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第1讲　功和功率
考点一　功的理解与计算
【理清·知识结构】
【知识梳理】
1.功
(1)概念：一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，这个力就对物体做了功。
(2)做功的两个要素：①　　　　　；②　　　　　　　　　　　　。
(3)在国际单位制中，功的单位是③　　　　　，符号是④　　　　。1 J=1 N·m。
2.功的计算
如图所示，当恒力F与位移l的夹角为α时，恒力F所做的功W=⑤　　　　。
3.正功和负功
功只有大小，没有方向，是标量，但功的正、负具有物理意义。(如表所示)
F与l的夹角α 功的正负 作用效果
0°≤α<90° W>0，力对物体做正功 力F促进物体运动；力F改变速度
90°<α≤180° W<0，力对物体做负功 力F阻碍物体运动；力F改变速度
α=90° W=0，力对物体不做功 力F只改变速度方向
4.常见力做功的情况
(1)静摩擦力、滑动摩擦力都可以对物体做正功、做负功或不做功。
(2)一对平衡力等大、反向、共线、同体，做功的代数和⑥　　　　(选填“一定”或“不一定”)为0。
(3)一对相互作用力做功的代数和⑦　　　　(选填“一定”或“不一定”)为0。因为一对相互作用力分别作用在两个物体上，而两个物体的位移关系不确定，故一对相互作用力做功的关系不确定。
5.功与能的关系
功是⑧　　　　的量度。一种能量的变化，必然对应于某种力⑨　　。因此，我们可以通过能量的变化来计算功。(此法叫作功能关系法)
【考教衔接】
　　如图所示，质量为m的物体始终相对倾角为θ的斜面静止，沿水平方向向右匀速移动了距离l。
(1)物体受到了哪些力的作用 它们的大小如何 做功情况如何
(2)物体受到的合力做的功为多少
(3)合力做的功和各个力做功的代数和是怎样的关系
【突破·考点题型】
角度1　力是否做功的判断
如图，物体A、B叠放在一起，A用绳系在固定的墙上，用力F拉着B右移，用T、fAB、fBA分别表示绳中拉力、A对B的摩擦力和B对A的摩擦力，则下列说法正确的是 (　　)
A.F做正功，fAB做负功，fBA做正功，T不做功
B.F做正功，fAB做负功，fBA和T不做功
C.F、fBA做正功，fAB、T不做功
D.F做正功，其他力都不做功
传送带是物料搬运系统机械化和自动化传送用具。如图，传送带靠静摩擦力把货箱从低处匀速送往高处，下列说法正确的是 (　　)
A.货箱所受静摩擦力方向沿传送带向下
B.传送带对货箱的静摩擦力做负功
C.传送带对货箱的作用力不做功
D.增大传送带斜面倾角，货箱所受静摩擦力变大
核心归纳 做正功、做负功及不做功的判定方法 　　方法1：根据力和位移的夹角判定(多用于恒力做功)，当F、l夹角为锐角时，F做正功；当F、l夹角为钝角时，F做负功；当F、l夹角为直角时，F不做功。 方法2：根据力和速度的夹角判定(多用于曲线运动)，当F、v夹角为锐角时，F做正功；当F、v夹角为钝角时，F做负功；当F、v夹角为直角时，F不做功。
角度2　恒力做功的计算
(2023·北京高考)如图所示，一物体在力F作用下沿水平桌面做匀加速直线运动。已知物体质量为m，加速度大小为a，物体和桌面之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，在物体移动距离为x的过程中 (　　)
A.摩擦力做功大小与F方向无关
B.合力做功大小与F方向有关
C.F为水平方向时，F做的功为μmgx
D.F做的功的最小值为max
核心归纳 合力做功的三种计算方法 方法1：先计算合外力，再利用公式W合=F合lcos α计算。注意：此种方法只适用于合外力为恒力的情形。 方法2：先通过W=Flcos α计算各个力做的功，再求各个力做功的代数和。注意：此种方法只适用于合外力为恒力的情形。 方法3：利用动能定理求解，即W合=m-m。此种方法既适用于合外力是恒力的情形，也适用于合外力是变力的情形。
一倾角为37°的斜面固定在水平面上，开始时质量为m的物块A放在斜面的底端，通过一形变量不计的跨过光滑定滑轮的轻绳与一质量M=2 kg的物块B相连接，如图1所示，最初时轻绳绷紧，B距离地面有一定的高度。现无初速度地将整个装置释放，通过测定描绘出了A沿斜面上升的整个过程中的速度—时间图像如图2所示，假设B着地后不反弹，重力加速度取g=10 m/s2，求：
(1)在下落过程中物块B的加速度大小。
(2)整个过程中轻绳对物块A所做的功。
角度3　作用力与反作用力、摩擦力做功
关于作用力与反作用力做功，下列说法正确的是 (　　)
A.当作用力做正功时，反作用力一定做负功
B.当作用力不做功时，反作用力也不做功
C.作用力与反作用力所做的功一定是大小相等，正、负符号相反的
D.作用力做正功时，反作用力也可能做正功
(多选)如图所示，在光滑水平面上有一质量为M，长度为L的木板，在木板左端放一
质量为m的物块，物块与木板间的滑动摩擦力为Ff，给物块一水平向右的恒力F使两物体由静止开始运动，当物块滑到木板的右端时，木板运动位移为x。下列说法正确的是 (　　)
A.恒力F对物块做的功为FL
B.恒力F对物块做的功为F(L+x)
C.合力对物块做的功为(F-Ff)L
D.Ff对木板做的功为Ffx
【强化·科学思维】
计算变力做功的六种科学思维方法
方法 示例
功能 关系法 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有WF-mgL(1-cos θ)=0，得WF=mgL(1-cos θ)
微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf=Ff·Δx1+Ff·Δx2+Ff·Δx3+…=Ff(Δx1+Δx2+Δx3+…)=Ff·2πR
等效转 换法 恒力F把物块(可视为质点)从A拉到B，绳子对物块做功W=F·-
