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第2课时　平面直角坐标系中点的坐标特征
各象限内的点的坐标特征
1.在平面直角坐标系中,点A(2,-3)位于 (　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.若点P(a,-2)在第三象限,则a的值可以是 (　　)
A.-2 B.0 C.1 D.2
坐标轴上的点的坐标特征
3.平面直角坐标系中,在x轴上的点是 (　　)
A.(0,3) B.(-3,0) C.(-1,2) D.(-2,-3)
4.若点P(a-3,2-a)在y轴上,则点P的坐标为 (　　)
A.(0,1) B.(0,-1) C.(1,0) D.(-1,0)
平行于坐标轴的直线上点的坐标特征
5.(开放性试题)在平面直角坐标系中,直线AB∥y轴,若点A的坐标为(-4,2),点B在第三象限,则点B的坐标可能是　　　　。(写出一个即可)
根据点的坐标描点连线构成图形
6.在平面直角坐标系中,顺次连接(-2,1),(-2,-1),(2,-2),(2,3)各点,你会得到一个什么图形
1.已知平面直角坐标系内点(x,y)的纵、横坐标满足y=x2,则点(x,y)位于 (　　)
A.x轴的上方(含x轴) B.x轴的下方(含x轴)
C.y轴的右方(含y轴) D.y轴的左方(含y轴)
2.在平面直角坐标系中,将点(-b,-a)称为点(a,b)的“关联点”。例如,点(-2,-1)是点(1,2)的“关联点”。如果一个点和它的“关联点”在同一象限内,那么这一点所在的象限为 (　　)
A.第一或第二象限 B.第二或第三象限
C.第二或第四象限 D.第一或第三象限
3.(2025西安月考)已知点A(a-1,3),点B(-2,a+1),且直线AB∥y轴,则a的值为 (　　)
A.-3 B.7 C.1 D.-1
4.已知点P(1+m,2m+1)在y轴上,点Q(6-2n,4+n)在x轴上,则点M(m,n)在(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5.(2025兰州期中)已知线段AB平行于y轴,点A的坐标为(1,-2),点B在第一象限,且AB=3,则点B的坐标为　　　　。
6.已知点P(2a-2,a+5),解答下列各题:
(1)若点P在x轴上,求出点P的坐标;
(2)若点P在第二象限,且它到x轴的距离与到y轴的距离相等,求a2 025+2 026的值。
7.如图,已知在平面直角坐标系中,点A(1,-1),B(-1,4),C(-3,1)。
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC;
(2)求△ABC的面积。
8.阅读下面一段文字,然后回答下列问题。
已知平面内两点M(x1,y1),N(x2,y2),则这两点间的距离可用下列公式计算:
MN=。
例如:已知P(3,1),Q(1,-2),则这两点间的距离PQ=。
特别地,如果两点M(x1,y1),N(x2,y2)所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴,那么这两点间的距离公式可简化为MN=|x1-x2|或|y1-y2|。
(1)已知A(1,2),B(-2,-3),试求A,B两点间的距离;
(2)已知A,B在平行于x轴的同一条直线上,点A的横坐标为5,点B的横坐标为-1,试求A,B两点间的距离;
(3)已知△ABC的顶点坐标分别为A(0,4),B(-1,2),C(4,2),你能判定△ABC的形状吗 请说明理由。
微专题4　象限的角平分线上的点的坐标特征
特殊点的位置 坐标特征
点P(x,y)在第一、三象限的角平分线上 x=y
点P(x,y)在第二、四象限的角平分线上 x=-y
1.已知点P(5a+7,6a+2)在第一、三象限的角平分线上,则a=　　　　。
2.若点P在第二、四象限的角平分线上,则a=　　　　。
3.已知平面直角坐标系中有一点A(m-1,2m+3)。
(1)若点A在第二、四象限的角平分线上,求点A的坐标;
(2)若点A到y轴的距离为2,求点A的坐标。
【详解答案】
基础达标
1.D　2.A　3.B　4.B
5.(-4,-2)(答案不唯一)
6.解:如图,依次连接各点,得到一个梯形。
能力提升
1.A　解析:因为y=x2大于或等于0,所以y≥0。则点(x,y)位于x轴的上方(含x轴)。故选A。
2.C　解析:根据“关联点”的定义可知,该点在第二象限或第四象限。故选C。
3.D　解析:因为直线AB∥y轴,所以a-1=-2。解得a=-1。故选D。
