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2024-2025学年青海省西宁二中教育集团高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，则( )
A. B. C. D.
2.已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大，则公比( )
A. B. C. D.
3.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
4.在数列中，，，则的通项公式为( )
A. B.
C. D.
5.已知等差数列和的前项和分别为、，若，则( )
A. B. C. D.
6.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，数列满足，则数列的通项公式为( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导运算正确的有( )
A. B.
C. D.
10.设等差数列的前项和为，公差为且满足，，则下列描述正确的是( )
A. 是唯一最大值 B. 是最大值 C. D.
11.下列命题正确的有( )
A. 若，则
B. 已知函数，若，则
C. 若，则
D. 曲线上点处切线的倾斜角的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列中，，，，则数列的通项公式为______．
13.某大型商场计划设计一个停车场，根据地形，设计排停车位，靠近商场的第排设计个停车位，从第排开始，每排设计的停车位个数是上一排的倍加，则设计的停车位的总数是 ．
14.已知函数有三个极值点，则实数的取值范围是______
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求曲线在点处的切线方程；
已知函数，求过点且与图象相切的直线的方程．
16.本小题分
已知数列的前项和为，且．
证明：是等比数列；
设，求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
在等差数列中，，，的前项和为．
求数列的通项公式；
设，求．
19.本小题分
已知函数．
求的极值；
证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，
所以所求切线方程为；
因为，
所以，
设过点的切线切曲线于点，
则切线方程为，又其过，
所以，
所以，
所以，
所以，解得或，
所以切线方程为或，
即或．
16.证明：，
当时，，解得；
当时，，
，即，
，又．
数列是以为首项，为公比的等比数列．
解：由可得，，
则，
，
两式相减有．
．
17.函数的定义域为，
，
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，由，解得，由，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
由可知不等式，即在上恒成立，
即在上恒成立，只需即可，
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，
所以，即实数的取值范围为．
18.设等差数列的公差为，
由，，
可得，，
解得，，
故．
，由，得，
即时，有，时，有，
若，，
若时，
，
综合上述，．
19.解：由题意得的定义域为，
则，
当时，，在上单调递增，无极值，
当时，令，则，令，则，
即在上单调递增，在上单调递减，
故为函数的极大值点，函数极大值为，无极小值；
证明：设，，
，令，
则，即在上单调递增，
，
故，使得，即，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故，
即，即，
则．
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