平均 力法 弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中(始终在弹性限度内)，克服弹力做功W=·(x2-x1)
图像法 一水平拉力F拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，F-x图线与坐标轴所围面积表示拉力所做的功，W=x0
功率法 机动车辆以恒定功率P运动一段时间t，则牵引力F所做的功W=Pt
方法1　微元法
如图所示，在水平桌面上，长度R=5 m的轻绳一端固定于O点(俯视图)，另一端系一质量m=2.0 kg的小球，现对小球施加一个大小恒为10 N的力F，方向始终与小球在该点的切线成37°角，F拉着小球从M点运动到N点，已知小球与桌面间的动摩擦因数μ=0.2，不计空气阻力，重力加速度取g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，则拉力F做的功与克服摩擦力做的功的比值为 (　　)
A. B.2 C. D.4
方法2　图像法
(多选)工匠师傅用铁锤把钉子钉进墙壁时，每次对钉子做的功相同。工匠第一次将钉子砸进了一半。已知钉子所受阻力与其进入墙壁中的深度成正比，铁锤砸钉的能量全部用来克服钉子前进中的阻力做功，则 (　　)
A.工匠要把一枚钉子全部砸进墙壁，他共需砸锤3次
B.工匠要把一枚钉子全部砸进墙壁，他共需砸锤4次
C.打击第n次与打击第一次钉子进入墙壁的深度之比为∶1
D.如果每次钉入的深度相同，则工匠打击第n次与打击第一次对钉子做功之比为(2n-1)∶1
方法3　功能关系法
(多选)如图所示，质量为m的同学在练习原地垂直起跳摸高。在第一阶段，脚使劲蹬地，重心上升h1，人以速度v离开地面。在第二阶段，人躯干形态基本保持不变，重心又上升了h2，到达最高点。已知重力加速度为g，不计空气阻力，则下列说法正确的是 (　　)
A.在第一阶段，地面支持力对该同学做的功大于mgh1
B.在第一阶段，地面支持力对该同学做的功等于0
C.整个过程，人对自己做的功为mg(h1+h2)
D.整个过程，人的重力做的功为mg(h1+h2)
考点二　功率的理解及计算
【理清·知识结构】
【知识梳理】
1.功率(P)
(1)定义：功W跟完成这些功所用的时间t的①　　　　叫作功率。
(2)定义式：P=②　　　　。
(3)单位：在国际单位制中，功率的单位是③　　　　，符号是④　　　　。常用单位：1 kW=1 000 W。
(4)功率是⑤　　，只有大小，没有方向。(说明：功率一般不取负值)
(5)推导式：P==⑥　　　　。
2.平均功率和瞬时功率
名称 平均功率 瞬时功率
物理意义 表示在⑦　　　　做功的平均快慢 表示在⑧　　　　做功的快慢
计算方法 P=或P=Fcos α P=Fvcos α
注意事项 与⑨　　　　　相对应，计算时应明确是⑩　　　　　做功的平均功率 与　　　　　　相对应，计算时应明确是　　　　　　　做功的功率
3.额定功率和实际功率
(1)额定功率是发动机长时间工作时的　　　　功率，通常都在铭牌上标明。额定功率是动力机器重要的性能指标，一个动力机器的额定功率是一定的。
(2)实际功率是发动机实际工作时　　　　的功率。机器工作时大多数情况下实际功率小于额定功率。
【考教衔接】
1.功率定义式为P=，变形可得W=Pt，由该式可求一段时间t内机车牵引力所做的功，但该式的适用条件是P恒定不变。若P不是恒定的，则应该如何计算一段时间内机车牵引力所做的功呢
2.某运动员先后将完全相同的两个足球从A、B两点踢起，均落在同一直线上的C点，运动轨迹如图所示，将足球视为质点，忽略空气阻力。则足球在空中运动时间tA　　　tB；落地时速度大小vA　　　vB，落地时重力的瞬时功率PA　　　PB。(均选填“>”“=”或“<”)
【突破·考点题型】
角度1　平均功率与瞬时功率
一同学荡秋千，如图所示。将该同学和秋千踏板视为质点，绳的质量忽略不计，则该同学由最高点荡到秋千支架正下方的过程中，重力做功的功率 (　　)
A.一直增大
B.一直减小
C.先增大后减小
D.先减小后增大
总结提升 　　根据P=Fvcos θ判断瞬时功率的大小变化时，除了关注F、v的大小变化之外，还要关注F、v的夹角θ的变化情况(这是命题人喜欢设置的陷阱)。
早在两千多年前，我国劳动人民就发明了汉石磨盘，如图1所示。它是一种可使谷物脱壳、粉碎的加工工具，凝聚着人类的高度智慧。后来人们通常用驴来拉磨，把谷物磨成粉。用俯视角度看此过程，示意图如图2所示，假设驴拉磨可以看成做匀速圆周运动，驴对磨杆末端的平均拉力F=500 N，拉力方向始终沿圆周切线方向，磨杆长为1 m，驴拉磨转动一周时间为10 s。求：
(1)驴拉磨一周做功的平均功率。
(2)驴拉磨的瞬时功率。
身高约1.7 m，体重为60 kg的某男生在学校体育课完成“引体向上”的测试。若该男生在1分钟内完成了20次“引体向上”，每次“引体向上”都使自己的整个身体升高一个手臂的高度，且每次“引体向上”都需要2 s才能完成。重力加速度g取10 m/s2，下列估算恰当的是(　　)
A.每次“引体向上”克服重力做功约为180 J
B.每次“引体向上”克服重力做功功率约为90 W
C.全过程该同学克服重力做功的平均功率约为90 W
D.全过程该同学克服重力做功的平均功率约为120 W
角度2　功率的计算
一水电站的水流量是100 m3/s，上游拦河坝内水位高80 m，假设水位下落过程中重力做的功全部变成水的动能，利用水流对水轮机做功，已知水轮机的效率是90%，水的密度ρ=1.0×103 kg/m3，重力加速度大小g取10 m/s2。则水轮机的功率约为 (　　)
A.7.8×106 W B.7.2×106 W
C.7.8×107 W D.7.2×107 W
某景区的一部观光电梯的运行高度约为H=327 m，运行时间t=118 s，已知电梯加速阶段和减速阶段的加速度大小之比为2∶1，最大运行速度v=3 m/s。某游客质量为80 kg，从山脚乘电梯上山游玩，重力加速度取g=10 m/s2，求：
