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2024-2025学年贵州省六盘水市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.复数满足，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，满足，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若，则( )
A. B. C. D.
7.将辆车停放到个并排车位上，由于甲车的车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与甲车相邻停放，则不同的停放方法种数为( )
A. B. C. D.
8.已知数列满足，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线，和平面，，下列说法中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，，则
C. 若，，则 D. 若，，，则
10.下列说法中正确的是( )
A. 样本数据，，，，，，，的下四分位数为
B. 的展开式中所有项的系数和与二项式系数和相等
C. 已知随机变量，若，则
D. 成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数的值越接近于
11.定义在区间上的函数满足，，且对任意的，都有，则( )
A.
B.
C. 不等式在区间上恒成立
D. 若，都有，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.记等差数列的前项和为，已知，，则的公差为______．
13.椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块，，它们可分别在横槽和纵槽中滑动，在直尺上的点处用套管装上铅笔，使直尺转动一周就画出一个椭圆现以横槽和纵槽所在直线分别为轴和轴建立直角坐标系，若，是的中点，则的轨迹方程为______．
14.理想状态下，在一个底面直径和高均为的圆柱形石材中，挖去一个半径为的球体后，剩余石材最多还能打磨出______个体积最大的小球参考数据：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了解高中学生数学成绩与物理成绩的关联性，现从某高中学校抽取人，得到如下信息：数学成绩与物理成绩都优秀的有人，都不优秀的有人．
依据上述信息完善如表列联表，并根据小概率的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联；
数学成绩 物理成绩 合计
优秀 不优秀
优秀
不优秀
合计
从数学成绩优秀的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取人，若从这人中随机抽人、记为物理成绩优秀的学生人数，求的分布列及数学期望．
附：，．
16.本小题分
设函数．
求的定义域，并证明：；
讨论的单调性，并比较与的大小．
17.本小题分
如图，在长方体中，，，，分别在，上，且．
求证：平面平面；
若是的中点，三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
在中，记内角，，所对的边分别为，，，已知且．
求；
求的最大值；
若的角平分线交于点，求的取值范围．
19.本小题分
如图，抛物线：上纵坐标为的点到焦点的距离为，点，是上的两点，且．
求的方程；
过线段的中点作轴的垂线交于点，过线段的中点作轴的垂线交于点，过线段的中点作轴的垂线交于点，，依此操作次，记的面积为．
求的面积；
证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为数学成绩与物理成绩都优秀的有人，都不优秀的有人，
补全列联表如下：
数学成绩 物理成绩 合计
优秀 不优秀
优秀
不优秀
合计
零假设：数学成绩与物理成绩无关联，
此时，
所以根据小概率的独立性检验，没有充分依据推断成立，即推断不成立，
则根据小概率的独立性检验，认为数学成绩与物理成绩有关联；
由可得从数学成绩优秀的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取人，
此时物理成绩优秀的学生有人，物理成绩不优秀的有人，
所以的所有可能取值为，，，
此时，
则的分布列为：
故．
16.证明：由于中，中，综合可得得定义域为，
；
由于函数，
令导函数，即，因此，所以，
当时，，，，所以，因此导函数，
当时，，，，所以，因此导函数，
所以函数在上单调递增；在上单调递减，
由于，且函数在上单调递增．
所以，又因为，所以，所以．
17.证明：如图，以点为坐标原点，直线，，所在方向分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
因为，所以，
因为平面，平面，所以，
又，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面面C.
因为，
所以，
解得，
所以，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，则，即，
令，得，
所以，
易得平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则．
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：由，
由正弦定理得，，
所以，而，
所以．
由，，
所以，
当且仅当时取等号．
所以，
所以的最大值为．
，即，
所以，
由，得，
所以，
由，令
设，则，
所以在上单调递增，
所以，即，
所以的取值范围为．
19.易知抛物线的准线为，
因为抛物线上纵坐标为的点到焦点的距离为，
所以，
解得，
即抛物线方程为；
由得抛物线方程为，
即，
即，，
则，
即点的横坐标为，纵坐标为，
可得，
所以，
则三角形面积；
证明：设，与线段的交点为，
则，，
即，，
又，
即，，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
即，
则，
可得，
又．
则．
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