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2024-2025 学年辽宁省县域重点高中高二下学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题 : ∈ Q，3 e < 0，则命题 的否定是( )
A. Q，3 e < 0 B. ∈ Q，3 e ≥ 0
C. ∈ ，3 e ≥ 0 D. ∈ Q，
3 e < 0
2.在等比数列 中，若 6 = 3 24，则 2 =( )
A. 3 B. 2 C. 1 12 D. 3
3.为了解是否喜欢羽毛球运动与性别的关系，某数学兴趣小组经统计得到如下数据，若要使是否喜欢羽毛

球运动与性别无关的可能性最大，则 =( )
羽毛球
性别
喜欢不喜欢

女生
男生 50 100
2 = ( )
2
附： ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
A. 4 B. 2 C. 1 D. 12
1
4.已知函数 ( ) = , > 0,则 ( ) = 是 = 1 的( )
3 2, ≤ 0,
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5 1.已知正数 ， 满足 + = 3，则 +
9
+1的最小值为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
2
1 + 6.已知函数 ( ) = ( > 0 且 ≠ 1)在区间(2, + ∞)上单调递增，则 的取值范围为( )
A. (1,4] B. (1,4) C. (1,2] D. 12 , 1
7.志愿者甲参加第 21 届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率
1 1 1 4 3 2
分别为4，4，2，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为5，4，3 .若某一天甲按时
到达文博会，则他骑共享单车的概率为( )
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A. 173 B. 93 80 1240 173 C. 173 D. 3
8.已知 = ln 8， = etan
1 5
π
3 ， = 4，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 是等差数列 的前 项和， 1 = 10 = 10，则下列说法正确的是( )
A. 的公差为 2 B. = 12 2
C. 数列 为递增数列 D.当且仅当 = 6 时， 取得最大值
10.为了解某种药物的疗效，患者服用该药物，短时间内血液中药物浓度达到峰值 150mg/L，研究员统计了
( mg血液中药物浓度 单位： L )与代谢时间 (单位：h)的数据，如下表所示：
h
0 1 2 3 4 5 6
mg
L 150 143 132 123 114 104 95
根据表中数据可得回归方程为 = 9.32 + ，则下列说法正确的是( )

附：回归直线 = + 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 = =1
=1 2
， = ，相关系

数 = =1 ．
2 =1 =1 2
A. = 150.96
B.当 = 4 时，对应样本点的残差为 0.32
C.若再增加一组数据(3,123)，则 关于 的回归直线的斜率变大
D.若删去数据(3,123)，则 与 的相关系数不变
11.已知函数 ( )的定义域为 R，且 ( )的图象是一条连续不断的曲线，对 ， ∈ R 都有：① (2 ) = ( )，
②当 0 < < < 1 ( ) ( ) + 时， > 0，③当 ≠ 1 时， ( ) + ( ) = 1 ，则( )
A. ( + 2)为偶函数 B. ( )为奇函数
C. ( )在( 1,1)上单调递增 D. 252 >
29
4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知集合 = 4 < < 3 ， = 2 4 < < + 5 ，若 ，则 的取值范围为 ．
13.设 1， 2分别是函数 ( ) = e ， ( ) =
4 的零点，则 1 4 2的最大值为 ．
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14.甲、乙玩报数游戏，约定规则如下：甲、乙轮换报数，若一人报出的正整数 ( > 1)为奇数，则另一人