(1)电梯加速阶段的加速度。
(2)全过程中，电梯对该游客做功的最大功率。

【强化·学科思维】
机车的两种启动方式
启动方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
动态过程
速度—时 间图像
角度1　恒定功率启动
一辆汽车在平直公路上以恒定功率P0匀速行驶，行驶的速度为v0。现突然驶上一段泥泞的道路，阻力变为原来的2倍，行驶一段时间后道路又恢复至开始的情况，全过程中汽车功率始终保持不变。则下列汽车的速度随时间变化的关系图像可能正确的是 (　　)
A　　　　　　　　 B
C　　　　　　　　 D
角度2　恒定加速度启动
一辆汽车质量为2×103 kg，最大功率为3×104 W，在水平路面上由静止开始做直线运动，最大速度为v2，运动过程中汽车所受阻力恒定。发动机的最大牵引力为3×103 N，其行驶过程中牵引力F与车速的倒数的关系如图所示。
(1)根据图线ABC判断汽车做什么运动
(2)求v1、v2的大小。
(3)求整个运动过程中的最大加速度。
(4)求当汽车的速度为15 m/s时发动机的功率。
核心归纳 解决机车启动问题要谨记三个要点 1.无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm=。 2.机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v=角度3　机车启动的图像问题
　　四个图像之间的对应关系　(以恒定加速度启动为例)
(多选)在某次直线运动性能检测实验中，根据两辆新能源汽车运动过程分别作出甲车速度随时间变化的v-t图像(如图1)和乙车牵引力随速度倒数变化的F-图像(如图2)，甲车在8 s至28 s过程中以额定功率行驶，乙车做匀加速运动后，也以额定功率行驶，两辆汽车的质量均为1.0×103 kg，均由静止开始沿平直公路行驶，最终做匀速运动。假设两辆车行驶中所受阻力恒定，重力加速度g取10 m/s2。则在此次检测中 (　　)
A.乙车做匀加速运动的最长时间为5 s
B.8 s至28 s过程中，甲车牵引力做的功为3.22×105 J
C.甲、乙两车在匀加速阶段的加速度均为2 m/s2
D.甲车额定功率小于乙车额定功率
练创新试题·知命题导向
1.(多选)如图1，某水电站建筑工地用发动机沿倾斜光滑轨道将建材拉到大坝顶上，已知轨道的倾角θ=37°，每次从大坝底端向上拉建材的过程中，发动机所做的功与位移的关系如图2所示。图2中当x<6 m时图线为直线，当x=6 m时发动机达到额定功率，6 m18 m时图线为直线。已知每个建材的质量m=100 kg，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。根据图中数据可知 (　　)
A.建材在前6 s做匀加速运动，加速度大小为3 m/s2
B.从6 m到18 m的过程中，建材受到的拉力在增大
C.发动机的额定功率为5 400 W
D.建材能达到的最大速度为9 m/s
2.(多选)滑块以一定的初速度沿粗糙斜面从底端上滑，到达最高点B后返回到底端。利用频闪仪分别对上滑和下滑过程进行拍摄，频闪照片示意图如图1、图2所示。以下说法正确的是 (　　)
A.图1对应滑块上滑过程
B.图2对应滑块上滑过程
C.图1中滑块在A点克服摩擦力做功的功率比图2的大
D.图2中滑块在AB段重力的平均功率的绝对值比图1的大
参考答案
考点一
知识梳理
①力　②力的方向上的位移　③焦耳　④J
⑤Flcos α　⑥一定　⑦不一定　⑧能量转化
⑨做功
考教衔接
(1)物体受到的摩擦力大小f=mgsin θ，方向沿斜面向上，摩擦力f与位移l的夹角为钝角，它做负功，大小为Wf=-(mgsin θ)cos θ·L=-mgLsin θcos θ；物体受到的支持力大小N=mgcos θ，支持力N与位移l的夹角为锐角，它做正功，大小为WN=(mgcos θ)sin θ·L=mgLsin θcos θ；物体受到的重力大小为mg，重力mg与位移l的夹角为直角，它不做功，即WG=0。
(2)物体匀速运动，它受到的合力为零，所以合力做的功为零。
(3)合力做的功等于各个力做功的代数和。
例1　B
例2　D　解析　根据题述情境，构建如图甲所示的情境模型。取货箱为研究对象，货箱与传送带间无相对滑动，向上做匀速运动，则货箱的受力情况如图乙所示，传送带对货箱的静摩擦力的方向与货箱的速度方向相同(沿传送带向上)，则静摩擦力做正功，A、B两项错误；传送带对货箱的作用力与货箱的重力等大反向，它与速度的夹角为锐角，故传送带对货箱的作用力做正功，C项错误；根据共点力的平衡条件可得，静摩擦力f=mgsin θ，显然增大传送带斜面倾角θ，货箱受到的静摩擦力f变大，D项正确。
　
甲 乙
例3　D　解析　设力F与水平方向的夹角为θ，则摩擦力f=μ(mg-Fsin θ)，摩擦力做的功Wf=μ(mg-Fsin θ)x，即摩擦力做的功与F的方向有关，A项错误；合力做的功W=F合x=ma·x，可知合力做的功与力F方向无关，B项错误；当力F水平时，由牛顿第二定律得F=ma+μmg，力F做的功WF=Fx=(ma+μmg)x，C项错误；因合力做的功为max，且大小一定，而合力做的功等于力F与摩擦力f做功的代数和，而当Fsin θ=mg时，摩擦力f=0，则摩擦力做功为零，此时力F做功最小，最小值为max，D项正确。
例4　解答　(1)由图2可知，前0.5 s内，物块A、B以相同大小的加速度做匀加速运动，0.5 s末物块A的速度大小为2 m/s，则a==4 m/s2。
(2)前0.5 s内，轻绳绷直，设轻绳的拉力大小为F；后0.25 s内，轻绳松弛，拉力为0。前0.5 s内，物块A沿斜面发生的位移l=×2×0.5 m=0.5 m
对物块B，由牛顿第二定律得Mg-F=Ma
解得F=12 N
所以轻绳的拉力对物块A做的功W=Fl=6 J。
例5　D　解析　作用力与反作用力做功之间没有关系，所有情况都有可能，所以选D。
