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闵行六校2024-2025学年第二学期高一年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．函数的最小正周期是 ．
2．已知，且是第二象限角，则的值是 ．
3．已知向量，则的单位向量的坐标为 ．
4．已知等比数列满足，则数列的通项公式 ．
5．已知，且在上的数量投影为-2，则 ．
6．已知复数是实系数二次方程的一根，则 ．
7．若复数满足，则的最小值是 ．
8．已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是 ．
9．如果满足的有且只有一个，那么实数的取值范围是 ．
10．如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为 ．
11．已知，且函数在区间上是单调函数，则的值为 ．
12．高斯被认为是历史上最重上的数学家之一．在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法．已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于，试根据提示探究：若，则 ．
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．已知角终边上一点，若，则实数的值为（ ）.
A．1 B．2 C． D．
14．设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论错误的是（ ）.
A． B． C． D．或为的最大值15．利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（ ）.
A．项 B．项 C．项 D．1项
16．在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量．类似的，可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于，规定如下运算法则：
①；
②；
③；
④．
则下列结论错误的是（ ）.
A．若，则 B．若，则
C． D．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．
17．（本题满分14分）（第一小题7分，第二小题7分）
已知．设．
（1）若三点共线，求的值；
（2）若，求的值．
18．（本题满分14分）（第一小题6分，第二小题8分）
已知复数，其中i是虚数单位，．
（1）若为纯虚数，求的值；
（2）若，求的虚部．
19.（本题满分14分）（第一小题6分，第二小题8分）
的内角的对边分别为，已知．
（1）求的大小；
（2）若面积为，外接圆面积为，求周长．
20.（本题满分18分）（第一小题4分，第二小题6分，第三小题8分）
已知函数的最小正周期为，且其图像的一个对称轴为，将函数图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，再将图像向左平移个单位长度，得到函数的图像．
（1）求的解析式；
（2）求函数在区间上的零点；
（3）对于任意的实数，记函数在区间上的最大值为，最小值为，求函数在区间上的最大值．
21.（本题满分18分）（第一小题4分，第二小题6分，第三小题8分）
已知数列的前项和为，且，数列满足．
（1）证明：为等差数列；
（2）求数列的前项和；
（3）若不等式对都成立，求的最大值．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．已知，且函数在区间上是单调函数，则的值为 ．
【答案】
【解析】因为，
由，可得关于成中心对称，
即为的一个对称中心，又，所以，
即又函数在区间上是单调函数，
所以，解得，所以或或，
当时，由，所以因为在上不单调，所以在上不单调，故舍去；
当时，由，所以因为在上单调递减，所以在上单调递减，符合题意；
当时，由，所以,因为在上不单调，所以在上不单调，故舍去；
综上可得．故答案为：5．
12．高斯被认为是历史上最重上的数学家之一．在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法．已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于，试根据提示探究：若，则 ．
【答案】
【解析】由，则，则
因为，由等比数列的性质可知，
所以上式，故答案为：1012
二、选择题
13.C 14.C 15.B 16.C
15．利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（ ）.
A．项 B．项 C．项 D．1项
【答案】B
【解析】由题意，时，不等式左边，最后一项为，
时，不等式左边，最后一项为，
∴由变到时，左边增加了项．故答案为：．
16．在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量．类似的，可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于，规定如下运算法则：
①； ②；
③； ④．则下列结论错误的是（ ）.
A．若，则 B．若，则
C． D．
【答案】C
【解析】对于，，故正确；
对于，若，则∴，故正确；
对于，而误两者不一定相等，故错误；
对于，设，则将，代入可得：
，故正确．
故选C.
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）
20.（本题满分18分）（第一小题4分，第二小题6分，第三小题8分）
已知函数的最小正周期为，且其图像的一个对称轴为，将函数图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，再将图像向左平移个单位长度，得到函数的图像．
（1）求的解析式；
（2）求函数在区间上的零点；
（3）对于任意的实数，记函数在区间上的最大值为，最小值为，求函数在区间上的最大值．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）由的最小正周期，可得：
令，则
所以函数的图象对称轴为：，
因为为的一个对称轴，所以，解得：，
又因为，所以，则函数的解析式为：，
（2）将函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，可得到，
再将图象向左平移个单位长度，可得到
令，即，化简得，
解得或，由于，所以当时，，
当时，或，
所以函数在区间上的零点为．
（3）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，由于，所以，
此时;当时，函数在上单调递增，
在上单调递减，所以，
由于，所以,
此时；当时，函数在上单调递减，
所以，,此时；
综上，，
当时，函数单调递减，则；
当时，函数单调递增，则；
当时，函数,则；
综上，函数在区间上的最大值为．
21.（本题满分18分）（第一小题4分，第二小题6分，第三小题8分）
已知数列的前项和为，且，数列满足．
（1）证明：为等差数列；
（2）求数列的前项和；
（3）若不等式对都成立，求的最大值．
【答案】（1）证明见解析 （2） （3）
【解析】（1）证明：因为，
当时，，则，
当时，，则，即，又，因此是以2为首项，公差为1的等差数列．
（2）由（1）得，则，
①
则②
①-②得：
所以；
（3），不等式
即，
对任意正整数都成立，
令
则
则1，数列是递增数列，
因此，即，所以实数的最大值为．

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