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2024-2025学年海南省某校高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.二项式的展开式中第项的系数为( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量服从正态分布，且，则等于( )
A. B. C. D.
3.从一批棉花中随机抽测了根棉花的纤维长度单位：，其数据为，，，，，，，，则该组数据的第百分位数为( )
A. B. C. D.
4.点，的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
5.已知是抛物线上的一个动点，那么点到直线的距离与到该抛物线准线距离之和的最小值为( )
A. B. C. D.
6.一个盒子中装有个白色乒乓球和个橘黄色乒乓球现从盒子中任取个乒乓球，记取出的个乒乓球中颜色为橘黄色的个数为，则( )
A. B. C. D.
7.某大学学生会安排名学生作为“校庆周年欢迎校友回家”活动的志愿者，已知该活动的志愿者值班区域分为主楼区、偏楼区和大厅区三个区域，每名志愿者只需去一个区域进行志愿值班服务，且媒每个区域至少有名志愿者，则不同的安排方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有，，，，，，，共八个点，一枚棋子起始位置在点处，抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为，则棋子前进步，每步从一个点按顺时针方向前进到相邻的另一个点，可以循环进行，抛掷三次骰子后，游戏结束若此时棋子在点处，则游戏过关试问游戏结束时过关的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某同学根据，的组数据，绘制了散点图图，并进行回归分析，若在这组数据的基础上又增加了组数据图，重新进行回归分析，则下列叙述正确的是( )
A. 决定系数变大 B. 样本相关系数的绝对值更趋近于
C. 残差的平方和变大 D. 解释变量与响应变量的相关性变强
10.点在圆：上，点在圆：上，则( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 两个圆心所在的直线斜率为 D. 两个圆相交弦所在直线的方程为
11.已知，，是抛物线：上不同的动点，为抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，的中点为，则( )
A. 当时，的最大值为 B. 当时，的最小值为
C. 当时，直线的斜率为 D. 当时，点到直线的距离的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量服从两点分布，且，设，那么 ______．
13.在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生人，其平均数和方差分别为和，抽取了女生人，其平均数和方差分别为和，则估计出总样本的方差为______．
14.年月，欧内斯特卢瑟福在哲学杂志上发表论文在这篇论文中，他描述了用粒子轰击厚的金箔时拍摄到的运动情况在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分粒子从金箔上反弹如图，显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为______；如果粒子的路径经过，和三点，记直线，的斜率分别为，，且满足，则直线的斜率______
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查人购买情况，得到如下列联表：
新能源汽车款 新能源汽车款 总计
男性
女性
总计
求，；
根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？
假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立若从购买者中随机抽取人，设被抽取的人中购买了款车的人数为，求的数学期望．
附：，．
16.本小题分
市场调查员小王统计了某款拖把的销售单价单位：元与月销量单位：个之间的一组数据如表所示：
单价元
月销量个
根据以往经验，与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；
若这款拖把的进货价为元个，根据中回归方程，求该拖把月利润最大时拖把的单价为多少元结果精确到元
附：回归直线方程中，．
17.本小题分
已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为．
求椭圆的标准方程；
为椭圆的左顶点，直线与椭圆交于，两点，若，求证：直线过定点．
18.本小题分
在高中数学教材苏教版选择性必修的页题阐述了这样一个问题：假设某种细胞分裂每次分裂都是一个细胞分裂成两个和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少？在解决这个问题时，我们可以设一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为，则从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是，于是我们得到：，计算可得；我们也可以设一个种群由一个细胞开始，最终繁衍下去的概率为，那么从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，每个细胞繁衍下去的概率都是，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是，于是我们得到：，计算可得根据以上材料，思考下述问题：一个人站在平面直角坐标系的，他每步走动都会有的概率向左移动个单位，有的概率向右移动一个单位，原点处有一个陷阱，若掉入陷阱就会停止走动，以代表当这个人由开始，最终掉入陷阱的概率．
若这个人开始时位于点处，且，
求他在步内包括步掉入陷阱的概率；
求他最终掉入陷阱的概率；
已知，若，求．
已知是关于的连续函数，求关于的表达式，并作出函数图象．
19.本小题分
已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为，，是面积为的直角三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点、分别在第一、四象限．
求椭圆的离心率；
已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离；
求四边形面积的取值范围．
参考答案
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15.解：由题意可知，，；
零假设：选购该新能源汽车的款式与性别无关联，
则，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即可以认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于；
随机抽取人，购买款车的概率为，
则，
所以．
16.根据题意可得，，
所以
，
所以，
所以关于的回归直线方程为；
设每月的总利润，
因为抛物线的对称轴方程为，
所以该拖把月利润最大时，拖把的单价为元．
17.解：因为椭圆的两个焦点分别为，离心率为，
所以，，
又，
联立，解得，，
则椭圆的标准方程为；
证明：由知椭圆的左顶点，
不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
即，
由韦达定理得，，
因为，
所以，
此时，
即，
因为，
所以，
可得，
即，
解得或，
当时，直线的方程为，
此时直线经过点，不符合题意；
当时，直线的方程为，恒过定点．
故直线过定点．

18.这个人必须走奇数步才能进入陷阱，
若步进入陷阱，则概率为；
若步进入陷阱，则概率，
若步进入陷阱，则概率为，
故步内进入陷阱的概率为；
由题设从最终进入陷阱，可分成两类，
向左一步，进入陷阱；
向右一步，然后多步后进入，再进入陷阱；
故，故或舍；
因为，故，
所以，而，故为等比数列，
故，故，
故，当时，符合，故；
由中的解析可得，若，则或舍；
若，则舍或，故．
19.设椭圆的焦距为，
易得，，，
因为为面积为直角三角形，
所以，
则椭圆的离心率；
易知椭圆方程为，
设，
因为点在椭圆上，
所以，
即，
，
其对称轴为，
因为，
当，即时，
在时取得最大值，；
当，即时，
在时取得最大值，．
综上所述，当时，最大距离为；当时，最大距离为；
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，
因为点，分别在第一、四象限，
所以，
即，
所以，
解得，
则四边形的面积为
，
易知，
因为，两点均在直线上，
所以，，
此时，
令，，
则，
因为，
所以在上单调递增，
则．
故四边形面积的取值范围为．
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