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第4讲　功能关系　能量守恒定律
考点一　功能关系及其应用
【理清·知识结构】
【知识梳理】
1.功与能的关系
(1)功是能量①　　　　的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化。
(2)做功的过程一定伴随着能量的②　　　　，而且能量的转化必须通过③　　　　来实现。
2.能量转化与守恒定律
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只会从一种形式④　　　　为另一种形式，或者从一个物体⑤　　　　到其他物体，而能量的总量保持不变。
【考教衔接】
　　如图，质量为m的小球从光滑曲面上滑下。当它到达高度为h1的位置A时，速度的大小为v1；当它继续下滑到高度为h2的位置B时，速度的大小为v2。在由高度h1滑到高度h2的过程中，重力做的功为W。
(1)根据动能定理列出方程，描述小球在A、B两点间动能的关系。
(2)根据重力做功与重力势能的关系，把以上方程变形，以反映出小球运动过程中机械能是守恒的。
【突破·考点题型】
能量 功能关系 表达式
势能 重力做的功等于重力势能减少量 W=Ep1-Ep2=-ΔEp
弹力做的功等于弹性势能减少量
电场力做的功等于电势能减少量
分子力做的功等于分子势能减少量
动能合外力做的功等于物体动能变化量W=Ek2-Ek1=mv2-m
机械能除重力和弹力之外的其他力做的功等于机械能变化量W其他=E2-E1=ΔE
摩擦产生的热力学能(内能)一对相互作用的滑动摩擦力做功之和的绝对值等于产生的热力学能Q=f·s相对
(2024·浙江1月选考)如图所示，质量为m的足球从水平地面上位置1被踢出后落在位置3，在空中到达最高点2的高度为h，重力加速度为g，则足球(　　)
A.从1到2动能减少mgh
B.从1到2重力势能增加mgh
C.从2到3动能增加mgh
D.从2到3机械能不变
(多选)滑沙是人们喜爱的游乐活动，滑沙场地的一段斜面如图所示，其倾角为30°，设参加活动的人和滑板的总质量为m，人和滑板从距底端高为h处的顶端A沿滑道由静止开始匀加速下滑，加速度为0.4g(g为重力加速度大小)，人和滑板可视为质点，则从顶端向下滑到底端B的过程中，下列说法正确的是 (　　)
A.人和滑板减少的重力势能全部转化为动能
B.人和滑板获得的动能为0.8mgh
C.整个下滑过程中人和滑板减少的机械能为0.2mgh
D.人和滑板克服摩擦力做功为0.6mgh
蹦极是一项非常刺激的户外运动。如图所示，某景区蹦极所用的弹性绳原长L=80 m，劲度系数k=25 N/m，弹性绳一端固定在跳台上，另一端拴接在游客脚踝处。已知游客的质量m=50 kg，重力加速度g取10 m/s2，不计弹性绳的重力和空气阻力，弹性绳始终在弹性限度内，假设游客始终在同一竖直线上运动，则游客无初速度地从跳台跳下后，弹性绳的最大伸长量为 (　　)
A.20 m B.40 m C.60 m D.80 m
2024年5月3日，“嫦娥六号”发射成功。设“嫦娥六号”的质量为m，月球半径为R。以月面为零势能面，“嫦娥六号”在h高度的引力势能可表示为Ep=，其中G为引力常量，M为月球质量。
(1)求“嫦娥六号”在距月面高度为h的圆形轨道上运行时的动能Ek。
(2)至少需要对“嫦娥六号”做多少功才能使它自月面取样结束后返回到距月面高度为h的圆形轨道上 (忽略月球自转)
【强化·学科思维】
六种常见能量图像的理解与认知
图像 含义 图线切线的斜率(绝对值)的物理意义
Ek-x 物体的动能Ek随位移x变化的关系 物体受到的合力F大小
Ek-t 物体的动能Ek 随时间t变化的关系 物体受到的合力做功的瞬时功率P
Ep-x 物体的重力势能Ep随竖直位移x变化的关系 物体受到的重力mg大小
