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2024-2025 学年山东省德州市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1 .设复数 = 1 + ，则 =( )
A. B. C. 2 D. 2
2.已知(1,2)是角 终边上一点，则 2 =( )
A. 4 B. 3 C. 33 4 4 D.
4
3
3.在某次模拟考试后，数学老师随机抽取了 8 名同学的第一个解答题的得分，得分为：10，5，7，8，7，
9，4，2，阅这组数据的 75%分位数是( )
A. 6.5 B. 8 C. 8.5 D. 9
4.在正方体 1 1 1 1中， ， 分别是 1， 的中点，则直线 与 所成角的余弦值为( )
A. 30 B. 1010 5 C.
3 4
5 D. 5
5.已知 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，下列命题中正确的是( )
A.若 // ， ，则 // B.若 // ， // ，则 //
C.若 ⊥ ， ，则 ⊥ D.若 ， ⊥ ，则 ⊥
6.某次物理竞赛，得分在[120,130)的有 15 人，他们的平均分为 128，方差为 2.得分在[130,140]的有 9 人，
他们的平均分为 136，方差为 1，则得分在[120,140]的平均分与方差为( )
参考公式：总体分为 2 层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：

1, , 21, 2, , 22.

记总的样本平均数为 ，样本方差为 2，则 = 1 + +
2
,
2 =
1 2 1+ 2
2 2 1[ 1+( ) ]+ 2[
2+( )22 ]
1+
．
2
A. 130，16.625 B. 131，17.875 C. 131，16.625 D. 130，17.875
7 10 .若 0 < < , cos 2 = 10 ，则 sin( + 4 ) =( )
A. 7 2 B. 2 2 7 210 10 C. 10 D. 10
8.已知一个圆锥的侧面展开图是个半圆，利用斜二测画法画此圆锥时，直观图的底面曲线中心在原点 ′，
△ 2底面曲线与 ′轴、 ′轴正半轴分别交于 ， 两点，已知 ′ 面积为 8 .若圆锥被平行于底面的平面所
1
截，截去一个底面半径为2的圆锥，则所得圆台的体积为( )
A. 7 3 24 B.
3 3
4 C. 6 D.
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0,0 < < )的部分图象如图所示，则( )
A. = 3
B. = 2
C. ( ) 关于点( 6 , 0)对称
D. ( )的一条对称轴为直线 = 3
10.复数 = + (其中 为虚数单位， ∈ )，则( )
A. | | = 1
B. | + 4 3 |的最大值为 6
C. 5当 = 6 时，复数 对应的点在第四象限
D.当 = 4时， 是实系数方程
2 + + 1 = 0 的一个虚数根，则 = 2
11.如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， ， ， 分别是 1， 1，
1 1的中点， 是线段 1 1上的动点， 是线段 上的动点，则( )
A.存在点 ，使 //平面
B. 与 为异面直线
C.线段 的最小值是 2
D.经过 ， ， ， 四点的球的表面积为 9
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = ( 2,2)， = ( + 1,2 )， = (2, 1)，若(2 + )// ，则实数 =______．
13.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，先投中者获胜，一直到有人获胜或者每人都已投球 3 次时投篮
1 1
结束.设甲每次投篮投中的概率为3，乙每次投篮投中的概率为2，且各次投篮互不影响.若甲先投，则甲获胜
的概率为______．
14.已知△ 中， = = 4， = 2，将顶点 绕棱 旋转到 ′，当 ′ = 2 2时，三棱锥 ′
的体积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某中学为研究本校高一学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了 100 位同学的数学成绩作为样本，得到以
[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140]分组的样本频率分布直方图，如图所示．
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(1)求直方图中 的值，并估计本次联考该校数学成绩的中位数；
(2)现在从分数在[80,90)和[90,100)的学生中采用分层随机抽样的方法共抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取
2 人，求抽取的两人恰好一人分数在[80,90)内，另一人分数在[90,100)内的概率．
16.(本小题 15 分)
如图.在三棱锥 中， ⊥底面 ， ⊥ ， = 2， = = 2， 是 的中点．
(1)求三棱锥 的表面积；
(2)求二面角 的平面角的正弦值．
17.(本小题 15 分)
已知直三棱柱 1 1 1， ⊥ ， ， 分别是边 ， 1 1的中点．
(1)证明： //平面 1 1；
(2) 4若三棱锥 1 1 体积为3，且 = 2，设 1与平面 1 1形成的线面角为 ，求 的最大值．
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18.(本小题 17 分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， = ( , + )， = ( 3 + , 1)， = 2 + 3 ．
(1)求 ；
(2)已知 = 2 ， = 2．
( ) 9若 △ = 2 3，求 + 2 的值；
( )若 为△ 的外接圆的圆心，且 = 6，求△ 的面积．