例6　BD　解析　力做功的位移为作用点的对地位移。恒力F作用在物块上，物块的对地位移为L+x，则恒力F对物块做的功WF=F(L+x)，A项错误，B项正确；Ff对物块做的功为-Ff(L+x)，合力对物块做的功为(F-Ff)(L+x)，C项错误；木板对地的位移为x，摩擦力对木板做正功，大小为Ffx，D项正确。
例7　B　解析　将圆弧分成若干小段l1，l2，…，ln，拉力F在每小段上做的功为W1，W2，…，Wn，因拉力F大小不变，方向始终与小球在该点的切线成37°角，所以W1=Fl1cos 37°，W2=Fl2cos 37°，…，Wn=Flncos 37°。总功W=W1+W2+…+Wn=Fcos 37°(l1+l2+…+ln)=Fcos 37°·R=π J。同理可得，克服摩擦力做功Wf=μmg·R=π J，拉力F做的功与克服摩擦力做的功的比值为2，B项正确。
例8　BD　解析　已知钉子所受阻力与其进入墙壁中的深度成正比，作出钉子受到的阻力与深度的图像如图甲所示。图像与水平轴围成的面积等于钉子克服阻力做的功，由面积比可知前一半深度和后一半深度克服阻力做功之比为1∶3，木匠每次砸钉做的功相同，把一枚钉子全部砸进墙壁，他共需砸锤4次，A项错误，B项正确。木匠每次砸钉过程，钉子克服阻力做的功相同，如图乙，由几何关系可知，第1次、前2次、前3次……的面积比为1∶2∶3∶…∶n，则钉子进入墙壁中的深度比为1∶∶∶…∶，每一次进入墙壁中的深度比为1∶(-1)∶(-)∶…∶(-)，故打击第n次与打击第一次钉子进入墙壁的深度之比为(-)∶1，C项错误。如果每次钉入的深度相同，如图丙，则工匠每次打击对钉子做的功之比为1∶3∶5∶…∶2n-1，故打击第n次与打击第一次做功之比为(2n-1)∶1，D项正确。
甲　　　　　　乙
丙
例9　BC　解析　在第一阶段，人受到地面支持力的作用点(脚底)没有位移，根据功的定义可知，支持力不做功，A项错误，B项正确；整个过程中，地面支持力对人做的总功为零，人起跳是因为人自己对自己做功，根据功能关系可得人对自己做的功的大小为mg(h1+h2)，C项正确；全过程，人的重力做负功，为-mg(h1+h2)，D项错误。
考点二
知识梳理
①比值　②　③瓦特　④W　⑤标量
⑥Fvcos α　⑦一段时间内　⑧某一瞬间　⑨一段时间(或一个过程)
⑩哪一个力在哪一段时间(或过程)内　某一时刻(或状态)　哪一个力在哪一个时刻(或状态)　最大　输出
考教衔接
1.P恒定其实是一种数学上的较低要求。若P不恒定，则需要用积分来计算。若能绘制出P-t图像，则P-t图像的面积表示功。
2.=　>　=
例10　C
例11　解答　(1)驴的拉力大小不变，但是方向不断变化，取某段微小位移为Δl，则拉力F在该段位移做的功ΔW=FΔl
求和可得驴拉磨一周所做的功W=F·2πr=1 000π J
平均功率P==100π W。
(2)磨杆末端的线速度v==0.2π m/s
驴拉磨的瞬时功率P=Fv=100π W。
例12　D　解析　该男生的体重为60 kg，每次引体向上上升的高度约为h=0.6 m，则每次引体向上克服重力做的功W=mgh=60×10×0.6 J=360 J，每次克服重力做功的平均功率P==180 W，全过程克服重力做功的平均功率P== W=120 W。
例13　D　解析　1 s内流过水轮机的水的体积V=100 m3/s×1 s=100 m3，由m=ρV代入数据解得水的质量m=1×105 kg；水下落过程中重力做的功WG=mgh=1×105×10×80 J=8×107 J，水轮机的功率P==7.2×107 W，D项正确。
例14　解答　(1)设电梯在加速阶段的加速度为a1，在减速阶段的加速度为a3，则
加速阶段t1=，x1=
减速阶段t3==，x3==
匀速阶段x2=vt2，t2=t总-t1-t3
又x1+x2+x3=H=327 m
解得a1=0.5 m/s2
电梯在加速阶段的加速度大小为0.5 m/s2，方向竖直向上。
(2)电梯在加速阶段，由牛顿第二定律有F-mg=ma1，得F=840 N
电梯对该游客做功的最大功率Pmax=Fv=840×3 W=2 520 W。
例15　B　解析　开始的时候P0=F0v0=fv0，当阻力变为原来的2倍时，因速度不能瞬时改变，故牵引力瞬时不变，则加速度a=反向瞬时增加，随着速度减小，牵引力增加，减速时的加速度大小在减小；当牵引力增加到2f时，根据P0=2f v0可知，汽车速度减为原来的一半再次做匀速运动；行驶一段时间后道路又恢复至开始的情况，则阻力又变为原来的大小，则加速度瞬时增加，随后汽车速度增加，牵引力减小，当加速度逐渐减小到零，即速度再次增加到v0时，牵引力大小等于阻力，又开始做匀速运动。B项正确。
例16　解答　(1)题图中图线AB段牵引力F不变，阻力Ff不变，汽车做匀加速直线运动，图线BC的斜率表示汽车的功率P，P不变，则汽车做加速度减小的加速运动，直至达到最大速度v2，此后汽车做匀速直线运动。
(2)当汽车的速度为v2时，牵引力F1=1×103 N，v2==30 m/s。与B点对应的速度v1==10 m/s。
(3)由图像可知，汽车受到的阻力Ff==1 000 N
最大加速度am==1 m/s2。
(4)当汽车的速度为15 m/s时处于图线BC段，故此时的功率最大，功率Pm=3×104 W。
例17　AC　解析　当乙车速度为10 m/s时，牵引力为4 000 N，恰好达到额定功率，可得P=F1v1=40 kW，当达到最大速度20 m/s时，牵引力大小等于阻力，可得f==2 000 N，乙车在匀加速阶段的加速度a==2 m/s2，在匀加速阶段的最大速度为10 m/s，则其做匀加速运动的最长时间为5 s。甲车在匀加速阶段的加速度a'== m/s2=2 m/s2，A项正确，C项正确。当甲车速度达到v1'=16 m/s时，刚好达到额定功率，可得P'=F1'v1'=(f'+ma')v1'，当甲车达到最大速度v2'=30 m/s时，牵引力大小等于阻力，可得P'=f'v2'，解得P'= W，故甲车额定功率大于乙车额定功率，D项错误。8 s至28 s过程中，甲车牵引力做的功WF=P'Δt≈1.37×106 J，B项错误。