Ep-t 物体的重力势能Ep 随时间t变化的关系 物体受到的重力做功的瞬时功率PG
E-x 物体的机械能E随位移x变化的关系 物体受到的除重力之外的其他力的合力F其他大小
E-t 物体的机械能E随时间t变化的关系 物体受到的除重力之外的其他力的合力做功的瞬时功率P其他
(2022·江苏高考)某滑雪赛道如图所示，滑雪运动员从静止开始沿斜面下滑，经圆弧滑道起跳。将运动员视为质点，不计摩擦力及空气阻力，此过程中，运动员的动能Ek与水平位移x的关系图像正确的是 (　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
(多选)如图1所示，物体以一定初速度从倾角α=37°的固定斜面底端沿斜面向上运动，上升的最大高度为3.0 m。选择地面为参考平面，上升过程中，物体的机械能E随高度h的变化如图2所示。g取10 m/s2，sin 37°=0.6，则下列说法正确的是 (　　)
A.物体的质量m=0.67 kg
B.物体与斜面间的动摩擦因数μ=0.5
C.物体上升过程的加速度大小a=12 m/s2
D.物体回到斜面底端时的动能Ek=10 J
雨滴在高空形成后，由静止开始沿竖直方向下落，雨滴受到空气阻力的大小与雨滴的速度大小成正比。设下落过程中雨滴的质量不变，雨滴下落过程中，下列关于雨滴的速度v、重力势能Ep、动能Ek、机械能E与时间t或位移x变化的图像，可能正确的是 (　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
考点二　能量守恒定律的理解和应用
1.对能量守恒定律的两点理解
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
2.应用能量守恒定律解题的基本步骤
(1)分清有多少种形式的能(如动能、重力势能、弹性势能、内能、电能等)在变化。
(2)分别列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式。
(3)列恒等式：ΔE减=ΔE增。
风沿水平方向以速度v垂直吹向一直径为d的风车叶轮上，设空气密度为ρ，风的动能有50%转化为风车的动能，风车带动水车将水提高到h的高度，效率为80%，重力加速度为g，求单位时间内最多可提升的水的质量m。
如图所示，轻弹簧一端悬挂在横杆上，另一端连接质量为m的重物，弹簧和重物组成的系统处于静止状态。某时刻在重物上施加一方向竖直向上、大小F=mg的恒力，重物上升的最大高度为h，已知弹簧的弹性势能表达式为kx2(x为弹簧形变量)，重力加速度为g，则(　　)
A.上升过程中系统机械能守恒
B.开始时弹簧的弹性势能为mgh
C.上升过程中重物的最大动能为mgh
D.上升到最高点过程中重物的重力势能增加了mgh
练创新试题·知命题导向
1.(多选)如图1所示，质量分别为m=0.3 kg和M=1.2 kg的A、B物块(相同材料)用轻杆通过铰链连接起来，放置在水平面上，给B施加水平恒力F，使二者一起沿水平面由静止开始做匀加速直线运动。已知两物块的v-t图像如图2所示，3 s时撤去恒力F。已知轻杆与水平方向的夹角为37°，重力加速度取g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。对于两物块从开始到停下的过程，下列说法正确的是 (　　)
图1　　　　　　　　图2
A.两物块与地面之间的动摩擦因数μ=
B.整个过程中拉力F做的功为27 J
C.0~3 s过程中，A物块的机械能增加了14.4 J
D.0~3 s过程中，A物块与地面之间因摩擦产生的热量为6.12 J