报出的数为 3 + 1；若一人报出的正整数 为偶数，则另一人报出的数为2；当一人报出的数为 1 时，游
戏结束．已知由甲先报数，且报出的正整数为 ( > 1).若 = 40，则游戏结束时，甲报出数字的次数为 ；
若游戏结束时，甲、乙共报数 9 次，则正整数 所有可能的取值之和为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = (3 2)e ．
(1)求曲线 = ( )在 = 0 处的切线方程；
(2)求 ( )的极值．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = log 42 2 + 1 的图象关于直线 = 2 对称．
(1)求 的值；
(2)若关于 的方程 2 + 4 = 3 ( )有解，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
某校组织了“ 人工智能”知识竞赛(满分 100 分)，经统计参赛同学的成绩 (单位：分)近似服从正态分布
, 2 ，已知 ( < 70) = ( > 90) = 16．
(1)从参赛同学中随机抽取 3 人，设 表示这 3 人中成绩在[70,90]内的人数，求 的分布列和方差；
(2)该校为调动学生参赛的积极性，设置两种抽奖方案：
1 1 1
方案一：参赛同学只能抽奖 1 次，抽奖获得价值 150 元、100 元、10 元的学习用品的概率分别为4，2，4；
方案二：参赛同学的成绩低于 只能抽奖 1 次，不低于 的抽奖 2 次，每次抽奖获得价值 100 元、40 元的
3 1
学习用品的概率分别为4，4．
请分析参赛同学采用哪种方案获得学习用品价值金额的期望较大
18.(本小题 17 分)
已知数列 满足 1 = 2，且 +1 + = 4 × 3 ．
(1)求 2， 3， 4；
(2)求数列 的通项公式；
(3)设 = ，求数列 的前 项和 ．
19.(本小题 17 分)
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对于给定函数 ( )， ( )， ′( )， ′( )分别是 ( )， ( )的导函数，当 0 = 0， 0 = 0 时，根据
′
洛必达法则知 lim ( ) ( ) ( ) = lim ′ .已知函数 ( ) = + sin ， ( ) =
2．
→ 0 → 0 ( )
(1)当 = 1 lim ( )时，求
→0 ( )
的值；
(2)设函数 ( ) = ( ) ( ) + 2sin ，若不等式 ( ) ≥ 0 在 0, π 上恒成立．
( )求 的取值范围；
( )证明： ∈ ， 1 1 =1 cos 2 < 6．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.[ 2,0]
13. ln2 14
14.5
；344
15.【详解】(1)由已知 ( ) = (3 2)e ，
则 ′( ) = 3e + (3 2)e = (3 + 1)e ，
则 ′(0) = 1，且 (0) = 2，
所以切线方程为 + 2 = 1( 0)，
即 2 = 0；
(2)由(1)知 ′( ) = (3 + 1)e ，
< 1所以当 3时，
′( ) < 0 1，当 > 3时，
′( ) > 0，
所以 ( )在 ∞, 1 13 上单调递减，在 3 , + ∞ 上单调递增，
1 1
故 ( )的极小值为 3 = 3e
3，无极大值．
16.【详解】(1)解：(1)由题意可知 (0) = (4)，则log 42 2 + 1 0 = log 24 42 + 1 4，
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化简得，log 2 4 + 1 0 = log 24 42 2 + 1 log 242 ，
4 4
∴ log 2 4 + 1 = log 2 +1 2 4 + 1 = 2
4 4+1
2 2 24 ，则 24 ，解得 = 2．
当 = 2 时， ( ) = log2 22 4 + 1 = log 2 42 + 2 ，显然满足 ( ) = (4 )，
即函数 ( )的图象关于直线 = 2 对称，
故 = 2．
(2)(2)由(1)可知 ( ) = log 2 4 + 2 2 ，
1
又2 4 + 2 ≥ 2 2 4 2 = 2，当且仅当 4 = ，即 = 2 时取得等号，
根据对数函数的单调性可知 ( )min = (2) = log
1
2 2 = 1，
关于 的方程 2 + 4 = 3 ( )有解，∴ 2 + 4 ≥ 3 ( )min，
即 2 + 4 + 3 ≥ 0，解得 ≥ 1 或 ≤ 3，
故 的取值范围为 ∞, 3 ∪ 1, + ∞ ．
17. 1【详解】(1)由 ( < 70) = ( > 90) = 6，
2
可知 (70 ≤ ≤ 90) = 1 ( < 70) ( > 90) = 3，
2
由题意可知 的取值范围是 0,1,2,3 ，且 3, 3 ，
3
则 ( = 0) = C0 2 13 × 1 3 = 27，
2
( = 1) = C1 × 2 × 1 2 23 3 3 = 9，
2
( = 2) = C23 ×
2 2 4
3 × 1 3 = 9，
3
( = 3) = C3 × 2 = 83 3 27，
所以 的分布列为
0 1 2 3
1 2 4 8
27 9 9 27
则 ( ) = (1 ) = 3 × 2 1 23 × 3 = 3．
(2) 1 1 1若采用方案一，获得学习用品价值金额的期望为 150 × 4 + 100 × 2+ 10 × 4 = 90 元．
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若采用方案二，当成绩低于 时，获得学习用品价值金额的期望为 100 × 34 + 40 ×
1
4 = 85 元；
当成绩不低于 时，设获得学习用品价值金额为 ，则 的取值范围为 80,140,200 ，
( = 80) = 1 1 14 × 4 = 16， ( = 140) = C
1 3 1 3
2 × 4 × 4 = 8， ( = 200) =
3
4 ×
3 9
4 = 16 ,
1 3 9
所以获得学习用品价值金额的期望为 80 × 16 + 140 × 8 + 200 × 16 = 170 元．
综上，若成绩低于 ，采用方案一获得学习用品价值金额的期望较大；若成绩不低于 ，采用方案二获得学
习用品价值金额的期望较大
18.【详解】(1)由 +1 + = 4 × 3 ，则 +1 = 4 × 3 ，
又 1 = 2，
得 2 = 4 × 3 1 = 10，
3 = 4 × 32 2 = 26，
4 = 4 × 33 3 = 82．
(2)由 +1 + = 4 × 3 ，
得 +1 +1 + 3 = 3 = + 3 ，

