所以双曲线的方程为，右焦点，
设直线，
即，
联立，消去并整理得，
设，，
由韦达定理得，
所以．
设过点与直线平行的直线的方程为，
当与双曲线的左支相切时，与之间的距离最小，
此时的面积最小．
联立，消去并整理得，
此时，
解得．
当时，与双曲线的右支相切，不符合题意；
当时，与双曲线的左支相切，符合题意，
所以，
其与直线的距离为．
孤面积的最小值为．
18.，
因此，
令，可得，
易知，
因此的对称中心为；
由中的对称中心为，可得，
因为，
因此，
两式相加可得
，
可得，
由可得数列为等差数列，且，
因此；
可得；
因此
；
若对恒成立，可得，
即，
令，可得恒成立，因此；
令，由对勾函数性质可知函数在上单调递增，
因此，可得，
即的取值范围为．
19.若，，
此时甲的得分为分，乙的得分为，
其情形为甲、乙各进一球，且乙抽到签，未进球，
因为甲、乙每次进球的概率分别为，，且每次点球之间相互独立，
所以，
因为，是不可能事件，
所以；
若，
此时甲的得分为分，
需满足甲进球，乙未进球，或甲进球，乙进球，且乙抽到签，
所以，
则；
若随机事件发生了，
此时甲的得分为分，
需满足甲未进球，乙进球，或甲未进球，乙未进球，且乙抽到签，
所以，
已知的所有可能取值为，，，
所以，
，
，
所以，
，
，
则的分布列为：
故．
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