2.(多选)如图所示，水平粗糙的转盘上有个光滑的小孔S，转盘在电机的带动下做匀速圆周运动。一轻绳穿过小孔，两端各系着质量分别为2m、m的可视为质点的物块A、B，B以S正下方的点O为圆心做角速度为ω的匀速圆周运动，A恰好处于静止状态。现将质量为m的小物块C放在A上，A仍然保持静止，逐渐增大转盘的转速直到B以最大的角速度ωm做匀速圆周运动。已知重力加速度大小为g，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等。关于物块B的运动状态，下列说法正确的是 (　　)
A.ωm=ω
B.转盘角速度逐渐增加的过程中，绳的拉力对物块B始终不做功
C.转盘角速度为ω时，物块B与S点间的竖直距离为
D.转盘角速度增加到ωm时，物块B重力势能增加量为
3.如图所示，坡道滑雪中运动员从斜面自由滑到水平面直至停止，运动员与斜面、水平面间的动摩擦因数相同，空气阻力不计，其运动过程中重力的瞬时功率P与动能Ek随时间t变化的图像，重力势能Ep和机械能E随水平位移x变化的图像中，可能正确的图像是 (　　)
　　　
A B
　　　
C D
4.如图所示，截面为等腰三角形的三棱柱固定在水平地面上，左、右两斜面的倾角θ=30°。左斜面底端和右斜面顶端静止放置A、B两个小球，两小球质量分别为m和5m，它们之间用绷紧了的轻质细线相连。截面三角形的高为h，右下角地面处有黏性物质，B球落地后立即静止。两个小球可以看成质点，不计一切摩擦，重力加速度为g。某时刻同时释放两个小球，试求解下列问题：
(1)B球落地时A球的速率。
(2)若B球落地时烧断细线，此后A球上升到最高点时与地面间的距离。
(3)若细线一直连着两球，试分析说明A球落地前细线是否绷直，若没有绷直，计算A球落地时重力的瞬时功率。
参考答案
考点一
知识梳理
①转化　②转化　③做功　④转化
⑤转移
考教衔接
(1)从A到B的过程中，只有重力做功，故有mg(h1-h2)=m-m。
(2)由于mg(h1-h2)=m-m
即mgh1-mgh2=m-m
mgh1+m=mgh2+m
即E1=E2，小球的机械能守恒。
例1　B
例2　BC　解析　沿斜面的方向有mgsin 30°-Ff=ma，解得Ff=0.1mg，人和滑板减少的重力势能转化为动能和内能，A项错误；人和滑板下滑的过程中，获得的动能Ek=W合=ma=0.8mgh，B项正确；整个下滑过程中人和滑板减少的机械能ΔE=mgh-Ek=mgh-0.8mgh=0.2mgh，C项正确；整个下滑过程中克服摩擦力做的功等于人和滑板减少的机械能，所以人和滑板克服摩擦力做的功为0.2mgh，D项错误。
例3　D　解析　当游客运动到最低点时，弹性绳的伸长量最大，设弹性绳的最大伸长量为x，则弹性绳从原长到伸长x的过程中游客克服弹性绳的拉力做的功W1=·x=kx2，游客从跳台跳下到最低点速度减为0的过程中，由功能关系可知mg(L+x)-W1=0，解得x=80 m，D项正确。
例4　解答　(1)由G=m，解得Ek=mv2=。
(2)由功能关系W=Ek+Ep，解得W=+。
例5　A　解析　设斜面倾角为θ，不计摩擦力和空气阻力，由题意可知运动员在沿斜面下滑过程中，根据动能定理有Ek=mgxtan θ，即=mgtan θ，下滑过程中开始阶段倾角θ不变，Ek-x图像为一条直线；经过圆弧轨道过程中，θ先减小后增大，即图像斜率绝对值先减小后增大，A项正确。
例6　BD　解析　根据题意，由图可知，物体上升到最大高度时，机械能为30 J，则有mghm=30 J，解得m=1 kg，A项错误；根据题意，由功能关系可知，克服摩擦力做的功等于减少的机械能，则有Wf=μmgcos 37°·=50 J-30 J，解得μ=0.5，B项正确；物体上升过程中，由牛顿第二定律有μmgcos 37°+mgsin 37°=ma，解得a=10 m/s2，C项错误；根据题意，物体回到斜面底端过程中，由动能定理有-2Wf=Ek-Ek0，其中Ek0=50 J，解得Ek=10 J，D项正确。
