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2024-2025学年陕西省渭南市韩城市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.设向量，的夹角为，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.如图，水平放置的的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么的面积是( )
A. B.
C. D.
5.已知是三角形的一个内角，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
6.已知、是平面内的两条直线，则“直线且”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，，则球的体积为( )
A. B. C. D.
8.司马迁是我国西汉伟大的史学家、文学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内某学习小组开展数学建模活动，欲测量司马迁雕像的高度如图，选取与司马迁雕像底部同一水平面内的三个共线的测量基点，，，且在，，处测得雕像顶端的仰角分别为，，，米，则司马迁雕像高度为( )
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若向量，则( )
A. B.
C. D. 在方向上的投影向量是
10.已知函数在处取得最大值，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 的图象关于点中心对称 D. 在区间上单调递增
11.在长方体中，已知，，，分别为，的中点，则( )
A. 平面
B. 异面直线与夹角的余弦值为
C. 三棱锥的体积为
D. 若点为长方形内一点含边界，且平面，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ______．
13.某同学做了一个木制陀螺，该陀螺由两个底面重合的圆锥组成已知该陀螺上、下两个圆锥的体积之比为：上面圆锥的高与其底面半径相等，则上、下两个圆锥的母线长之比为______．
14.在中，为边的中点，为边上的点，，交于点若，则的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数．
若复数为纯虚数，求实数的值；
若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知．
求的值；
若为第四象限角，求的值．
17.本小题分
已知直线和是图象的两条相邻的对称轴．
求的解析式；
将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象若在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
求；
若边上的高为，且的周长为，求的面积．
19.本小题分
已知在四棱锥中，侧面平面，，，，，分别是，的中点．
证明：平面；
求二面角的大小．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：若复数为纯虚数，则且，解得；
因为复数在复平面内对应的点在第二象限，
所以，解得，可得．
所以实数的取值范围为．
16.因为，
所以，
即，
解得或．
因为为第四象限角，
所以，
又，，
又因为，
所以，，
则．
17.由题意得的最小正周期，
根据，解得，
根据是图象的一条对称轴，可得，，
结合，解得，所以；
将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，
可得到函数的图象，所以，
当时，，
因为在区间上恰有两个零点，
所以，解得，实数的取值范围为．
18.利用正弦定理化简已知等式可得，
可得，
又，，
可得，
可得；
由于边上的高为，，
可得，可得，
又由于的周长为，可得，
可得，
所以，解得，
可得．
19.证明：在四棱锥中，连接交于点，
因为，为的中点，所以，
因为且，所以为，的中点，
又为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面．
因为，为的中点，所以，
又侧面平面，侧面平面，平面，
所以平面，
连接，取的中点，连接、，所以，
因为且，所以，又，
所以，所以，
因为为的中点，所以，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，且，平面，
所以平面，所以，
所以为二面角的平面角，
因为，
所以，，，
所以在直角中，，
所以二面角的大小为．
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