练创新试题
1.CD　解析　因W-x图像的斜率等于拉力F，可知建材在前6 m所受的拉力恒定不变，做匀加速运动，拉力F= N=900 N，设加速度大小为a，有F-mgsin 37°=ma，解得a=3 m/s2，根据x=at2可得，建材在前6 m运动时间t=2 s，故建材在前2 s做匀加速直线运动，但是2 s后发动机达到额定功率，随后拉力减小，建材做加速度减小的加速运动，最后做匀速直线运动，A、B两项错误。当x=6 m时发动机达到额定功率，由图2可知此时发动机功率P=5 400 W，C项正确。x=18 m时货物达到最大速度，有P=mgsin 37°vm，解得vm=9 m/s，D项正确。
2.AC　解析　因为频闪照片时间间隔相同，对比图1和图2可知图1中滑块加速度大，图1是上滑过程，A项正确，B项错误；图1中的A点处滑块的速率大于图2中的A点处滑块的速率，图1中滑块在A点克服摩擦力做功的功率比图2的大，C项正确；两图在AB段重力做功的绝对值相同，但图1中滑块运动时间较短，故图1中滑块在AB段重力的平均功率的绝对值比图2中的大，D项错误。(共72张PPT)
第1讲 功和功率
考点一 功的理解与计算
考点二 功率的理解及计算
考点一 功的理解与计算
理清 知识结构
知识梳理 构建体系
1.功
（1）概念：一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，
这个力就对物体做了功。
（2）做功的两个要素：①____；②__________________。
（3）在国际单位制中，功的单位是③______，符号是④__。
。
力
力的方向上的位移
焦耳
2.功的计算
如图所示，当恒力与位移的夹角为 时，恒力所做的功
⑤________。
3.正功和负功
功只有大小，没有方向，是标量，但功的正、负具有物理意义。
（如表所示）
功的正负 作用效果
4.常见力做功的情况
（1）静摩擦力、滑动摩擦力都可以对物体做正功、做负功或不做功。
（2）一对平衡力等大、反向、共线、同体，做功的代数和⑥______
（选填“一定”或“不一定”）为0。
一定
（3）一对相互作用力做功的代数和⑦________（选填“一定”或“不一
定”）为0。因为一对相互作用力分别作用在两个物体上，而两个物体的
位移关系不确定，故一对相互作用力做功的关系不确定。
不一定
5.功与能的关系
功是⑧__________的量度。一种能量的变化，必然对应于某种力⑨_____。
因此，我们可以通过能量的变化来计算功。（此法叫作功能关系法）
能量转化
做功
考教衔接 以图说法
如图所示，质量为的物体始终相对倾角为 的斜面静止，沿水平
方向向右匀速移动了距离 。
（1）物体受到了哪些力的作用？它们的大小如何？做功情况如何？
[答案] 物体受到的摩擦力大小 ，方向沿斜面向上，摩擦力
与位移 的夹角为钝角，它做负功，大小为
;物体受到的支持力大小
，支持力与位移 的夹角为锐角，它做正功，大小为
;物体受到的重力大小为 ，
重力与位移的夹角为直角，它不做功，即 。
（2）物体受到的合力做的功为多少？
[答案] 物体匀速运动，它受到的合力为零，所以合力做的功为零。
（3）合力做的功和各个力做功的代数和是怎样的关系？
[答案] 合力做的功等于各个力做功的代数和。
突破 考点题型
角度1 力是否做功的判断
例1 如图，物体、叠放在一起，用绳系在固定的墙上，用力 拉着
右移，用、、分别表示绳中拉力、对的摩擦力和对 的摩
擦力，则下列说法正确的是( )
B
A.做正功，做负功，做正功， 不做功
B.做正功，做负功，和 不做功
C.、做正功，、 不做功
D. 做正功，其他力都不做功
[解析] 由题意可知，不动，向右运动，但均受到滑动摩擦力，由于
相对向右运动，故其受到的摩擦力 向左，与位移方向相反，做负功，
拉力与位移同向，做正功，由于没有位移，所以绳的拉力和 不
做功，B项正确。
例2 传送带是物料搬运系统机械化和自动化传送用具。如图，传送带靠
静摩擦力把货箱从低处匀速送往高处，下列说法正确的是( )
D
A.货箱所受静摩擦力方向沿传送带向下
B.传送带对货箱的静摩擦力做负功
C.传送带对货箱的作用力不做功
D.增大传送带斜面倾角，货箱所受静摩擦力变大
[解析] 根据题述情境，构建如图甲所示的情境模型。取货箱为研究对象，
货箱与传送带间无相对滑动，向上做匀速运动，则货箱的受力情况如图
乙所示，传送带对货箱的静摩擦力的方向与货箱的速度方向相同
（沿传送带向上），则静摩擦力做正功，A、B两项错误;传送带对货箱
的作用力与货箱的重力等大反向，它与速度的夹角为锐角，故传送带对
货箱的作用力做正功，C项错误;根据共点力的平衡条件可得，静摩擦力
，显然增大传送带斜面倾角 ，货箱受到的静摩擦力 变
大，D项正确。
甲
乙
核心归纳
做正功、做负功及不做功的判定方法
方法1：根据力和位移的夹角判定（多用于恒力做功），当、夹
角为锐角时，做正功；当、夹角为钝角时，做负功；当、夹角
为直角时，不做功。
方法2：根据力和速度的夹角判定（多用于曲线运动），当、夹
角为锐角时，做正功；当、夹角为钝角时，做负功；当、夹角
为直角时，不做功。
角度2 恒力做功的计算
例3 (2023·北京高考)如图所示，一物体在力 作用下沿水平桌面做匀加
速直线运动。已知物体质量为，加速度大小为 ，物体和桌面之间的
动摩擦因数为 ，重力加速度为，在物体移动距离为 的过程中( )
D
A.摩擦力做功大小与 方向无关
B.合力做功大小与 方向有关
C.为水平方向时，做的功为
D.做的功的最小值为
[解析] 设力与水平方向的夹角为 ，则摩擦力 ，
摩擦力做的功，即摩擦力做的功与 的方向有关，
A项错误;合力做的功，可知合力做的功与力 方向无
关，B项错误;当力水平时，由牛顿第二定律得，力 做
的功，C项错误;因合力做的功为 ，且大小
一定，而合力做的功等于力与摩擦力 做功的代数和，而当
时，摩擦力，则摩擦力做功为零，此时力 做功最小，