例7　C　解析　设空气阻力f=kv，根据牛顿第二定律可得mg-kv=ma，可知雨滴由静止开始沿竖直方向下落，速度增大，加速度减小，雨滴做加速度减小的加速运动，所以v-t图像的斜率应该逐渐减小直至为0，A项错误；雨滴下落的过程，重力的瞬时功率PG==mgv，可知速度越来越大，重力势能减小得越来越快，直到重力与阻力等大，反向，速度不再变化，重力的瞬时功率不变，所以图像斜率最后增大到某个值不变，B项错误；雨滴下落的过程，合力F==mg-f=mg-kv，可知速度越来越大，合力减小，直到重力与阻力等大，反向，合力为零，所以图像斜率减小到零后不变，C项正确；雨滴下落的过程，阻力f==kv，可知速度越来越大，阻力增大，直到重力与阻力等大，反向，阻力不再变化，所以图像斜率最后增大到某个值不变，D项错误。
考点二
例8　解答　设在t时间内吹在风车上的空气的质量为m0，则m0=πd2·vt·ρ
风的动能Ek=m0v2=πd2v3tρ
根据题意有πd2v3tρ×50%×80%=mgh，则=。
例9　B　解析　上升过程中，恒力F对系统做正功，系统的机械能增加，A项错误；初始时，对重物有mg=kx1，重物上升到最大高度h的过程中，对系统由能量守恒定律有k+Fh=mgh+k(h-x1)2，解得h=x1，所以开始时弹簧的弹性势能Ep1=k=mgh，B项正确；上升过程中，当重物所受合力为零时，速度达到最大，则此时弹簧的形变量为x2，故F+kx2=mg，解得x2=x1=h，在此过程中由能量守恒定律有F(x1-x2)+k=mg(x1-x2)+m+k，上升过程中重物的最大动能E km=m=mgh，C项错误；上升到最高点过程中重物的重力所做的功WG=-mgh，根据重力势能与重力做功的关系可知，重物重力势能的增加量Ep=mgh，D项错误。
练创新试题
1.AD　解析　由图像可知，3 s后撤掉力F后整体的加速度为 m/s2，对A、B整体进行分析，由牛顿第二定律可得μ(M+m)g=(M+m)a1，解得μ=，A项正确；0~3 s，对A、B整体分析，有F-μ(M+m)g=(M+m)a2，其中a2=2 m/s2，解得F=8 N，整个过程中F做的功为Fx=8× J=72 J，B项错误；0~3 s过程中A机械能增加量即为动能的增加量，即Ekm=mv2=5.4 J，C项错误；设轻杆的拉力大小为F1，对A由牛顿第二定律得F1cos 37°-μ(mg-F1sin 37°)=ma2，解得F1=1.6 N；0~3 s过程中A与地面之间因摩擦产生的热量Q=μ(mg-F1sin 37°)x=6.12 J，D项正确。
2.AD　解析　不放C时，对A有F=μ·2mg，对B有Fsin θ=mω2Lsin θ，放上C后，B以最大的角速度ωm做匀速圆周运动时，A受到桌面的静摩擦力恰好为最大静摩擦力，则对A、C整体有F'=μ·3mg，对B有F'sin α=mLsin α，解得ωm=ω，A项正确；对B有Fsin θ=mω2Lsin θ，Fcos θ=mg，Lcos θ=h，可得h=，可知随着转盘角速度逐渐增大，物块B与S间的竖直距离减小，重力势能增加，动能也增加，机械能增加，则绳的拉力对物块B做正功，B、C两项错误；转盘角速度为ωm时，物块B与S间的竖直距离h'==h，物块B重力势能增加量为mgΔh=，D项正确。
3.D　解析　运动员在坡道上做匀加速运动，速度越来越大，重力的瞬时功率P越来越大，滑到水平面后，重力方向与速度方向垂直，重力的瞬时功率P为0，A项错误；运动员在坡道上做匀加速运动，速度越来越大，动能越来越大，B项错误；运动员在斜面上下滑过程中，重力势能随位移均匀减小，C项错误；运动员在运动过程中摩擦力做功导致机械能减少，在斜面上机械能减少量ΔE1=μmgcos θ·=μmgx，在水平面上运动，机械能减少量ΔE2=μmg(x-Lcos θ)，其中L为运动员在斜面上运动的距离，θ为斜面倾角，两运动阶段E-x图线斜率相同，运动员停止后，机械能不变，D项正确。
4.解答　(1)设B球落地时A球的速率为v0，对A、B两球组成的系统，由机械能守恒定律有5mgh-mgh=(m+5m)
