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2024-2025 学年贵州省六盘水市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { 1,0,2}， = { | ( 1) = 0}，则 ∩ =( )
A. {0} B. { 1} C. { 1,0} D. { 1,0,2}
2.若 = 34 ，则 2 =( )
A. 5 B. 38 8 C.
3 5
8 D. 8
3.复数 满足 = 2 1，则| | =( )
A. 3 B. 5 C. 3 D. 5
4.已知向量 ， 满足 = 1，| | = 4，| | = 15，则 cos , =( )
A. 1 B. 1 2 34 3 C. 3 D. 4
25
2
.已知双曲线 2 2 = 1( > > 0)两条渐近线的夹角为3，则此双曲线的离心率为( )
A. 2 B. 4 3 C. 2 33 3 D.
4 3
3
6.已知函数 ( ) = ln(1 + ) 12 ，若 ( ) = 2，则 ( ) =( )
A. 2 B. 12 C.
1
2 D. 2
7.将 4 辆车停放到 5 个并排车位上，由于甲车的车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与甲车相邻
停放，则不同的停放方法种数为( )
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
+ 2, 为奇数,
8.已知数列{ }满足 1 = 1

， +1 = 则 100 =( )
2 , 为偶数,
A. 5 × 250 2 B. 5 × 250 4 C. 5 × 249 2 D. 5 × 249 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线 ， 和平面 ， ，下列说法中正确的是( )
A.若 // ， // ，则 // B.若 // ， ⊥ ， ⊥ ，则 //
C.若 // ， ，则 // D.若 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥
10.下列说法中正确的是( )
A.样本数据 7，8，6，8，4，7，3，9 的下四分位数为 4
B. (3 1)5的展开式中所有项的系数和与二项式系数和相等
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C.已知随机变量 ～ (3, 2)，若 ( > 1) = ，则 ( > 5) = 1
D.成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数 的值越接近于 1
11 1.定义在区间[0,1]上的函数 ( )满足 ( ) = 4 ( 4 )， (1) = 4 ( 2 ) = 1，且对任意的 0 ≤ 1 < 2 ≤ 1，都
有( 1 2)[ ( 1) ( 2)] ≥ 0，则( )
A. ( 1 14 ) = 4
B. ( 1 11000 ) = 1024
C.不等式 ( ) ≤ 在区间[0,1]上恒成立
D.若 ∈ [ , ] [ , ] 1，都有 ( ( )) = 410，则
3
的最小值为410
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.记等差数列{ }的前 项和为 ，已知 2 = 4， 7 = 0，则{ }的公差为______．
13.椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上
有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块 ， ，它们可分别在横槽和纵槽
中滑动，在直尺上的点 处用套管装上铅笔，使直尺转动一周就画出一个椭圆.现以
横槽和纵槽所在直线分别为 轴和 轴建立直角坐标系，若 = 1， 是 的中点，则 的轨迹方程为______．
14.理想状态下，在一个底面直径和高均为 2 的圆柱形石材中，挖去一个半径为 的球体后，剩余石材最多
2 1
还能打磨出______个体积最大的小球. (参考数据：sin 15 ≈ 2 )
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
为了解高中学生数学成绩与物理成绩的关联性，现从某高中学校抽取 100 人，得到如下信息：数学成绩与
物理成绩都优秀的有 10 人，都不优秀的有 65 人．
(1)依据上述信息完善如表 2 × 2 列联表，并根据小概率 = 0.001 的独立性检验，能否认为数学成绩与物理
成绩有关联；
物理成绩
数学成绩 合计
优秀不优秀
优秀 20
不优秀
合计 100
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(2)从数学成绩优秀的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取 6 人，若从这 6 人中随机抽 2 人、记
为物理成绩优秀的学生人数，求 的分布列及数学期望．
2
附： 2 = ( )( + )( + )( + )( + )， = + + + ．
= ( 2