最小值为 ，D项正确。
核心归纳
合力做功的三种计算方法
方法1：先计算合外力，再利用公式 计算。注意：
此种方法只适用于合外力为恒力的情形。
方法2：先通过 计算各个力做的功，再求各个力做功
的代数和。注意：此种方法只适用于合外力为恒力的情形。
方法3：利用动能定理求解，即。此种方法既
适用于合外力是恒力的情形，也适用于合外力是变力的情形。
例4 一倾角为 的斜面固定
在水平面上，开始时质量为
的物块 放在斜面的底端，通过
一形变量不计的跨过光滑定滑
轮的轻绳与一质量的物块 相连接，如图1所示，最初时轻绳绷
紧， 距离地面有一定的高度。现无初速度地将整个装置释放，通过测
定描绘出了 沿斜面上升的整个过程中的速度—时间图像如图2所示，假
设着地后不反弹，重力加速度取 ，求：
（1）在下落过程中物块 的加速度大小。
解答 由图2可知，前内，物块、 以相同大小的加速度做匀加速
运动，末物块的速度大小为，则 。
（2）整个过程中轻绳对物块 所做的功。
[答案] 前内，轻绳绷直，设轻绳的拉力大小为;后 内，轻绳
松弛，拉力为0。前内，物块 沿斜面发生的位移
对物块，由牛顿第二定律得
解得
所以轻绳的拉力对物块做的功 。
角度3 作用力与反作用力、摩擦力做功
例5 关于作用力与反作用力做功，下列说法正确的是( )
D
A.当作用力做正功时，反作用力一定做负功
B.当作用力不做功时，反作用力也不做功
C.作用力与反作用力所做的功一定是大小相等，正、负符号相反的
D.作用力做正功时，反作用力也可能做正功
[解析] 作用力与反作用力做功之间没有关系，所有情况都有可能，所以
选D。
例6 （多选）如图所示，在光滑水平面上有一质量为 ，长度
为的木板，在木板左端放一质量为 的物块，物块与木板间的滑动摩
擦力为，给物块一水平向右的恒力 使两物体由静止开始运动，当物
块滑到木板的右端时，木板运动位移为 。下列说法正确的是( )
BD
A.恒力对物块做的功为 B.恒力对物块做的功为
C.合力对物块做的功为 D.对木板做的功为
[解析] 力做功的位移为作用点的对地位移。恒力 作用在物块上，物块
的对地位移为，则恒力对物块做的功 ，A项错误，
B项正确;对物块做的功为 ，合力对物块做的功为
，C项错误;木板对地的位移为 ，摩擦力对木板做正功，
大小为 ，D项正确。
强化 学科思维
计算变力做功的六种科学思维方法
方法 示例 功能 关系 法 _____________________________________________________
方法 示例 微元 法 _________________________________________________________
续表
方法 示例 等效 转换 法 ______________________________________________________________
续表
方法 示例 平均 力法 __________________________________________________________________
续表
方法 示例 图像 法 _____________________________________________
功率 法 _________________________________________________________________
续表
方法1 微元法
例7 如图所示，在水平桌面上，长度 的轻绳
一端固定于 点（俯视图），另一端系一质量
的小球，现对小球施加一个大小恒为
的力，方向始终与小球在该点的切线成 角，
B
A. B.2 C. D.4
拉着小球从点运动到点，已知小球与桌面间的动摩擦因数 ，
不计空气阻力，重力加速度取， ，
，则拉力 做的功与克服摩擦力做的功的比值为( )
[解析] 将圆弧分成若干小段，， ，，拉力 在每小段上做的功
为，， ，，因拉力 大小不变，方向始终与小球在该点的切
线成 角，所以，， ，
。总功 。同理可得，克服摩擦力做功
，拉力 做的功与克服摩擦力做的功的比值为2，
B项正确。
方法2 图像法
例8 （多选）工匠师傅用铁锤把钉子钉进墙壁时，每次对钉子
做的功相同。工匠第一次将钉子砸进了一半。已知钉子所受阻力与其进
入墙壁中的深度成正比，铁锤砸钉的能量全部用来克服钉子前进中的阻
力做功，则( )
BD
A.工匠要把一枚钉子全部砸进墙壁，他共需砸锤3次
B.工匠要把一枚钉子全部砸进墙壁，他共需砸锤4次
C.打击第次与打击第一次钉子进入墙壁的深度之比为
D.如果每次钉入的深度相同，则工匠打击第 次与打击第一次对钉子做
功之比为
[解析] 已知钉子所受阻力与其进入墙壁中的深度成正比，作出钉子受到
的阻力与深度的图像如图甲所示。图像与水平轴围成的面积等于钉子克
服阻力做的功，由面积比可知前一半深度和后一半深度克服阻力做功之
比为 ，木匠每次砸钉做的功相同，把一枚钉子全部砸进墙壁，他共
需砸锤4次，A项错误，B项正确。木匠每次砸钉过程，钉子克服阻力做
的功相同，如图乙，由几何关系可知，第1次、前2次、前3次……的面
积比为，则钉子进入墙壁中的深度比为 ，每
一次进入墙壁中的深度比为 ，
故打击第次与打击第一次钉子进入墙壁的深度之比为 ，
C项错误。如果每次钉入的深度相同，如图丙，则工匠每次打击对钉子
做的功之比为，故打击第 次与打击第一次做功之比为
，D项正确。
甲
乙
丙
方法3 功能关系法
例9 （多选）如图所示，质量为 的同学在练习原地垂直起跳摸
高。在第一阶段，脚使劲蹬地，重心上升，人以速度 离开地面。在
第二阶段，人躯干形态基本保持不变，重心又上升了 ，到达最高点。
已知重力加速度为 ，不计空气阻力，则下列说法正确的是( )
BC
A.在第一阶段，地面支持力对该同学做的功大于
B.在第一阶段，地面支持力对该同学做的功等于0
C.整个过程，人对自己做的功为
D.整个过程，人的重力做的功为
[解析] 在第一阶段，人受到地面支持力的作用点（脚底）没有位移，根