解得v0=。
(2)细线烧断后，A球沿斜面向上抛出，运动到最高点时只有水平速度vx
将速度分解，有vx=v0cos 30°
设A球离开斜面上升的高度为h1
由动能定理有-mgh1=m-m
则A球在最高点时与地面间的距离H=h+h1
联立解得H=h。
(其他方法同样给分)
(3)承(2)问中，设A球上升时间为t，水平位移为x1
由匀速运动的位移时间关系有x1=vxt
竖直分速度vy=v0sin 30°=gt
解得x1=h
设最高点在地面上投影为K，如图所示，由几何关系有lDC=3lDK=3x1
作出左斜面的延长线与过C点的竖直线相交于G点，将A球运动与沿BG方向速度为v0的匀速运动比较知，A球下落到与B点等高的F点之前，轨迹在△BCG内，细线松弛。过F点作BC的平行线与地面交于M点。同理，A球轨迹必在△FNM内，则A球运动过程中，细线一直松弛
设A球落地速度为v2
由动能定理有mgh=m-m
落地时的竖直速度vy'=
因此，重力的瞬时功率P=mgvy'
联立以上各式，解得P=mg。(共46张PPT)
第4讲 功能关系 能量守恒定律
考点一 功能关系及其应用
考点二 能量守恒定律的理解和应用
考点一 功能关系及其应用
理清 知识结构
知识梳理 构建体系
1.功与能的关系
（1）功是能量①______的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化。
（2）做功的过程一定伴随着能量的②______，而且能量的转化必须通
过③______来实现。
转化
转化
做功
2.能量转化与守恒定律
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只会从一种形式
④_______为另一种形式，或者从一个物体⑤______到其他物体，而能
量的总量保持不变。
转化
转移
考教衔接 以图说法
如图，质量为 的小球从光滑曲面上滑
下。当它到达高度为的位置 时，速度的
大小为；当它继续下滑到高度为 的位置
时，速度的大小为。在由高度 滑到高
度的过程中，重力做的功为 。
（1）根据动能定理列出方程，描述小球在、 两点间动能的关系。
[答案] 从到 的过程中，只有重力做功，故有
。
（2）根据重力做功与重力势能的关系，把以上方程变形，以反映出小
球运动过程中机械能是守恒的。
[答案] 由于
即
即 ，小球的机械能守恒。
突破 考点题型
能量 功能关系 表达式
势能 重力做的功等于重力势能减少量
弹力做的功等于弹性势能减少量 电场力做的功等于电势能减少量 分子力做的功等于分子势能减少量 能量 功能关系 表达式
动能 合外力做的功等于物体动能变化量
机械能 除重力和弹力之外的其他力做的功 等于机械能变化量
续表
能量 功能关系 表达式
摩擦产生的热 力学能 （内能） 一对相互作用的滑动摩擦力做功之 和的绝对值等于产生的热力学能
续表
例1 (2024·浙江1月选考)如图所示，质量
为 的足球从水平地面上位置1被踢出后落
在位置3，在空中到达最高点2的高度为 ，
重力加速度为 ，则足球( )
B
A.从1到2动能减少 B.从1到2重力势能增加
C.从2到3动能增加 D.从2到3机械能不变
[解析] 由足球的运动轨迹可知，足球在空中运动时一定受到空气阻力作
用，则从1到2足球的重力势能增加 ，则从1到2足球的动能减少量大
于 ，A项错误，B项正确;从2到3由于空气阻力作用，足球的机械能
减小，重力势能减少，则动能增加量小于 ，C、D两项错误。
例2 （多选）滑沙是人们喜爱的游乐活动，滑沙场地的一段斜面如图所
示，其倾角为 ，设参加活动的人和滑板的总质量为 ，人和滑板从
距底端高为处的顶端沿滑道由静止开始匀加速下滑，加速度为
（ 为重力加速度大小），人和滑板可视为质点，则从顶端向下滑到底
端 的过程中，下列说法正确的是( )
BC
