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2024-2025 学年宁夏石嘴山市平罗中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 .复数 = 1+ 在复平面上对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.样本数据 16，21，18，28，14，20，22，24 的第 75 百分位数为( )
A. 16 B. 17 C. 23 D. 24
3.攒尖式屋顶是中国古代传统建筑的一种屋顶样式，如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆
锥，已知该圆锥的底面直径为 8 ，高为 3 ，则该屋顶的面积约为( )
A. 15 2
B. 20 2
C. 24 2
D. 30 2
4.一物体在力 的作用下，由点 (1,4)移动到点 (6,2)，若 = ( 1,3)，则 对物体所做的功为( )
A. 11 B. 11 C. 1 D. 1
5.抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上的数字之和是 4 的倍数的概率为( )
A. 1 1 1 13 B. 4 C. 5 D. 6
6.若 为直线， ， 为两个平面，则下列结论中正确的是( )
A.若 // ， ，则 // B.若 ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥
C.若 // ， ⊥ ，则 ⊥ D.若 ， ⊥ ，则 ⊥
7.已知点 (2,3)， ( 3, 2)，若直线 过点 (1,1)与线段 始终没有交点，则直线 的斜率 的取值范围是( )
A. 3 3 34 < < 2 B. > 2 或 < 4 C. > 4 D. < 2
8.已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 = 3， = (2 ) ，则△ 面积的最
大值为( )
A. 9 3 B. 9 34 2 C.
9 9
4 D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.小明参加唱歌比赛，现场 8 位评委给分分别为：15，16，18，20，20，22，24，25.按比赛规则，计算
选手最后得分成绩时，要先去掉评委给分中的最高分和最低分.现去掉这组得分中的最高分和最低分后，下
列数字特征的值不会发生变化的是( )
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A.平均数 B.极差 C.中位数 D.众数
10.有下列说法，其中正确的说法为( )
A.若 // ， // ，则 //
B.两个非零向量 、 ，若| | = | + |，则 与 垂直
C.若点 为△ 的重心，则 + + = 0
D.若 + + 3 = 0， △ ， △ 分别表示△ 、△ 的面积，则 △ ： △ = 3：5
11.如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， 、 、 、 、 均为所在棱的中点，动点 在正方体
表面运动，则下列结论正确的有( )
A.当点 为 中点时，平面 ⊥平面
B.异面直线 1、 所成角的余弦值为3
C.点 、 、 、 、 在同一个球面上
D.若 1 = 1 + 1 2 1 1
5
，则 点轨迹长度为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知球的半径为 3，则它的体积为______．
13.甲、乙两人各进行 1 次射击，如果两人击中目标的概率分别为 0.8 和 0.4，
则其中恰有 1 人击中目标的概率是______．
14.如图，直径 = 2 的半圆， 为圆心，点 在半圆弧上，∠ = 60°，
线段 上有动点 ，则 的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知直线 1： 2 + 3 = 0， 2：2 + 3 8 = 0．
(1)求经过点 (1,4)且与直线 2垂直的直线方程；
(2)求经过直线 1与 2的交点，且在两坐标上的截距相等的直线方程．
16.(本小题 15 分)
已知 = (1,1)， = (0, 2)．
(1)若 与 + 2 共线，求 的值．
(2)若 3 与 3 + 的夹角为 90°，求 的值．
(3)求向量 在向量 上投影的数量．
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17.(本小题 15 分)
用分层随机抽样从某校高一年级 1000 名学生的数学成绩(满分为 100 分，成绩都是整数)中抽取一个样本容
量为 100 的样本，其中男生成绩数据 40 个，女生成绩数据 60 个.再将 40 个男生成绩样本数据分为 6 组：
[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，绘制得到如图所示的频率分布直方图．

(1)由频率分布直方图，求出图中 的值，并估计 40 个男生成绩样本数据的平均值 ；
(2)为了进一步分析学生的成绩，按性别采用分层随机抽样的方法抽取 5 人，再从中抽取 2 人，求这 2 人中
男生女生各 1 人的概率．
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， // ，∠ = 90°， = = = 2 = 2，
是 的中点， 是 上的一点．
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2)求点 到平面 的距离；
(3)若异面直线 和 1所成角的余弦值为3，求二面角 的正弦值．
19.(本小题 17 分)
克罗狄斯托勒密( )是古希腊天文学家、地理学家、数学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦
表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且
仅当对角互补时取等号如图，半圆 的直径为 4 ， 为直径延长线上的点， = 4 ， 为半圆上任意一
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点，且三角形 为正三角形．
(1)当∠ = 2 3时，求四边形 的周长；
(2)当∠ 多大时，四边形 的面积最大，并求出面积的最大值；
(3)若 与 相交于点 ，则当线段 的长取最大值时，求 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.36
13.0.56
14.1
15.(1) 2 + 3 8 = 0 = 2 + 8 2由直线 2： 3 3，可得斜率为 3，
3
故可设所求直线方程为 = 2 + ，
3 5
则依题意有 4 = 2 × 1 + ，解得 = 2，
3 5
所以所求直线方程为 = 2 + 2，整理得 3 2 + 5 = 0；
2 + 3 = 0
(2) = 1联立 2 + 3 8 = 0，解得 = 2，即直线 1与 2的交点为(1,2)，