据功的定义可知，支持力不做功，A项错误，B项正确;整个过程中，地
面支持力对人做的总功为零，人起跳是因为人自己对自己做功，根据功
能关系可得人对自己做的功的大小为 ，C项正确;全过程，
人的重力做负功，为 ，D项错误。
考点二 功率的理解及计算
理清 知识结构
知识梳理 构建体系
1.功率
（1）定义：功跟完成这些功所用的时间 的①______叫作功率。
（2）定义式： ②_ __。
比值
（3）单位：在国际单位制中，功率的单位是③______，符号是④___。
常用单位： 。
（4）功率是⑤______，只有大小，没有方向。（说明：功率一般不取
负值）
（5）推导式： ⑥________。
瓦特
标量
2.平均功率和瞬时功率
名称 平均功率 瞬时功率
物理意 义 表示在⑦____________做功的 平均快慢 表示在⑧__________做功的
快慢
计算方 法
一段时间内
某一瞬间
注意事 项 与 ⑨________________________ 相对应，计算时应明确是⑩___ ___________________________ _________做功的平均功率 与 ____________________
相对应，计算时应明确是 _
_________________________
__________做功的功率
续表
一段时间（或一个过程）
哪一个力在哪一段时间（或过程）内
某一时刻（或状态）
哪一个力在哪一个时刻（或状态）
3.额定功率和实际功率
（1）额定功率是发动机长时间工作时的 ______功率，通常都在铭牌
上标明。额定功率是动力机器重要的性能指标，一个动力机器的额定功
率是一定的。
最大
（2）实际功率是发动机实际工作时 ______的功率。机器工作时大多
数情况下实际功率小于额定功率。
输出
考教衔接 以图说法
1.功率定义式为，变形可得，由该式可求一段时间 内机车
牵引力所做的功，但该式的适用条件是恒定不变。若 不是恒定的，
则应该如何计算一段时间内机车牵引力所做的功呢？
[答案] 恒定其实是一种数学上的较低要求。若 不恒定，则需要用积
分来计算。若能绘制出图像，则 图像的面积表示功。
2.某运动员先后将完全相同的两个足球从、 两点踢起，均落在同一直
线上的 点，运动轨迹如图所示，将足球视为质点，忽略空气阻力。则
足球在空中运动时间___；落地时速度大小___ ，落地时重力的
瞬时功率___。（均选填“”“”或“ ”）
突破 考点题型
角度1 平均功率与瞬时功率
例10 一同学荡秋千，如图所示。将该同学
和秋千踏板视为质点，绳的质量忽略不计，则该同
学由最高点荡到秋千支架正下方的过程中，重力做
功的功率( )
C
A.一直增大 B.一直减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大
[解析] 根据功率 可知，初、末两状态该同学所受重力的瞬
时功率均为零，因此该同学由最高点荡到秋千支架正下方的过程中，重
力做功的功率先增大后减小，C项正确。
总结提升
根据 判断瞬时功率的大小变化时，除了关注、的大
小变化之外，还要关注、的夹角 的变化情况（这是命题人喜欢设
置的陷阱）。
例11 早在两千多年前，我国劳动人民就发明了汉石磨盘，如图
1所示。它是一种可使谷物脱壳、粉碎的加工工具，凝聚着人类的高度
智慧。后来人们通常用驴来拉磨，把谷物磨成粉。用俯视角度看此过程，
示意图如图2所示，假设驴拉磨可以看成做匀速圆周运动，驴对磨杆末
端的平均拉力，拉力方向始终沿圆周切线方向，磨杆长为 ，
驴拉磨转动一周时间为 。求：
（1）驴拉磨一周做功的平均功率。
解答 驴的拉力大小不变，但是方向不断变化，取某段微小位移为 ，
则拉力在该段位移做的功
求和可得驴拉磨一周所做的功
平均功率 。
（2）驴拉磨的瞬时功率。
[答案] 磨杆末端的线速度
驴拉磨的瞬时功率 。
例12 身高约，体重为 的某男生在学校体育课完成“引
体向上”的测试。若该男生在1分钟内完成了20次“引体向上”，每次“引
体向上”都使自己的整个身体升高一个手臂的高度，且每次“引体向上”
都需要才能完成。重力加速度取 ，下列估算恰当的是( )
D
A.每次“引体向上”克服重力做功约为
B.每次“引体向上”克服重力做功功率约为
C.全过程该同学克服重力做功的平均功率约为
D.全过程该同学克服重力做功的平均功率约为
[解析] 该男生的体重为，每次引体向上上升的高度约为 ，
则每次引体向上克服重力做的功 ，
每次克服重力做功的平均功率 ，全过程克服重力做功的
平均功率 。
角度2 功率的计算
例13 一水电站的水流量是，上游拦河坝内水位高 ，假设
水位下落过程中重力做的功全部变成水的动能，利用水流对水轮机做功，
已知水轮机的效率是，水的密度 ，重力加速度
大小取 。则水轮机的功率约为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 内流过水轮机的水的体积 ，由
代入数据解得水的质量 ;水下落过程中重力做的
功 ，水轮机的功率
，D项正确。
例14 某景区的一部观光电梯的运行高度约为 ，运行时间
，已知电梯加速阶段和减速阶段的加速度大小之比为 ，最
大运行速度。某游客质量为 ，从山脚乘电梯上山游玩，
重力加速度取 ，求：
（1）电梯加速阶段的加速度。
解答 设电梯在加速阶段的加速度为，在减速阶段的加速度为 ，则
加速阶段，
减速阶段，
匀速阶段，
又
解得
电梯在加速阶段的加速度大小为 ，方向竖直向上。
（2）全过程中，电梯对该游客做功的最大功率。
[答案] 电梯在加速阶段，由牛顿第二定律有 ，得
电梯对该游客做功的最大功率 。
强化 学科思维
机车的两种启动方式
启动方式 动态过程 速度—时间图像
以恒定功 率启动 _______________________________________________________________________________________________ ___________________________________________
