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2024-2025学年山东省德州市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知是角终边上一点，则( )
A. B. C. D.
3.在某次模拟考试后，数学老师随机抽取了名同学的第一个解答题的得分，得分为：，，，，，，，，阅这组数据的分位数是( )
A. B. C. D.
4.在正方体中，，分别是，的中点，则直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
6.某次物理竞赛，得分在的有人，他们的平均分为，方差为得分在的有人，他们的平均分为，方差为，则得分在的平均分与方差为( )
参考公式：总体分为层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：
记总的样本平均数为，样本方差为，则．
A. ， B. ， C. ， D. ，
7.若，则( )
A. B. C. D.
8.已知一个圆锥的侧面展开图是个半圆，利用斜二测画法画此圆锥时，直观图的底面曲线中心在原点，底面曲线与轴、轴正半轴分别交于，两点，已知面积为若圆锥被平行于底面的平面所截，截去一个底面半径为的圆锥，则所得圆台的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C. 关于点对称
D. 的一条对称轴为直线
10.复数其中为虚数单位，，则( )
A.
B. 的最大值为
C. 当时，复数对应的点在第四象限
D. 当时，是实系数方程的一个虚数根，则
11.如图，在棱长为的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点，是线段上的动点，则( )
A. 存在点，使平面
B. 与为异面直线
C. 线段的最小值是
D. 经过，，，四点的球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，，若，则实数______．
13.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，先投中者获胜，一直到有人获胜或者每人都已投球次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响若甲先投，则甲获胜的概率为______．
14.已知中，，，将顶点绕棱旋转到，当时，三棱锥的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某中学为研究本校高一学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了位同学的数学成绩作为样本，得到以，，，，，分组的样本频率分布直方图，如图所示．
求直方图中的值，并估计本次联考该校数学成绩的中位数；
现在从分数在和的学生中采用分层随机抽样的方法共抽取人，再从这人中随机抽取人，求抽取的两人恰好一人分数在内，另一人分数在内的概率．
16.本小题分
如图在三棱锥中，底面，，，，是的中点．
求三棱锥的表面积；
求二面角的平面角的正弦值．
17.本小题分
已知直三棱柱，，，分别是边，的中点．
证明：平面；
若三棱锥体积为，且，设与平面形成的线面角为，求的最大值．
18.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，，，．
求；
已知，．
若，求的值；
若为的外接圆的圆心，且，求的面积．
19.本小题分
甲、乙两人玩掷骰子游戏，由甲先掷一次骰子，记向上的点数为，接下来甲有种选择：
甲直接结束掷骰子，换由乙掷骰子一次，向上的点数记为，若，则乙赢，否则甲羸，游戏结束；
甲再掷一次骰子，向上的点数记为，若，则乙赢，游戏结束；
若，甲结束掷骰子，换由乙掷骰子一次，向上的点数记为，若，则乙赢，否则甲赢，游戏结束．
问：若甲只掷骰子次，求甲赢的概率；
若甲掷骰子次，求甲赢的概率；
当甲第一次掷骰子向上的点数为多少时，甲选择赢得游戏的概率更大？
参考答案
1.
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4.
5.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由频率分布直方图可得，
解得，
本次联考该校数学成绩在的频率为，
在的频率为，
在的频率为，
因为，，
所以中位数在之间，设为，
则，
解得，
所以本次联考该校数学成绩的中位数为；
成绩在的人数与成绩在的频率的人数之比为：，
抽取的人中成绩在的有人，成绩在的频率的有人，
假设成绩在的人分别记为，，成绩在的人分别记为，，，随机抽取两人的样本空间为：
，，，，，，共个，
两人中恰好一人分数在内，另一人在内包含：
共个，
所以．
16.因为平面，平面，
，
所以，
又因为，，，面，
所以面．
又面，所以，
又因为平面，平面，
故，
即，
所以，
所以，，
所以三棱锥的表面积；
取中点，取中点，连接，，．
由知，
因为是的中点，
所以在中，，
又，
在中，，
所以，
所以，
又因为，，
所以，
又因为面面，
所以为二面角的平面角．
在中，，
所以．
即二面角的平面角的正弦值为．
17.证明：取中点，连接，，
则为中位线，
所以，
又，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
由题可知，，．
所以面，
因为三棱锥即三棱锥，
所以，
所以，即，
连接，则为与平面所成的角，且，
，
由均值不等式，
所以，当且仅当时等式成立，
故的最大值为．
18.根据题意可知，，得，
，
根据正弦定理得，
故，
，
，，，整理得，
又，；
根据题意可知，，则，
得，
，，，即，
，
即，
根据题意可知，，根据三角形面积公式，则，从而，
；
令边，的中点分别为，，根据题意可知，点为的外接圆圆心，
得，，
，
，
，
即，
又，
联立方程组，解得舍或，
．
19.如果甲只掷骰子次，甲赢的情况如下，
如果甲掷出向上的点数为，乙掷出向上的点数为，此时有种情况，
如果甲掷出向上的点数为，乙掷出向上的点数为、，此时有种情况，
如果甲掷出向上的数点为，乙掷出向上的点数为、、，此时有种情况，
依此类推，甲赢的情况共有种，
根据古典概型概率公式，
将，代入公式，可得甲赢的概率，
综上，如果甲只掷骰子次，甲赢的概率为；
如果甲掷骰子次，甲赢的情况如下，
甲第次掷骰子向上的点数为，
如果第次掷骰子向上的点数为，乙掷骰子向上的点数为，，此时有种情况，
如果第次掷骰子向上的点数为，乙掷骰子向上的点数为、、，此时有种情况，
依此类推
如果第次掷骰子向上的点数为，乙掷骰子向上的点数为、、、、、，此时有种情况，
以上有种情况，
甲第次掷骰子向上的点数为，
如果第次掷骰子向上的点数为，乙掷骰子向上的点数为、、，此时有种情况，
如果第次掷骰子向上的点数为，乙掷骰子向上的点数为、、、，此时有种情况，
如果第次掷骰子向上的点数为，乙掷骰子向上的点数为、、、、，此时有种情况，
如果第次掷骰子向上的点数为，乙掷骰子向上的点数为、、、、、，此时有种情况，
以上有种情况，
依此类推，甲第次掷骰子向上的点数为时，甲赢的情况有种，
如果甲第次掷骰子向上的点数为时，甲赢的情况有种，
如果甲第次掷骰子向上的点数为时，甲赢的情况有种，
甲赢的情况的总数为，
故甲赢的概率为；
当甲第一次掷骰子向上的点数为时，
如果甲选择，则乙掷骰子向上的点数为、、、、，共种，
而乙掷骰子向上的点数共种情况，则甲赢的概率．
如果甲选择，则甲第二次掷骰子向上的点数为、、、，共种，
如果甲第二次掷骰子向上的点数为时，则乙掷骰子向上的点数为、、、、，共种，
如果甲第二次掷骰子向上的点数为时，则乙掷骰子向上的点数为、、、、，共种，
，
如果甲第二次掷骰子向上的点数为时，则乙掷骰子向上的点数为、、、、、，共种，
因此，甲赢的情况的总数为，
而甲第二次、乙掷骰子的可能情况各为种，则甲赢的概率
，
令，即，化简得，解得，
因为，且，因此或或或，
综上，当甲掷骰子向上的点数为或或或时，甲选择赢得游戏的概率更大．
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