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3.1.2.2　函数的平均变化率
一、选择题
1．已知A(1，2)，B(－3，－4)，C(2，m)，若A，B，C三点在同一条直线上，则m＝(　　)
A． B．3 　　　
C． D．4
2．某物体的运动方程为s＝5－2t2，则该物体在时间[1，1＋d]上的平均速度的大小为(　　)
A．2d＋4 B．－2d＋4
C．2d－4 D．－2d－4
3．如果函数y＝ax＋b在区间[1，2]上的平均变化率为3，则a＝(　　)
A．－3 　　B．2 　　C．3　 　D．－2
4．已知对任意的00，设a＝f (π)，b＝f (2)，则(　　)
A．a>b B．a＝b
C．a5．函数f (x)＝x2－mx＋4(m>0)在(－∞，0]上的最小值是(　　)
A．4 B．－4
C．与m的取值有关 D．无最小值
6．(多选)下列各选项正确的有(　　)
A．若x1，x2∈I，当x1≠x2时，＝>0在区间I上成立，则y＝f (x)在区间I上是增函数
B．函数y＝x2在R上是增函数
C．函数y＝－在定义域上不是增函数
D．函数y＝x2的单调递减区间为(－∞，0]
7．设函数f (x)＝ax2＋bx－c(a≠0)对任意实数t都有f (2＋t)＝f (2－t)成立，在数值f (－1)，f (1)，f (2)，f (5)中最小的一个不可能是(　　)
A．f (－1) B．f (1) 　
C．f (2) D．f (5)
二、填空题
8．过曲线y＝x2上两点A(2，4)和B(2＋Δx，4＋Δy)作割线，当Δx＝0.1时，割线AB的斜率为________．
9．已知函数f (x)＝f (x)的最大值为m，f (x)的最小值为n，则m＋n＝________．
10．设f (x)＝x2－2ax＋a2，x∈[0，2]．当a＝－1时，f (x)的最小值是________．若f (0)是f (x)的最小值，则a的取值范围为________．
11．已知曲线y＝－1上两点A，B，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．
12．已知函数f (x)＝mx2－mx－1．若对于x∈[1，3]，f (x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________．
三、解答题
13．已知函数f (x)＝2x2＋3x－5．
(1)当x1＝4，且Δx＝1时，求函数值的改变量Δy和平均变化率；
(2)当x1＝4，且Δx＝0.1时，求函数值的改变量Δy和平均变化率；
(3)分析(1)(2)中的平均变化率的几何意义．
14．已知函数f (x)＝，x∈[3，5]．
(1)判断函数在区间[3，5]上的单调性，并给出证明；
(2)求该函数的最大值和最小值．
15．已知函数y＝x2＋ax＋3在[－1，1]上的最小值为－3，求实数a的值．
答案解析
1．C　[∵A，B，C三点共线，
∴kAB＝kAC，
∴＝，解得m＝．故选C．]
2．D　[平均速度的大小为＝－4－2d．故选D．]
3．C　[根据平均变化率的定义，可知
＝＝a＝3，故选C．]
4．C　[由条件知<0，即f (x)在(0，＋∞)上单调递减，∵π>2，∴f (π)5．A　[f (x)＝x2－mx＋4的图象的对称轴为直线x＝，∵m>0，∴f (x)在(－∞，0]上单调递减，
∴f (x)min＝f (0)＝4．]
6．CD　[A中，没强调x1，x2是区间I上的任意两个数，故不正确；B中，y＝x2在x≥0时是增函数，在x<0时是减函数，从而y＝x2在整个定义域上不具有单调性，故不正确；C中，y＝－在整个定义域内不具有单调性，故正确；D正确．]
7．B　[因为f (2＋t)＝f (2－t)，所以该二次函数的对称轴为x＝2，该二次函数的图象是抛物线，当a>0时，抛物线的开口向上，当x>2时，该函数单调递增，当x<2时，该函数单调递减，所以f (2)是最小值；当a<0时，抛物线的开口向下，当x>2时，该函数单调递减，当x<2时，该函数单调递增，所以有f (2)>f (1)>f (－1)＝f (5)，此时f (－1)，f (5)最小．故选B．]
8．4.1　[因为割线AB的斜率kAB＝＝
＝＝Δx＋4，
所以当Δx＝0.1时，割线AB的斜率为4.1．]
9．－　[当0≤x≤2时，f (x)＝－x2＋x＝＋，此时f (x)max＝f＝＝f＝－2．
当－1≤x<0时，f (x)＝－x2－x＝－＋，此时f (x)max＝f＝，f (x)min＝f (－1)＝0．
综上所述，f (x)max＝，f (x)min＝－2，即m＝，n＝－2，所以m＋n＝－．]
10．1　(－∞，0]　[当a＝－1时，f (x)＝x2＋2x＋1，其图象开口向上，对称轴为直线x＝－1，
所以函数f (x)＝x2＋2x＋1在[0，2]上单调递增，所以函数f (x)在[0，2]上的最小值为f (0)＝1．
若f (0)是f (x)的最小值，说明f (x)图象的对称轴，即直线x＝a在y轴左侧或与y轴重合，则a≤0，所以a的取值范围为(－∞，0]．]
11．－　[∵Δy＝
＝＝＝，
∴＝＝，
即k＝＝－．
∴当Δx＝1时，k＝－＝－．]
12．　[要使f (x)<－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，即m＋m－6<0在x∈[1，3]上恒成立．
令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3]．
当m>0时，g(x)在[1，3]上单调递增，
所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，
所以m<，所以0当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)在[1，3]上单调递减，
所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，
所以m<6，
所以m<0．
综上所述，m的取值范围是．]
13．解：　∵f (x)＝2x2＋3x－5，
∴Δy＝f (x1＋Δx)－f (x1)＝＋3x1－5)＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx．
(1)当x1＝4，且Δx＝1时，Δy＝2×12＋(4×4＋3)×1＝21，则＝＝21．
(2)当x1＝4，且Δx＝0.1时，Δy＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92，
则＝＝19.2．
(3)在(1)中，＝，它表示抛物线上的点A(4，39)与点B(5，60)连线所在直线的斜率；
在(2)中，＝，它表示抛物线上的点A(4，39)与点C(4.1，40.92)连线所在直线的斜率．
14．解：　(1)函数f (x)在[3，5]上是增函数．
证明：设任意x1，x2满足3≤x1＜x2≤5，则
f (x1)－f (x2)＝
＝
＝，
所以＝＝．
因为3≤x1＜x2≤5，所以x1＋1＞0，x2＋1＞0，
所以＝＞0，
所以f (x)＝在[3，5]上是增函数．
(2)由(1)得f (x)min＝f (3)＝＝，
f (x)max＝f (5)＝＝．
15．解：　函数y＝x2＋ax＋3可变形为
y＝＋，
其对称轴为x＝－．
由函数的图象(图略)可知：
(1)当－≤－1，即a≥2时，
函数y＝x2＋ax＋3在[－1，1]上单调递增，
所以，在x＝－1时，y取得最小值4－a．
根据题设4－a＝－3，得a＝7．
(2)当－∈(－1，1)，即－2在上单调递增，
所以，在x＝－时，y取得最小值．
根据题设＝－3，则a2＝24，
解得a＝±2．
因为±2 (－2，2)，故舍去．
(3)当－≥1，即a≤－2时，
函数y＝x2＋ax＋3在[－1，1]上单调递减，
所以，当x＝1时，y取得最小值4＋a．
根据题设4＋a＝－3，得a＝－7．
综上可知，符合题意的a的值为±7．
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