以恒定加 速度启动 ____________________________________________________________________________________________ __________________________________________
角度1 恒定功率启动
例15 一辆汽车在平直公路上以恒定功率匀速行驶，行驶的速度为 。
现突然驶上一段泥泞的道路，阻力变为原来的2倍，行驶一段时间后道
路又恢复至开始的情况，全过程中汽车功率始终保持不变。则下列汽车
的速度随时间变化的关系图像可能正确的是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 开始的时候 ，当阻力变为原来的2倍时，因速度
不能瞬时改变，故牵引力瞬时不变，则加速度 反向瞬时增加，
随着速度减小，牵引力增加，减速时的加速度大小在减小;当牵引力增
加到时，根据 可知，汽车速度减为原来的一半再次做匀
速运动;行驶一段时间后道路又恢复至开始的情况，则阻力又变为原来
的大小，则加速度瞬时增加，随后汽车速度增加，牵引力减小，当加速
度逐渐减小到零，即速度再次增加到 时，牵引力大小等于阻力，又开
始做匀速运动。B项正确。
角度2 恒定加速度启动
例16 一辆汽车质量为 ，最大功
率为 ，在水平路面上由静止开始做直线
运动，最大速度为 ，运动过程中汽车所受阻力
恒定。发动机的最大牵引力为 ，其行驶
过程中牵引力与车速的倒数 的关系如图所示。
（1）根据图线 判断汽车做什么运动？
解答 题图中图线段牵引力不变，阻力 不变，汽车做匀加速直线
运动，图线的斜率表示汽车的功率， 不变，则汽车做加速度减小
的加速运动，直至达到最大速度 ，此后汽车做匀速直线运动。
（2）求、 的大小。
[答案] 当汽车的速度为时，牵引力 ，
。与点对应的速度 。
（3）求整个运动过程中的最大加速度。
[答案] 由图像可知，汽车受到的阻力
最大加速度 。
（4）求当汽车的速度为 时发动机的功率。
[答案] 当汽车的速度为时处于图线 段，故此时的功率最大，
功率 。
核心归纳
解决机车启动问题要谨记三个要点
1.无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即
。
2.机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但
速度不是最大，。
3.机车以恒定功率启动时，牵引力做的功。由动能定理得
，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大
小和时间。
角度3 机车启动的图像问题
四个图像之间的对应关系 （以恒定加速度启动为例）
例17 （多选）在某次
直线运动性能检测实验中，根
据两辆新能源汽车运动过程分
别作出甲车速度随时间变化的
图像（如图1）和乙车牵引力随速度倒数变化的 图像
（如图2），甲车在至 过程中以额定功率行驶，乙车做匀加速运
动后，也以额定功率行驶，两辆汽车的质量均为 ，均由静
止开始沿平直公路行驶，最终做匀速运动。假设两辆车行驶中所受阻力
恒定，重力加速度取 。则在此次检测中 ( )
A.乙车做匀加速运动的最长时间为
B.至过程中，甲车牵引力做的功为
C.甲、乙两车在匀加速阶段的加速度均为
D.甲车额定功率小于乙车额定功率
√
√
[解析] 当乙车速度为时，牵引力为 ，恰好达到额定功率，
可得，当达到最大速度 时，牵引力大小等于阻
力，可得 ，乙车在匀加速阶段的加速度
，在匀加速阶段的最大速度为 ，则其做匀加速
运动的最长时间为 。甲车在匀加速阶段的加速度
,A项正确，C项正确。当甲车速度达到
时，刚好达到额定功率，可得 ，
当甲车达到最大速度 时，牵引力大小等于阻力，可得
，解得 ,故甲车额定功率大于乙车额定功率，D
项错误。至过程中，甲车牵引力做的功 ，
B项错误。
练创新试题 知命题导向
1. （多选）如图1，某水电站建筑工地用发动机沿倾斜光滑轨道
将建材拉到大坝顶上，已知轨道的倾角 ，每次从大坝底端向上
拉建材的过程中，发动机所做的功与位移的关系如图2所示。图2中当
时图线为直线，当 时发动机达到额定功率，
对应的图线为曲线，当 时建材达到最大速度，
时图线为直线。已知每个建材的质量 ，重力加速度
取，， 。根据图中数据可知
( )
A.建材在前做匀加速运动，加速度大小为
B.从到 的过程中，建材受到的拉力在增大
C.发动机的额定功率为
D.建材能达到的最大速度为
√
√
[解析] 因图像的斜率等于拉力，可知建材在前 所受的拉力恒
定不变，做匀加速运动，拉力，设加速度大小为 ，
有，解得，根据 可得，建材在
前运动时间，故建材在前做匀加速直线运动，但是 后发
动机达到额定功率，随后拉力减小，建材做加速度减小的加速运动，最
后做匀速直线运动，A、B两项错误。当 时发动机达到额定功率，
由图2可知此时发动机功率，C项正确。 时货物达
到最大速度，有，解得 ，D项正确。
2. （多选）滑块以一定的初速度沿粗糙斜面从底端上滑，到达最
高点 后返回到底端。利用频闪仪分别对上滑和下滑过程进行拍摄，频
闪照片示意图如图1、图2所示。以下说法正确的是( )
AC
A.图1对应滑块上滑过程
B.图2对应滑块上滑过程
C.图1中滑块在 点克服摩擦力做功的功率比图
2的大
D.图2中滑块在 段重力的平均功率的绝对值
比图1的大
[解析] 因为频闪照片时间间隔相同，对比图1和图2可知图1中滑块加速
度大，图1是上滑过程，A项正确，B项错误;图1中的 点处滑块的速率
大于图2中的点处滑块的速率，图1中滑块在 点克服摩擦力做功的功
率比图2的大，C项正确;两图在 段重力做功的绝对值相同，但图1中
滑块运动时间较短，故图1中滑块在 段重力的平均功率的绝对值比图
2中的大，D项错误。

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