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2024-2025学年湖北省十堰市六县市区一中教联体高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类现有名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购种，则不同的选购方式有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.若，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
3.下列求导错误的是( )
A. B.
C. D.
4.在等差数列中，若其前项和为，已知，则( )
A. B. C. D.
5.的展开式中，含项的系数为，则( )
A. B. C. D.
6.已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则( )
A. B. C. D.
7.若函数的图象与的图象恰好有四个交点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数当时，，求的取值范围( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有( )
A. 在区间上是增函数
B. 是的极小值点
C. 在区间上是减函数，在区间上是增函数
D. 是的极小值点
10.现有个编号为，，的盒子和个编号为，，的小球，要求把个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有( )
A. 没有空盒子的方法共有种
B. 所有的放法共有种
C. 恰有个盒子不放球的方法共有种
D. 没有空盒子且小球均不放入自己编号的盒子的方法有种
11.设正整数，其中，记，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设等比数列满足，，则 ．
13.甲乙丙丁戊名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有______种
14.已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的展开式中所有项的二项式系数之和为，各项系数之和为．
求正整数数和实数的值；
求的展开式中项的系数．
16.本小题分
已知数列满足．
求；
求的通项公式；
设，求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数，在区间内是减函数，求的取值范围；
已知函数讨论的单调性．
18.本小题分
已知数列的前项和为，，且
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ设数列满足，记的前项和为，若对任意恒成立，
求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
求曲线在处的切线方程；
若不等式对任意恒成立，求实数的最大值；
证明：参考数据：，
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由条件可知；
，
展开式的通项为：，
令，即时，项的系数为，
项的系数为．
16.解：依题意，当时，，
所以．
由于，
则当时，，
两式相减得，
则，
又也满足上式，
所以的通项公式是．
由知，，
所以．
17.解：在内是减函数，
当对恒成立，
则 对恒成立，
设，，
根据对勾函数的单调性知，
在上单调递减，在上单调递增，
且，，则，
．
的取值范围是．
，，
当时，恒成立；
当时，，
当时，函数单调递减；
当时，函数在上单调递减，在 上单调递增．
18.解：Ⅰ由可得，
两式作差，可得：，
，
很明显，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
其通项公式为：
Ⅱ由，得，
，
，
两式作差可得：
，
则．
据此可得恒成立，即恒成立．
时不等式成立；
时，，由于时，故；
时，，而，故：；
综上可得，．
19.解：，
，又，
在处的切线为方程．
，
，，
，在上单调递减，
时，，
的最大值为．
证明：设，
在上单调递增，
，，
，使，
在上单调递减，在上单调递增，
，
，
．
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