≥ ) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16.(本小题 15 分)
设函数 ( ) = ( 1 ) ．
(1)求 ( )的定义域，并证明： ( ) = ( 1 )；
(2) 2讨论 ( )的单调性，并比较 ( 3 )与 ( )的大小．
17.(本小题 15 分)
如图，在长方体 1 1 1 1中， = 3， = 3， ， 分别在 ， 1上，且 = 3 ．
(1)求证：平面 ⊥平面 1 1；
(2)若 是 1的中点，三棱锥 1 的体积为 3，求平面 1 与平面 夹角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
在△ 中，记内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 = 3且sin2 + sin2 = sin2 + ．
(1)求 ；
(2)求 + 的最大值；
(3)若 的角平分线交 于点 ，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
如图，抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)上纵坐标为 2 的点到焦点的距离为 3，点 ( , )， 0( 0, 0)是 上的两点，
且| 0| = 4．
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(1)求 的方程；
(2)过线段 0的中点 1作 轴的垂线交 于点 1，过线段 1的中点 2作 轴的垂线交 于点 2，过线段 2
的中点 3作 轴的垂线交 于点 3， ，依此操作 次，记△ 1 的面积为 ．
①求△ 0 1的面积；
16
②证明： =1 < 7．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2
2
13. 4 +
2 = 1
14.30
15.(1)因为数学成绩与物理成绩都优秀的有 10 人，都不优秀的有 65 人，
补全 2 × 2 列联表如下：
物理成绩
数学成绩 合计
优秀不优秀
优秀 10 20 30
不优秀 5 65 70
合计 15 85 100
零假设 0：数学成绩与物理成绩无关联，
2
此时 2 = 100(10×65 5×20) 1210030×70×15×85 = 1071 ≈ 11.2979 > 10.828，
所以根据小概率 = 0.001 的独立性检验，没有充分依据推断 0成立，即推断 0不成立，
则根据小概率 = 0.001 的独立性检验，认为数学成绩与物理成绩有关联；
(2)由(1)可得从数学成绩优秀的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取 6 人，
此时物理成绩优秀的学生有 2 人，物理成绩不优秀的有 4 人，
所以 的所有可能取值为 0，1，2，
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0 2 1 1
( = 0) = 2 4 = 6 = 2 , ( = 1) = 2 4 8
2 0
此时 2
4 1
2 15 5 2
= 15 , ( = 2) = 2 =6 6 6 15
，
则 的分布列为：
0 1 2
2 8 1
5 15 15
故 ( ) = 0 × 2 8 1 25 + 1 × 15 + 2 × 15 = 3．
16.(1) 1证明：由于 中 > 0， 中 ≠ 0，综合可得 ( )得定义域为(0, + ∞)，
( 1 ) = (
1 1 1 1 1 1
)ln = ( ) = ( ) = ( ) = ( )；
(2)由于函数 ( ) = ( 1 ) ，
1 1 1 1 1 2 +1 1
′( ) = ( )′ + ( )( )′ = (1 + 2 ) + ( ) = 2 + 1 2
( 2 +1) + 2 1
=
2
( ) = 0 ( 2 + 1) + 2 1 = 0 = 1
2
令导函数 ′ ，即 ，因此 2+1，所以 = 1，
当 ∈ (1, + ∞)时， > 0， 2 + 1 > 0， 2 1 > 0，所以 2 > 0，因此导函数 ′( ) > 0，
当 ∈ (0,1)时， < 0， 2 + 1 > 0， 2 1 < 0，所以 2 > 0，因此导函数 ′( ) < 0，
所以函数 ( )在(1, + ∞)上单调递增；在(0,1)上单调递减，
3 9
由于 1 < 2 = 4 = 2.25 < 2.7 < ，且函数 ( )在(1, + ∞)上单调递增．
3
所以 ( 2 ) < ( )
1
，又因为 ( ) = ( )，所以 (
2
3 ) = (
3 2
2 )，所以 ( 3 ) < ( )．
17.(1)证明：如图，以点 为坐标原点，直线 ， ， 1所在方向分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， ( 3, 1,0)， ( 3, 0,0)， (0,3,0)，
所以 = ( 3, 1,0)， = ( 3, 3,0)，
因为 = 3 × ( 3) + 3 = 0，所以 ⊥ ，
因为 1 ⊥平面 ， 平面 ，所以 1 ⊥ ，
又 1 ∩ = ， 1， 平面 1 1 ，
所以 ⊥平面 1 1 ，又 平面 ，
所以平面 ⊥面 1 1C.
