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2024-2025 学年陕西省渭南市韩城市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 = 3 .若 1+ ，则 =( )
A. 1 + 2 B. 1 2 C. 2 + 2 D. 2 2
2 .设向量 ， 的夹角为4，| | = 4，|
| = 2，则(2 3 ) =( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
3 4.已知 sin( 2 + ) = 5，则 cos( ) =( )
A. 45 B.
4 3 3
5 C. 5 D. 5
4.如图，水平放置的△ 的斜二测直观图 ′ ′ ′是等腰直角三角形，若 ′ ′ = ′ ′ = 1，那么
△ 的面积是( )
A. 28 B.
2
4
C. 12 D. 2
5.已知 1是三角形的一个内角，则不等式 > 2的解集为( )
A. (0, 6 ) B. (

6 ,
5
6 ) C. (0,
2
3 ) D. ( 3 , 3 )
6.已知 、 是平面 内的两条直线，则“直线 ⊥ 且 ⊥ ”是“ ⊥ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， ⊥平面 ，且 ⊥ ， = = 2， = 1，
则球 的体积为( )
A. 16 2 8 2 3 B. 3 C. 4 2 D.
4 2
3
8.司马迁是我国西汉伟大的史学家、文学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内.某学习
小组开展数学建模活动，欲测量司马迁雕像的高度.如图，选取与司马迁雕像底部
同一水平面内的三个共线的测量基点 ， ， ，且在 ， ， 处测得雕像顶端 的仰

角分别为6，4，3， = = 10 米，则司马迁雕像高度 为( )
A. 5 6米 B. 7 3米
C. (6 + 3 3)米 D. (6 + 4 2)米
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若向量 = (0, 1), = ( 3,4), = (4,4)，则( )
A. | | = 4 2 B. ( + )//
C. ⊥ ( ) D. 在 方向上的投影向量是(1,1)
10.已知函数 ( ) = (2 + )( > 0, 2 < < 2 )在 = 3处取得最大值 2，则下列说法正确的是( )
A. = 6 B. (
5
12 ) = 3
C. ( ) 的图象关于点( 6 , 0)中心对称 D. ( )在区间(0, 3 )上单调递增
11.在长方体 1 1 1 1中，已知 = 2 3， = 1 = 2， ，
分别为 1 1， 1 1的中点，则( )
A. 1 ⊥平面
B.异面直线 与 21夹角的余弦值为 7
C. 3三棱锥 1 的体积为 3
D. 19若点 为长方形 内一点(含边界)，且 1 //平面 ，则 1 的最小值为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若 = 13，则 2 = ______．
13.某同学做了一个木制陀螺，该陀螺由两个底面重合的圆锥组成.已知该陀螺上、下两个圆锥的体积之比为
1：2.上面圆锥的高与其底面半径相等，则上、下两个圆锥的母线长之比为______．
14.在△ 中， 为 边的中点， 为 边上的点， ， 交于点 .若 = 37
+ 1 7 ，则 的值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 = ( 2 6 + 8) + ( 2) ( ∈ )．
(1)若复数 为纯虚数，求实数 的值；
(2)若复数 在复平面内对应点位于第二象限，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知 2 = 34．
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(1)求 的值；
(2)若 为第四象限角，求 sin( 3 )的值．
17.(本小题 15 分)
= = 2 已知直线 6和 3是 ( ) = sin( + )( > 0,0 < < )图象的两条相邻的对称轴．
(1)求 ( )的解析式；
(2)将 ( ) 1图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 ( > 0)倍，得到函数 = ( )的图象.若 ( )
在区间(0, )上恰有两个零点，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
△ + = 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 2 ．
(1)求 ；
(2)若边 上的高为 3，且△ 的周长为 6，求△ 的面积．
19.(本小题 17 分)
已知在四棱锥 中，侧面 ⊥平面 ， // ， ⊥ ， = = = 2 = 2 = 2，
， 分别是 ， 的中点．
(1)证明： //平面 ；
(2)求二面角 的大小．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.89
13. 105
14.4
15.解：(1)若复数 为纯虚数，则 2 6 + 8 = 0 且 2 ≠ 0，解得 = 4；
(2)因为复数 在复平面内对应的点在第二象限，
2所以 6 + 8 < 0 2 < < 4，解得 > 2 ，可得 2 < < 4． 2 > 0
所以实数 的取值范围为(2,4)．
16.(1) 2 3因为 2 = 1 tan2 = 4，
所以 3 2 8 3 = 0，
即(3 + 1)( 3) = 0，
解得 = 13或 = 3．
(2)因为 为第四象限角，
所以 = 1cos = 3，
又 < 0， > 0，
又因为sin2 + cos2 = 1，
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所以 = 10 3 1010 ， = 10 ，
则 sin( 10 1 3 103 ) = 3 3 = ( 10 ) × 2 10 ×
3 = 10+3 302 20 ．
17.(1)由题意得 ( )的最小正周期 = 2 × ( 2 3 6 ) = ，
2
根据 = ，解得 = 2，

根据 = 6是 ( )图象的一条对称轴，可得 2 × 6 + = 2 + ， ∈ ，

结合 0 < < ，解得 = 6，所以 ( ) = sin(2 + 6 )；
(2)将 ( ) 1图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 ( > 0)倍，
可得到函数 = ( )的图象，所以 ( ) = ( ) = 2 (2 + 6 )，
当 ∈ (0, )时，2 + ∈ ( 6 6 , 2 +

6 )，
因为 ( )在区间(0, )上恰有两个零点，
2 < 2 + ≤ 3 11 17 11 17所以 6 ，解得12 < ≤ 12，实数 的取值范围为( 12 , 12 ]．
18.(1) 利用正弦定理化简已知等式可得 + = 2 ，

可得 sin( + ) = 2 = ，
又 0 < < ， ≠ 0，
可得 = 12，
= 可得 3；
(2)由于边 上的高为 3， = 3，
可得 △ =
1 1
2 = 2 × 3，可得 = 2 ，
又由于△ 的周长为 6，可得 + + = 6，
可得 2 = 2 + 2 2 = 2 + 2 = ( + )2 3 ，
所以 2 = ( + )2 3 = (6 )2 6 ，解得 = 2，
可得 1△ = 2 × 3 = 3．
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19.(1)证明：在四棱锥 中，连接 交 于点 ，
因为 = 2 ， 为 的中点，所以 = = ，
因为 // 且 = ，所以 为 ， 的中点，
又 为 的中点，所以 // ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)因为 = ， 为 的中点，所以 ⊥ ，
又侧面 ⊥平面 ，侧面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
连接 ，取 的中点 ，连接 、 ，所以 // ，
因为 // 且 = ，所以 // ，又 ⊥ ，
所以 ⊥ ，所以 ⊥ ，
因为 为 的中点，所以 // ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ∩ = ，且 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，所以 ⊥ ，
所以∠ 为二面角 的平面角，
因为 = = = 2，
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1 3 1 1
所以 = 3， = 2 = 2 ， = 2 = 2，
3
所以在直角△ 中，tan∠ = = 2 1 = 3，
2

所以二面角 的大小为3．
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