19.(本小题 17 分)
甲、乙两人玩掷骰子游戏，由甲先掷一次骰子，记向上的点数为 ，接下来甲有 2 种选择：
①甲直接结束掷骰子，换由乙掷骰子一次，向上的点数记为 ，若 + ≤ 6，则乙赢，否则甲羸，游戏结束；
②甲再掷一次骰子，向上的点数记为 ，若 + > 6，则乙赢，游戏结束；
若 + ≤ 6，甲结束掷骰子，换由乙掷骰子一次，向上的点数记为 ，若 + + ≤ 6，则乙赢，否则甲赢，
游戏结束．
问：(1)若甲只掷骰子 1 次，求甲赢的概率；
(2)若甲掷骰子 2 次，求甲赢的概率；
(3)当甲第一次掷骰子向上的点数为多少时，甲选择①赢得游戏的概率更大？
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1
13.1327
14.2 143
15.(1)由频率分布直方图可得(0.006 + 0.012 + 0.04 + 0.026 + + 0.006) × 10 = 1，
解得 = 0.01，
本次联考该校数学成绩在[80,90)的频率为 0.006 × 10 = 0.06，
在[90,100)的频率为 0.012 × 10 = 0.12，
在[100,110)的频率为 0.04 × 10 = 0.4，
因为 0.06 + 0.12 = 0.18 < 0.5，0.06 + 0.12 + 0.4 = 0.58 > 0.5，
所以中位数在[100,110)之间，设为 ，
则 0.06 + 0.12 + ( 100) × 0.04 = 0.5，
解得 = 108，
所以本次联考该校数学成绩的中位数为 108；
(2)成绩在[80,90)的人数与成绩在[90,100)的频率的人数之比为 1：2，
抽取的 6 人中成绩在[80,90)的有 2 人，成绩在[90,100)的频率的有 4 人，
假设成绩在[80,90)的 2 人分别记为 1， 2，成绩在[80,90)的 4 人分别记为 1， 2， 3， 4.随机抽取两人
的样本空间为：
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{ 1 2, 1 1, 1 2, 1 3, 1 4, 2 1, 2 2, 2 3,
2 4， 1 2， 1 3， 1 4， 2 3， 2 4， 3 4}共 15 个，
两人中恰好一人分数在[80,90)内，另一人在[90,100)内包含：
{ 1 1, 1 2, 1 3, 1 4, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4}共 8 个，
所以 = 815．
16.(1)因为 ⊥平面 ， 平面 ，
，
所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ ， ∩ = ， ， 面 ，
所以 ⊥面 ．
又 面 ，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥平面 ， 平面 ，
故 ⊥ ，
即△ 中, ⊥ , = 2, = = 2，
所以 = 2 2, = 6，
= 1 1 1 1所以 △ 2 × 2 2 × 2 = 2, △ = 2 × 2 × 6 = 6， △ = 2 × 2 × 2 = 2, △ = 2 × 2 ×
2 = 2，
所以三棱锥 的表面积 = 6 + 2 + 4；
(2)取 中点 ，取 中点 ，连接 ， ， ．
由(1)知 ⊥ ，
因为 是 的中点，
所以在 △ 中， = 12 ，
又 ⊥ ，
在 △ 中， = 12 ，
所以 = ，
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所以 ⊥ ，
又因为 // ， ⊥ ，
所以 ⊥ ，
又因为面 ∩面 = ，
所以∠ 为二面角 的平面角．
在 △ 中， = 12 =
2 , = 12 2 = 1, =
6，
2
所以 sin∠ = 3． = 3
即二面角 的平面角的正弦值为 3．
3
17.(1)证明：取 1 1中点 ，连接 ， ，
则 为△ 1 1 1中位线，
所以 // 11 1， = 2 1 1
1
又 // 1 1 = 2 1 1，
所以 // ，且 = ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 // ，
又因为 平面 1 1， 平面 1 1，
所以 //平面 1 1；
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(2)由题可知 1 ⊥ ， ⊥ ， 1 ∩ = ．
所以 ⊥面 1 1 ，
因为三棱锥 1 1 即三棱锥 1 1 ，
1 4
所以 三棱锥 =1 1 3 △ 1 1 = 3，
所以 × × 1 = 8，即 × 1 = 4，
连接 1，则∠ 1 为 1与平面 1 1所成的角 ，且 ⊥ 1，
= 2 =1 2+ 2，1
由均值不等式 2 + 21 ≥ 2 1 = 8，
2 2 2
所以 = ≤ =2 2 8 2 ，(当且仅当 = 1时等式成立)， + 1
故 的最大值为 2．
2
18.(1)根据题意可知， = 2 + 3 ，得 3 + + + = 2 + 3 ，
∴ 3 + = + 2 ，
根据正弦定理得 3 + = + 2 ，
故 3 + = + + 2 ，
∴ 3 = ( + 2)，
∵ ∈ (0, )， ≠ 0，∴ 3 = 2 ，整理得 sin( 6 ) = 1，
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又∵ ∈ (0, ), 5 2 6 ∈ ( 6 , 6 ), 6 = 2，∴ = 3；
(2)根据题意可知， = 2 ，则 = 13
+ 2 3
，
得| |2 = ( 1 + 2 )2 = 1
2 2
3 3 9
+ 4 + 49 9
，
∵ = ， = ， = 2，即| | = 2，
∴ 4 = 19
2 + 4 2 + 4 2 9 9 3 =
1 2 4 2 2
9 + 9 9 ，
即 36 = 2 + 4 2 2 = ( + 2 )2 6 ，
( ) 9 1 9根据题意可知， △ = 2 3，根据三角形面积公式，则2 = 2 3，从而 = 18，
∴ + 2 = 12；
( )令边 ， 的中点分别为 ， ，根据题意可知，点 为△ 的外接圆圆心，
得 ⊥ ， ⊥ ，