A.人和滑板减少的重力势能全部转化为动能
B.人和滑板获得的动能为
C.整个下滑过程中人和滑板减少的机械能为
D.人和滑板克服摩擦力做功为
[解析] 沿斜面的方向有，解得 ，人和滑
板减少的重力势能转化为动能和内能，A项错误;人和滑板下滑的过程中，
获得的动能 ，B项正确;整个下滑过程中
人和滑板减少的机械能 ，C
项正确;整个下滑过程中克服摩擦力做的功等于人和滑板减少的机械能，
所以人和滑板克服摩擦力做的功为 ，D项错误。
例3 蹦极是一项非常刺激的户外运动。如图所示，某景
区蹦极所用的弹性绳原长 ，劲度系数
，弹性绳一端固定在跳台上，另一端拴接在
游客脚踝处。已知游客的质量，重力加速度
取 ，不计弹性绳的重力和空气阻力，弹性绳始终
在弹性限度内，假设游客始终在同一竖直线上运动，则
游客无初速度地从跳台跳下后，弹性绳的最大伸长量为
( )
D
A. B. C. D.
[解析] 当游客运动到最低点时，弹性绳的伸长量最大，设弹性绳的最大
伸长量为，则弹性绳从原长到伸长 的过程中游客克服弹性绳的拉力做
的功 ，游客从跳台跳下到最低点速度减为0的过程
中，由功能关系可知，解得 ，D项正确。
例4 2024年5月3日，“嫦娥六号”发射成功。设“嫦娥六
号”的质量为，月球半径为 。以月面为零势能面，
“嫦娥六号”在高度的引力势能可表示为 ，
其中为引力常量， 为月球质量。
（1）求“嫦娥六号”在距月面高度为的圆形轨道上运行时的动能 。
解答由，解得 。
（2）至少需要对“嫦娥六号”做多少功才能使它自月面取样结束后返回
到距月面高度为 的圆形轨道上？（忽略月球自转）
[答案] 由功能关系，解得 。
强化 学科思维
六种常见能量图像的理解与认知
图像 含义 图线切线的斜率（绝对值）的物理意义
图像 含义 图线切线的斜率（绝对值）的物理意义
续表
例5 (2022·江苏高考)某滑雪赛道如图所示，滑雪运
动员从静止开始沿斜面下滑，经圆弧滑道起跳。将
运动员视为质点，不计摩擦力及空气阻力，此过程
A
A. B. C. D.
中，运动员的动能与水平位移 的关系图像正确的是( )
[解析] 设斜面倾角为 ，不计摩擦力和空气阻力，由题意可知运动员
在沿斜面下滑过程中，根据动能定理有 ，即
，下滑过程中开始阶段倾角 不变， 图像为一条直
线;经过圆弧轨道过程中， 先减小后增大，即图像斜率绝对值先减小
后增大，A项正确。
例6 （多选）如图1所示，物体以一定初速度从倾角 的固定斜
面底端沿斜面向上运动，上升的最大高度为 。选择地面为参考平
面，上升过程中，物体的机械能随高度的变化如图2所示。 取
， ，则下列说法正确的是( )
BD
A.物体的质量
B.物体与斜面间的动摩擦因数
C.物体上升过程的加速度大小
D.物体回到斜面底端时的动能
[解析] 根据题意，由图可知，物体上升到最大高度时，机械能为 ，
则有，解得 ，A项错误;根据题意，由功能关系可
知，克服摩擦力做的功等于减少的机械能，则有
，解得 ，B项正确;物体上
升过程中，由牛顿第二定律有 ，解得
，C项错误;根据题意，物体回到斜面底端过程中，由动能
定理有，其中，解得 ，D项正确。
例7 雨滴在高空形成后，由静止开始沿竖直方向下落，雨滴受到空气阻
力的大小与雨滴的速度大小成正比。设下落过程中雨滴的质量不变，雨
滴下落过程中，下列关于雨滴的速度、重力势能、动能 、机械能
与时间或位移 变化的图像，可能正确的是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 设空气阻力，根据牛顿第二定律可得 ，可
知雨滴由静止开始沿竖直方向下落，速度增大，加速度减小，雨滴做加
速度减小的加速运动，所以 图像的斜率应该逐渐减小直至为0，A
项错误;雨滴下落的过程，重力的瞬时功率 ，可知速度
越来越大，重力势能减小得越来越快，直到重力与阻力等大，反向，速
度不再变化，重力的瞬时功率不变，所以图像斜率最后增大到某个值不