所以 +1
+3 +1
+3 = 1，
又 1 + 3 = 1，
所以 + 3 是以 1 为首项， 1 为公比的等比数列，
所以 + 3 = ( 1) 1，
故 = ( 1) 1 3 ．
(3)由(2)得 1 = = ( 1) × 3 ，
所以 = 1 2+ 3 4 + + ( 1) 1 1 × 3 + 2 × 32 + + × 3 ．
设 = 1 × 3 + 2 × 32 + + × 3 ，①
则 3 = 1 × 32 + 2 × 33 + + × 3 +1 ，②

由① ②得 2 = 3 + 32 + 33 + + 3 × 3 +1 =
3 1 3 +1 2 1 +1 3
1 3 × 3 = 2 × 3 2 ,
则 =
2 1 × 3 +14 +
3
4，
当 为奇数时，
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= 1 + 1 × 3 + 2 × 32 + + × 3 = +1 2 1 × 3 +1 3 = (2 1) 1 3
+1
2 2 4 4 4 ；
当 为偶数时，
= 2 1 × 3 + 2 × 3
2 + + × 3 = 2 1 × 3 +1 3 = 2 +3 2 1 +12 4 4 4 4 × 3 ，
(2 1) 1 3 +1 , 为奇数,
故 = 4
2 +3 2 14 4 × 3
+1, 为偶数.
19.【详解】(1)解法一：根据洛必达法则可知
( ) 2 1 1
lim ( ) = lim + sin = lim + sin = lim = . →0 →0 →0 →01+ cos 2
解法二：根据洛必达法则可知
( ) 2 2 2 1
lim
→0 ( ) = lim →0 + sin = lim →02 + sin + cos = lim →02+ 2cos sin = 2 .
(2)( )由题意可知不等式 ( ) = 3 + sin ≥ 0 在 0, π 上恒成立，
当 0 < < π sin 时，不等式可化为 ≥ 3 恒成立．
( ) = sin 令 3 ，则
′( ) = 3sin cos 2 4 ，
令 ( ) = 3sin cos 2 ，则 ′( ) = 2cos + sin 2，
设 ( ) = 2cos + sin 2，则 ′( ) = sin + cos ，
设 ( ) = sin + cos ，则 ′( ) = sin ．
因为 0 < < π，所以 ′( ) < 0，则 ( )在 0, π 上单调递减，所以 ( ) < (0) = 0，即 ′( ) < 0，
所以 ( )在 0, π 上单调递减，所以 ( ) < (0) = 0，即 ′( ) < 0，所以 ( )在 0, π 上单调递减，
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所以 ( ) < (0) = 0，即 ′( ) < 0，
所以 ( )在 0, π 上单调递减，所以 ( ) < lim ( )．
→0
lim ( ) = lim sin = lim1 cos = limsin cos 1根据洛必达法则可知
→0 →0 3 →0 3 2 →0 6
= lim 6 = 6 , →0
所以 ≥ 16，
1
故 的取值范围为 6 , + ∞ ．
( )证明：当 = 16时， ( ) =
1 3 ′ 1 2
6 + sin ， ( ) = 2 1 + cos ,
设 ( ) = 1 2 ′2 1 + cos ，则 ( ) = sin ，
设 ( ) = sin ，则 ′( ) = 1 cos ≥ 0，所以 ( )在[0, + ∞)上单调递增，
则 ( ) ≥ (0) = 0，即 ′( ) ≥ 0 ( ) ≥ (0) = 0 1 cos ≤ 1，所以 ，即 2
2，
当且仅当 = 0 时取得等号．
令 = 1 1 1 1 1 1 12 ， ∈
，则 1 cos 21 < 23，1 cos 22 < 25， ，1 cos 2 < 22 +1 ,
将上面 个式子相加得
1 1 2
8 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1
cos <2 23
+ 5 + + 2 +1 = 2 = 6 1 2 < 6 ,2 2
=1 1 12
故 ∈ 1 1， =1 cos 2 < 6．
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