2
= ( + ) = = 12
= 12
2，
= ( +
2
) = = 1 2
= 12
2，
∴ = ( 1 + 2 3 3
) = 1 3
+ 23
= 16 (2
2 + 2) = 6，
即 2 2 + 2 = 36，
又 2 + 4 2 2 = 36，
联立方程组，解得 = 0(舍)或 = = 2 3，
∴ 1△ = 2 = 3 3．
19.(1)如果甲只掷骰子 1 次，甲赢的情况如下，
如果甲掷出向上的点数为 1，乙掷出向上的点数为 6，此时有 1 种情况，
如果甲掷出向上的点数为 2，乙掷出向上的点数为 6、5，此时有 2 种情况，
如果甲掷出向上的数点为 3，乙掷出向上的点数为 6、5、4，此时有 3 种情况，
依此类推，甲赢的情况共有 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 种，
根据古典概型概率公式，
= 21 = 36 21 7将 ， 代入公式，可得甲赢的概率 = 36 = 12，
7
综上，如果甲只掷骰子 1 次，甲赢的概率为12；
(2)如果甲掷骰子 2 次，甲赢的情况如下，
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①甲第 1 次掷骰子向上的点数为 1，
如果第 2 次掷骰子向上的点数为 1，乙掷骰子向上的点数为 6，5，此时有 2 种情况，
如果第 2 次掷骰子向上的点数为 2，乙掷骰子向上的点数为 6、5、4，此时有 3 种情况，
依此类推
如果第 2 次掷骰子向上的点数为 5，乙掷骰子向上的点数为 6、5、4、3、2、1，此时有 6 种情况，
以上有 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20 种情况，
②甲第 1 次掷骰子向上的点数为 2，
如果第 2 次掷骰子向上的点数为 1，乙掷骰子向上的点数为 6、5、4，此时有 3 种情况，
如果第 2 次掷骰子向上的点数为 2，乙掷骰子向上的点数为 6、5、4、3，此时有 4 种情况，
如果第 2 次掷骰子向上的点数为 3，乙掷骰子向上的点数为 6、5、4、3、2，此时有 5 种情况，
如果第 2 次掷骰子向上的点数为 4，乙掷骰子向上的点数为 6、5、4、3、2、1，此时有 6 种情况，
以上有 3 + 4 + 5 + 6 = 18 种情况，
依此类推，甲第 1 次掷骰子向上的点数为 3 时，甲赢的情况有 4 + 5 + 6 = 15 种，
如果甲第 1 次掷骰子向上的点数为 4 时，甲赢的情况有 5 + 6 = 11 种，
如果甲第 1 次掷骰子向上的点数为 5 时，甲赢的情况有 6 种，
甲赢的情况的总数为 20 + 18 + 15 + 11 + 6 = 70，
70 35
故甲赢的概率为63 = 108；
(3)当甲第一次掷骰子向上的点数为 时，
如果甲选择①，则乙掷骰子向上的点数为 6、5、4、 、7 ，共 种，

而乙掷骰子向上的点数共 6 种情况，则甲赢的概率 1 = 6．
如果甲选择②，则甲第二次掷骰子向上的点数为 1、2、 、6 ，共 6 种，
如果甲第二次掷骰子向上的点数为 1 时，则乙掷骰子向上的点数为 6、5、4、 、6 ，共 + 1 种，
如果甲第二次掷骰子向上的点数为 2 时，则乙掷骰子向上的点数为 6、5、4、 、5 ，共 + 2 种，
. . . . . .，
如果甲第二次掷骰子向上的点数为 6 时，则乙掷骰子向上的点数为 6、5、4、3、2、1，共 6 种，
( + 1) + ( + 2) + + 6 = ( +1+6)(6 )因此，甲赢的情况的总数为 2 ，
而甲第二次、乙掷骰子的可能情况各为 6 种，则甲赢的概率
= ( +7)(6 ) ( +7)(6 )2 2×62 = 72 ，
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> > ( +7)(6 ) 13+ 337令 1 2，即6 72 ，化简得
2 + 13 42 > 0，解得 > 2 ，
2 < 13+ 337因为 2 < 3( ∈
)，且 ≤ 6，因此 = 3 或 4 或 5 或 6，
综上，当甲掷骰子向上的点数为 3 或 4 或 5 或 6 时，甲选择①赢得游戏的概率更大．
第 11页，共 11页

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