变，B项错误;雨滴下落的过程，合力 ，可
知速度越来越大，合力减小，直到重力与阻力等大，反向，合力为零，
所以图像斜率减小到零后不变，C项正确;雨滴下落的过程，阻力
，可知速度越来越大，阻力增大，直到重力与阻力等大，
反向，阻力不再变化，所以图像斜率最后增大到某个值不变，D项错误。
考点二 能量守恒定律的理解和应用
1.对能量守恒定律的两点理解
（1）某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量
和增加量一定相等。
（2）某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量
和增加量一定相等。
2.应用能量守恒定律解题的基本步骤
（1）分清有多少种形式的能（如动能、重力势能、弹性势能、内能、
电能等）在变化。
（2）分别列出减少的能量和增加的能量 的表达式。
（3）列恒等式： 。
例8 风沿水平方向以速度垂直吹向一直径为 的风车叶轮上，设空气密
度为 ，风的动能有 转化为风车的动能，风车带动水车将水提高到
的高度，效率为，重力加速度为 ，求单位时间内最多可提升的水
的质量 。
解答 设在时间内吹在风车上的空气的质量为 ，则
风的动能
根据题意有，则 。
例9 如图所示，轻弹簧一端悬挂在横杆上，另一端连接质量为 的重物，
弹簧和重物组成的系统处于静止状态。某时刻在重物上施加一方向竖直
向上、大小的恒力，重物上升的最大高度为 ，已知弹簧的弹
性势能表达式为（为弹簧形变量），重力加速度为 ，则( )
B
A.上升过程中系统机械能守恒
B.开始时弹簧的弹性势能为
C.上升过程中重物的最大动能为
D.上升到最高点过程中重物的重力势能增加了
[解析] 上升过程中，恒力 对系统做正功，系统的机械能增加，A项错
误;初始时，对重物有，重物上升到最大高度 的过程中，对系
统由能量守恒定律有，解得 ，所
以开始时弹簧的弹性势能 ，B项正确;上升过程中，
当重物所受合力为零时，速度达到最大，则此时弹簧的形变量为 ，故
，解得 ，在此过程中由能量守恒定律有
，上升过程中重物的
最大动能 ，C项错误;上升到最高点过程中重物的
重力所做的功 ，根据重力势能与重力做功的关系可知，重
物重力势能的增加量 ，D项错误。
练创新试题 知命题导向
1. （多选）如图1所示，质
量分别为和 的
、 物块（相同材料）用轻杆通过铰
链连接起来，放置在水平面上，给 施
加水平恒力 ，使二者一起沿水平面由静止开始做匀加速直线运动。已
知两物块的图像如图2所示，时撤去恒力 。已知轻杆与水平方
向的夹角为 ，重力加速度取， ，
。对于两物块从开始到停下的过程，下列说法正确的是
( )
A.两物块与地面之间的动摩擦因数
B.整个过程中拉力做的功为
C.过程中，物块的机械能增加了
D.过程中，物块与地面之间因摩擦产生的热量为
√
√
[解析] 由图像可知，后撤掉力后整体的加速度为,对、 整
体进行分析，由牛顿第二定律可得 ，解得
，A项正确;，对、 整体分析，有
,其中，解得 ，整个过
程中做的功为，B项错误;过程中 机械能
增加量即为动能的增加量，即 ,C项错误;设轻杆的拉
力大小为，对 由牛顿第二定律得
，解得,过程中
与地面之间因摩擦产生的热量 ，D项正
确。
2. （多选）如图所示，水平粗糙的转盘上有个
光滑的小孔 ，转盘在电机的带动下做匀速圆周运动。一
轻绳穿过小孔，两端各系着质量分别为、 的可视为质
点的物块、，以正下方的点为圆心做角速度为 的匀速圆周运
动，恰好处于静止状态。现将质量为的小物块放在上， 仍然保
持静止，逐渐增大转盘的转速直到以最大的角速度 做匀速圆周运动。
已知重力加速度大小为 ，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等。关于
物块 的运动状态，下列说法正确的是( )
A.
