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2024-2025学年北京八十中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.端午节吃粽子是我国的传统习俗现有一盘中装有个粽子，其中个不同的蛋黄粽，个不同的豆沙粽若从蛋黄粽和豆沙粽中各取个，则不同的取法种数为( )
A. B. C. D.
3.袋中有个黑球、个红球，从中任取个，可以作为随机变量的是( )
A. 取到的球的个数 B. 取到红球的个数
C. 至少取到一个红球 D. 至少取到一个红球的概率
4.函数的导数( )
A. B. C. D.
5.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
6.已知在件产品中有件次品，现从这件产品中任取件，用表示取得次品的件数，则( )
A. B. C. D.
7.函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题：
是函数的极值点；
是函数的最小值点；
在区间上单调递增；
在处切线的斜率小于零．
以上正确命题的序号是( )
A. B. C. D.
8.甲、乙、丙、丁人任意排成一行，求甲和乙相邻的概率为( )
A. B. C. D.
9.位于坐标原点的一个质点按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点移动次后位于点的概率为．
A. B. C. D.
10.对于函数，若存在区间，当时的值域为，则称为倍值函数若是倍值函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，共30分。
11.展开式中各项的系数的和是______用数字作答
12.已知，，则 ______．
13.已知随机变量，，满足，，则 ______．
14.已知某六名同学在竞赛中获得前六名无并列情况，其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有______种用数字作答．
15.将字母，，，，，放入的表格中，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，且每一列的字母互不相同的概率为______；若共有行字母相同，则得分，则所得分数的均值为______．
16.已知函数，其中，存在三个零点，，，且，给出下列个结论：
；
；
的取值范围为；
若，，成等差数列，则；
则所有正确的结论的序号为______．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知道试题中有道选择题，依次不放回的抽取道题目，求：
第一次抽取的题目是选择题的概率；
设为抽取的道题中选择题的个数，求随机变量的分布列及其数学期望．
18.本小题分
已知函数．
Ⅰ求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ讨论函数的单调性．
19.本小题分
为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动．从参加该活动的学生中随机抽取了名学生的竞赛成绩，数据如下表：
男生
女生
Ⅰ从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率；
Ⅱ从该校的高一学生中，随机抽取人，记成绩为优秀分的学生人数为，求的分布列和数学期望；
Ⅲ表中男生和女生成绩的方差分别记为，，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为分，组成新的男生样本，方差计为，试比较、、的大小．只需写出结论
20.本小题分
已知函数．
若，求的极小值；
当时，求的单调递增区间；
若有极大值，
求的取值范围；
求证：．
21.本小题分
已知有穷数列：，，，，满足，，，，，若存在一个正整数，使得数列中存在连续的项与该数列中另一个连续的项恰好按次序对应相等，则称数列是“阶可重复数列”例如数列：，，，，，，因为，，，，与，，，按次序对应相等，所以数列是“阶可重复数列”．
判断数列：，，，，，，，，，是不是“阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这项；
若项数为的数列一定是“阶可重复数列”，则的最小值是多少？说明理由；
假设数列不是“阶可重复数列”，若在其最后一项后再添加一项或，均可使新数列是“阶可重复数列”，且，求数列的最后一项的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.设事件表示“第一次抽取的题目是选择题”，
所以；
由题意可知，的所有可能取值为，，，
则，
所以的分布列为：，
所以．
18.Ⅰ由，得，
，又，
曲线在点处的切线方程为；
Ⅱ由Ⅰ得，，
当时，，当时，，
的单调减区间为；单调增区间为．
19.解：Ⅰ设“从抽出的男生和女生中，男生成绩高于女生成绩“为事件，
由表格得：从抽出的名学生中男女生各随机选取一人，共有种组合，
其中男生成绩高于女生，，，，，，，，，，，，，，，，，
所以事件有种组合，因此；
Ⅱ由数据知，在抽取的名学生中，成绩为优秀分的有人，即从该校参加活动的高一学生中随机抽取人，该学生成绩优秀的概率为，
因此从该校高一学生中随机抽取人，成绩优秀人数可取，，，且，
，，，，
所以随机变量的分布列为：


数学期望．
Ⅲ男生的平均成绩为，则；
女生的平均成绩为，则；
由于从参加活动的男生中抽取成绩为分的学生组成新的男生样本，
所以，则；
所以．
20.由题意知．
若，
则，所以．
令，得．
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，所以的极小值等于．
因为，
所以，
由，
即，
解得或，
所以在和单调递增；
由，即，
解得，
所以在单调递减；
故的单调增区间为和．
当时，由知，在和单调递增，在单调递减，
此时有极大值为；
当时，恒成立，
故在上单调递增，没有极大值；
当时，，令，
解得或，
令，
解得，
故在单调递增，在单调递减，在单调递增，
此时，有极大值；
当时，由知在单调递减，在单调递增，没有极大值；
综上所述，若有极大值，
则；
证明：当时，由上述分析可知，；
当时，；
令，所以，
在上，在上，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，
综上所述，．
21.数列：，，，，，，，，，，
因为，，，，与，，，，按次序对应相等，
所以是“阶可重复数列”，重复的这项为，，，，；
因为数列的每一项只可以是或，所以连续项共有种不同的情形．
若，则数列中有组连续项，则这其中至少有两组按次序对应相等，
即项数为的数列一定是“阶可重复数列”；
若，数列，，，，，，，，，不是“阶可重复数列”；
则时，均存在不是“阶可重复数列”的数列
所以，要使数列一定是“阶可重复数列”，则的最小值是．
由于数列在其最后一项后再添加一项或，均可使新数列是“阶可重复数列”，
即在数列的末项后再添加一项或，则存在，
使得，，，与，，，按次序对应相等，
或，，，与，，，按次序对应相等，
如果，，与，，不能按次序对应相等，
那么必有，，使得，，、，，与，，按次序对应相等．
此时考虑，和，其中必有两个相同，
这就导致数列中有两个连续的四项恰按次序对应相等，
从而数列是“阶可重复数列”，这和题设中数列不是“阶可重复数列”矛盾．
所以，，与，，按次序对应相等，从而．
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