当直线的截距都不为 0 时，假设直线方程为 + = 1( , ≠ 0)，
=
依题意 1+ 2 = 1，解得 = = 3，此时直线方程为3+ 3 = 1，即 + 3 = 0，
当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为 = ，
代入(1,2)得 = 2，此时 = 2 ；
综上所述：所求直线方程为 = 2 或 + 3 = 0．
16.(1)由题可得， + 2 = (1, 3)， = ( , + 2)，
又 与 + 2 共线，
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则 3 = + 2，解得 = 12；
(2)由题可得，3 + = (3,1)，3 = (3,3 + 2 )，
又 3 与 3 + 的夹角为 90°，
则(3 ) (3 + ) = 3 × 3 + 3 + 2 = 0，解得 = 6；
(3)由题可得 = 2，| | = 2，
所以向量 在向量

上投影的数量为 = 1．
| |
17.(1)由频率分布直方图可得(0.01 + 2 + 0.03 + 0.025 + 0.005) × 10 = 1，解得 = 0.015，
估计 40 个男生成绩样本数据的平均值为：

= 45 × 0.1 + 55 × 0.15 + 65 × 0.15 + 75 × 0.3 + 85 × 0.25 + 95 × 0.05 = 71；
(2)男生成绩数据 40 个，女生成绩数据 60 个，按性别采用分层随机抽样的方法抽取 5 人，
40
则抽取男生人数为 5 × 100 = 2，设为 ， ，
女生人数为 3 人，设为 ， ， ，
抽取两人的情况为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 10 种，
再从中抽取 2 人，这 2 人中男生女生各 1 人的情况为： ， ， ， ， ， ，
3
所以抽取 2 人，这 2 人中男生女生各 1 人的概率为5．
18.(1)证明：由题可知：建立如图所示空间直角坐标系 ，
又 = = = 2 = 2，
所以 (0,0,0)， (2,0,0)， (1,2,0)， (0,2,0)， (1,0,1)， (0,0,2)，
则 = (1,0,1), = (0,2,0), = (2,0, 2), = (1,2, 2), = (1,2,0)，
设平面 的一个法向量为 = ( 1, 1, 1)，平面 的一个法向量为 = ( 2, 2, 2)，

则 ⊥ ，所以 = 0
1 + 1 = 0
⊥

= 0 2 1 = 0
，
令 1 = 1，则 = (1,0, 1)；
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⊥ 2 2 = 0则 ，则 = 0 2 2 ，
⊥ = 0 2 + 2 2 2 2 = 0
1
令 2 = 1，则 = (1, 2 , 1)，
又 = 0，所以 ⊥ ，
所以平面 ⊥平面 ．
(2)由(1)可知： = (1,2,0)，平面 的一个法向量为 = (1,0, 1)，

= | | = | 1 | = 2点 到平面 的距离为 | | ． 1+1 2
(3)由(1)可知： = (1,0,0), = (1,2, 2), = (0,0,2)，
设 = (0 ≤ ≤ 1)，
所以 = + = + = (0,0,2) + (1,2, 2) = ( , 2 , 2 2 )，
又异面直线 和 1所成角的余弦值为3，
1
所以 =
= 1 = 1
| | | | 3 2 2 ， +(2 ) +(2 2 )2 3 2
= + = ( 1所以 2 , 1,1)．
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
⊥ 则 = 0
+ = 0
1
，所以 ， ⊥ = 0 2 + + = 0
令 = 1，则 = (1, 12 , 1)，
1+1 2 2
所以二面角 的余弦值为| | | | = =1+1 3 ，4+1 1+1
1
则正弦值为3．
19.(1)在△ 中，由余弦定理，
得 2 = 2 + 2 2 cos∠
= 16 + 4 2 × 4 × 2 × ( 12 ) = 28，所以 = 2 7，
所以四边形 的周长为 + + 2 = 4 + 2 + 4 7 = 6 + 4 7 ；
(2)设∠ = (0 < < )，
在△ 中，由余弦定理得 = 2 5 4 ，
1 3
四边形 的面积为 = 2△ + △ = 2 + 4
= 4 + 3(5 4 ) = 4 4 3 + 5 3
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= 8 ( 3 ) + 5 3，
5
当 3 = 2，即 = 6时，
四边形 的面积取到最大值为 8 + 5 3；
(3)由题意， + ≥ ，且△ 为正三角形，
= 2， = 4， ≤ + = 6，即 的最大值为 6，
取等号时，∠ + ∠ = ，则 cos∠ + cos∠ = 0，
4+ 2 36 16+ 2 36
不妨设 = ，则 2×2 + 2×4 = 0，得 = 2 7，
即 = 2 7，故∠ = 120°，
在△ 中，由余弦定理得∠ = 60°，故 为∠ 的角平分线，
1 2 7 4 7
由角平分线性质可得， = = 2，故 = 3 ， = 3 ，
由 ， ， ， 四点共圆知， 平分∠ ，
= 1所以 = 2，
故 = + = + 2 = + 2 ( ) = 1 23 3 3 + 3
．
于是 = ( 1 3
+ 2 3 ) (
)
1
=
2 2 2 1
3 +
3 3
= 1 2 13 × 16 + 3 × 4 3 × 4 × 2 × (
1
2 ) =
4
3．
下证角平分线性质：
已知△ 中， 是∠ 的角平分线，交 于 ，求证： ： = ： ．

证明：在△ 中，sin∠ = sin∠ ，
△ 在 中，sin∠ = sin∠ ，
因为 是∠ 的角平分线，所以 sin∠ = sin∠ ，
又 sin∠ = sin∠ ，所以 ： = ： ．
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