资源简介

1.2.1必要条件与充分条件
基础巩固
充分条件与必要条件
一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q. 由p可以推出q，记作 ，则p是q的 条件，q是p的 条件. 如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作 ，p不是q的 条件，q不是p的 条件.
充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是 ，即既有，又有，就记作 . 此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，则p是q的
条件，简称为充要条件，显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件. 概括地说，如果，那么p与q互为 条件.
拔高提升
1.已知,,,则q是p的( )
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知，则“”是“”( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知,,则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.设；，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C.或 D.或
5.“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.充要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
6.设命题,,则p是q的_______条件( )
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充分必要 D.既不充分也不必要
7.下面四个条件中，使成立的充分不必要的条件是( )
A. B. C. D.
8.二次函数的图象与x轴没有交点的充要条件是( )
A. B.
C. D.，
9.设全集,集合,非空集合,其中.若“”是“”的必要条件,求a的取值范围.
10.已知集合，集合，若成立的一个必要不充分条件是，求实数a的取值范围.
思维拓展
11.设a是实数，则成立的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
12.在四边形ABCD中，，则“”是“四边形ABCD为直角梯形”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
13.设集合，，，或，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
14.下列说法错误的是( )
A.“”是“”的必要不充分条件
B.“”的一个充分不必要条件是“”
C.“”是“”的必要不充分条件
D.“m是实数”的一个充分不必要条件是“m是有理数”
15.方程与有一个公共实数根的充要条件是( )
A. B. C. D.
16.（多选）下列选项中，p是q的必要不充分条件的有( )
A.，
B.，
C.p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等
D.，，
17.（多选）p是q的必要条件的是( )
A.，
B.，，
C.四边形的两条对角线互相垂直平分，四边形是正方形
D.，q：关于x的方程有唯一解
18.下图是由电池、开关和灯泡组成的电路，假定所有零件均能正常工作，则电路中“开关和有且只有一个闭合”是“灯泡L亮”的__________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
19.已知集合，或，，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是_________.
20.已知命题，命题或，若p是q的既不充分也不必要条件，则c的取值范围是__________.
答案及解析
一、基础巩固
1.，充分，必要，，充分，必要
2.真命题，，充分必要，充要
二、拔高提升
1.答案：B
解析：由,,可得,
但若,不一定可得,也可能.
所以,但,
所以q是p的必要条件.
故选:B
2.答案：A
解析：若，则，即充分性成立；
若，例如，，
可得，满足题意，
但，即必要性不成立；
综上所述：“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3.答案：B
解析：由题意,推不出,故充分性不成立；
但可以推出,故必要性成立
故p是q的必要不充分条件
故选：B.
4.答案：A
解析：若p是q的充分不必要条件，则且等号不同时成立，解得.故选A.
5.答案：C
解析：因为,
所以“”是“”的的必要不充分条件,
故选：C.
6.答案：A
解析：当时,必有成立,反之不成立,
故p是q的充分不必要条件,
故选：A.
7.答案：A
解析：；反之，，例如，满足，但，故“”是“”的充分不必要条件.故选A.
8.答案：B
解析：由二次函数的图象与x轴没有交点，
故，得，
故答案为：B.
9.答案：
解析：若“”是“”的必要条件,则,
又集合B为非空集合,故有解得,所以a的取值范围.
10.答案：
解析：由题意知，是的必要不充分条件，
因此B是A的真子集.易得.
①当时，，解得；
②当时，有无解；
③当时，有无解.
综上，实数a的取值范围为.
三、思维拓展
11.答案：A
12.答案：D
解析：若，则四边形ABCD为矩形或直角梯形，若四边形ABCD为直角梯形，则不一定为，所以“”是“四边形ABCD为直角梯形”的既不充分也不必要条件.故选D.
13.答案：C
解析：，或，，或，，“”是“”的充要条件.
14.答案：B
解析：易知A，C，D正确，由，解得或，故“”的一个必要不充分条件是“”，因此B中说法错误.故选B.
15.答案：D
解析：设方程与有公共实根，
则两式相减得，
若，则两方程相同，为，且无实数根，
若，则，所以，解得.
当时，两方程分别为，，
方程的两个实数根分别为1，2，
方程的两个实数根分别为1，，
即方程与有一个公共实数根.
综上可知，方程与有一个公共实数根的充要条件是.
故选D.
16.答案：AD
解析：对于A，，但，
是q的必要不充分条件，A正确；
对于B，由，得，由，得，是q的充要条件，B错误；
对于C，两个三角形全等，则面积一定相等，但两个三角形面积相等，不一定全等，
是q的充分不必要条件，C错误；
对于D，当，时，，
当时，，不一定成立，如，，是q的必要不充分条件，D正确.故选AD.
17.答案：CD
解析：，，所以由p推不出q，由q推不出p，所以p是q的既不充分也不必要条件，故A不符合题意；
，；当，时，满足，但由q推不出p，所以p是q的充分不必要条件，故B不符合题意；
由“两条对角线互相垂直平分”推不出“四边形是正方形”，而由“四边形是正方形”能推出“两条对角线互相垂直平分”，所以p是q的必要条件，故C符合题意；
关于x的方程有唯一解，故p是q的充分必要条件，故D符合题意.选CD.
18.答案：充分不必要
解析：当开关和有且只有一个闭合时，灯泡L亮，当灯泡L亮时，开关和也有可能都闭合，故电路中“开关和有且只有一个闭合”是“灯泡L亮”的充分不必要条件.
19.答案：
解析：因为“”是“”的必要条件，所以.
当时，满足，此时，解得；
当时，要想满足，则或
解得或.
综上，实数a的取值范围是.
20.答案：
解析：设命题p对应的集合为A，命题q对应的集合为B，则，或.因为p是q的既不充分也不必要条件，所以或A不是B的子集且B不是A的子集，所以①或②或③，
解不等式组①得，解不等式组②得，解不等式组③得.
又，所以c的取值范围为.

展开更多......

收起↑