B.转盘角速度逐渐增加的过程中，绳的拉力对物块 始终不做功
C.转盘角速度为 时，物块与点间的竖直距离为
D.转盘角速度增加到时，物块重力势能增加量为
√
√
[解析] 不放时，对有，对有 ，放
上后，以最大的角速度做匀速圆周运动时， 受到桌面的静摩擦
力恰好为最大静摩擦力，则对、整体有，对 有
，解得 ，A项正确;对 有
，，，可得 ，可知随
着转盘角速度逐渐增大，物块与 间的竖直距离减小，重力势能增加，
动能也增加，机械能增加，则绳的拉力对物块 做正功，B、C两项错误;
转盘角速度为时，物块与间的竖直距离，物块 重力
势能增加量为 ，D项正确。
3. 如图所示，坡道滑雪中运动员从斜面自由滑到
水平面直至停止，运动员与斜面、水平面间的动摩擦因
数相同，空气阻力不计，其运动过程中重力的瞬时功率
D
A. B. C. D.
与动能随时间变化的图像，重力势能和机械能随水平位移 变化
的图像中，可能正确的图像是( )
[解析] 运动员在坡道上做匀加速运动，速度越来越大，重力的瞬时功率
越来越大，滑到水平面后，重力方向与速度方向垂直，重力的瞬时功
率 为0，A项错误;运动员在坡道上做匀加速运动，速度越来越大，动能
越来越大，B项错误;运动员在斜面上下滑过程中，重力势能随位移均匀
减小，C项错误;运动员在运动过程中摩擦力做功导致机械能减少，在斜
面上机械能减少量 ，在水平面上运动，
机械能减少量，其中 为运动员在斜面上运动的
距离， 为斜面倾角，两运动阶段 图线斜率相同，运动员停止后，
机械能不变，D项正确。
4. 如图所示，截面为等腰三角
形的三棱柱固定在水平地面上，左、右两
斜面的倾角 。左斜面底端和右斜
面顶端静止放置、两个小球，两小球质量分别为和 ，它们之间
用绷紧了的轻质细线相连。截面三角形的高为 ，右下角地面处有黏性
物质， 球落地后立即静止。两个小球可以看成质点，不计一切摩擦，
重力加速度为 。某时刻同时释放两个小球，试求解下列问题：
（1）球落地时 球的速率。
解答 设球落地时球的速率为，对、 两球组成的系统，由
机械能守恒定律有
解得 。
（2）若球落地时烧断细线，此后 球上升到最高点时与地面间的距离。
[答案] 细线烧断后， 球沿斜面向上抛出，运动到最高点时只有水平速
度
将速度分解，有
设球离开斜面上升的高度为
由动能定理有
则球在最高点时与地面间的距离
联立解得 。
（其他方法同样给分）
（3）若细线一直连着两球，试分析说明 球落地前细线是否绷直，若没
有绷直，计算 球落地时重力的瞬时功率。
[答案] 承（2）问中，设球上升时间为，水平位移为
由匀速运动的位移时间关系有
竖直分速度
解得
设最高点在地面上投影为 ，如图所示，
由几何关系有
作出左斜面的延长线与过 点的竖直线
相交于点，将球运动与沿 方向速
设球落地速度为
度为的匀速运动比较知，球下落到与点等高的 点之前，轨迹在
内，细线松弛。过点作的平行线与地面交于点。同理，
球轨迹必在内，则 球运动过程中，细线一直松弛
由动能定理有
落地时的竖直速度
因此，重力的瞬时功率
联立以上各式，解得 。

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