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(2)因为 1 = 1 ，
1 1 1
所以 3 = 3 × 3 × △ 1 = 3 × 3 × 2 × 3 × 1，
解得 1 = 2，
所以 1(0,0,2)， (0,3,1)，
所以 1 = ( 3, 1, 2)， 1 = (0,3, 1)，
设平面 1 的一个法向量为 = ( , , )，
⊥ 1 1 = 0 3 + 2 = 0则 ，则 ，即 ，
⊥ 1 1 = 0 3 = 0
令 = 3，得 = 5, = 3 3，
所以 = (5, 3, 3 3)，
易得平面 的一个法向量 = (0,0,1)，
设平面 1 与平面 的夹角为 ，
则 = |cos , | = | | 3 3 3 165| | | | = ．1× 55 = 55
所以平面 1 与平面 夹角的余弦值为
3 165．
55
18.解：(1)由sin2 + sin2 = sin2 + ，
由正弦定理得， 2 + 2 = 2 + ，
2 2 2
所以 = + 1，而 ∈ (0, )，2 = 2 = 2
= 所以 3．
(2)由(1)， 2 + 2 = 2 + = 3 + ，
2
所以( + )2 = 3 + 3 ≤ 3 + 3 × ( + ) ，4
当且仅当 = = 3时取等号．
所以 + ≤ 2 3，
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所以 + 的最大值为 2 3．
(3) = 1 1 1△ △ + △ ，即2 3 = 2 6 + 2

6，
3
所以 = ， +
2
由( + )2 = 3 + 3 ，得 = ( + ) 3，3
2
所以 3×
( + ) 3
= 3 3 + = 3 ( + )
3，
+
由 3 < + ≤ 2 3，令 = + ∈ ( 3, 2 3],
设 ( ) = 33
3，则
′( ) =
3 3
，
3 + 2 > 0
所以 ( )在( 3, 2 3]上单调递增，
所以 ( 3) < ( ) ≤ (2 3)，即 0 < ( ) ≤ 32，
所以 的取值范围为(0, 32 ]．
19.(1) 易知抛物线 的准线为 ： = 2，
因为抛物线 上纵坐标为 2 的点到焦点的距离为 3，

所以 2 + 2 = 3，
解得 = 2，
即抛物线方程为 2 = 4 ；
(2)①由(1)得抛物线方程为 2 = 4 ，
= 1即 4
2，
即 = 14
2 1， 0 = 4
2
0，
( + 0 ,
2+ 2
则 01 2 8 )，
+ 1 + 即点 的横坐标为 0，纵坐标为 ( 0 )2 = ( + 0)
2
1 2 4 2 16 ，
可得 ( + 0
2
1 2 ,
( + 0)
16 )，
2 2 2
所以| | = 2( + 0) ( + 0) = | 0|
2
1 1 16 16 ，
1 | |2
则三角形△ 0 1面积 = 01 2 16 | 0| = 2；
( , 1②证明：设 2 4 )， 与线段 1的交点为 ，
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( +
2 2
1 , + 1 ) ( + 1 , ( + 1)
2
则 2 8 ， 2 16 )，
2
即| | 1| 1 | 1|
3
| = 16 ， = 2 | | | 1| = 32 ，
又 = + 1 2 ，
即 = 1 1 2 ( 1)，| | = 2 | 1|，
则数列{| 1|}是以 4
1
为首项，2为公比的等比数列，
即| | = 4 × ( 1 ) 1 = ( 1 ) 3 1 2 2 ，
| |3 1 1
则 = 1 3 4 1 32 = ( 2 ) = 2 ( 8 ) ，
2 [1 (1) ]
可得 =1 = 2 +
1
4 + + 2 (
1 ) 18 =
8 = 16 2 ( 1 1
1 1 7 8
) ，
8
2 ( 1又 ) 18 > 0．
16 1 1 16则 =1 = 7 2 ( 8 ) < 7．
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