4.C　解析:由题意,得1+m=0,4+n=0。解得m=-1,n=-4。所以点M(-1,-4)。故点M在第三象限。故选C。
5.(1,1)　解析:因为线段AB平行于y轴,点A的坐标为(1,-2),所以xB=1。因为AB=3,所以|-2-yB|=3。解得yB=1或-5。又因为点B在第一象限,所以yB=1。所以点B的坐标为(1,1)。
6.解:(1)因为点P在x轴上,
所以a+5=0。所以a=-5。
所以2a-2=-12。
所以点P的坐标为(-12,0)。
(2)因为点P在第二象限,且它到x轴的距离与到y轴的距离相等,
所以2a-2=-(a+5)。
所以a=-1。
所以a2 025+2 026=(-1)2 025+2 026=2 025。
所以a2 025+2 026的值为2 025。
7.解:(1)如图,△ABC即为所求作。
(2)S△ABC=4×5-×2×5-×3×2-×2×4=20-5-3-4=8。
所以△ABC的面积为8。
8.解:(1)AB=。
(2)AB=|5-(-1)|=6。
(3)△ABC是直角三角形。理由如下:
因为AB=,
BC==5,
AC=,
所以AB2+AC2=()2+()2=25,
BC2=52=25。
所以AB2+AC2=BC2。
所以△ABC是直角三角形。
微专题4
1.5　解析:因为点P(5a+7,6a+2)在第一、三象限的角平分线上,所以5a+7=6a+2。解得a=5。
2.-
3.解:(1)因为点A在第二、四象限的角平分线上,
所以m-1+2m+3=0。所以m=-。
所以m-1=-,2m+3=。
所以点A的坐标为-,。
(2)因为点A到y轴的距离为2,
所以|m-1|=2。
解得m=3或-1。
当m=3时,m-1=2,2m+3=9;
当m=-1时,m-1=-2,2m+3=1。
所以点A的坐标为(2,9)或(-2,1)。2　平面直角坐标系
第1课时　平面直角坐标系的有关概念
平面直角坐标系的有关概念
1.关于平面直角坐标系,有以下说法:
①在平面直角坐标系中,水平方向的数轴称为x轴或横轴,竖直方向的数轴称为y轴或纵轴;②x轴上所有的点的纵坐标都等于0;③点M(0,1)在平面直角坐标系中的位置是第三象限或第四象限。
其中正确的是 (　　)
A.①②③ B.①② C.①③ D.②③
2.如图,x轴、y轴把平面直角坐标系分成四部分,则第②部分是 (　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.如图,P1,P2,P3这三个点中,在第二象限内的有 (　　)
A.P1,P2,P3 B.P1,P2 C.P1,P3 D.P1
点的坐标和平面内点的对应性
4.(2025沈阳浑南区月考)在平面直角坐标系中,与平面上的任意一点对应的是 (　　)
A.一个实数对
B.一个有序实数对
C.一个有理数对
D.一个有序有理数对
5.如图,点A的坐标是　　　　,横坐标和纵坐标都是负数的是点　　　　,坐标是(-2,2)的是点　　　　。
6.如图,在平面直角坐标系中,已知点A,B,C,D,E,F。
(1)写出图中点A,B,C,D,E,F的坐标;
(2)在图中描出下列各点:L(-5,-3),M(4,0),N(0,5),P(6,2)。
1.已知a+b>0,ab>0,则在如图所示的平面直角坐标系中,小手盖住的点的坐标可能是 (　　)
A.(a,b) B.(-a,b) C.(-a,-b) D.(a,-b)
2.在平面直角坐标系中,点P(-1,m2+1)位于 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知a为正整数,点P(4,2-a)在第一象限,则a=　　　　。
4.若点(a-2,a-3)在第三象限,且到x轴的距离是3,则a=　　　　。
5.(新定义题)在平面直角坐标系中,给出三点A,B,C,记其中任意两点的横坐标的差的最大值为a,任意两点的纵坐标的差的最大值为h,定义“矩面积”S=ah。例如:给出A(1,2),B(-3,1),C(2,-2)三点,则a=5,h=4,S=ah=20。若D(1,2),E(-2,1),F(0,t)三点的“矩面积”为18,则t=　　　　。
6.如图,△ABC的三个顶点恰好是正方形网格的格点。
(1)写出△ABC各顶点的坐标;
(2)求出此三角形的面积。
7.已知点P(2m+4,m-1),且点P的横坐标比纵坐标大1,求点P的坐标。
8.星期天,小李和小张相约到文化广场游玩,出发前,他们每人带了一张利用平面直角坐标系画的示意图,如图所示,其中行政办公楼的坐标是(-4,3),南城百货的坐标是(2,-3)。
(1)请根据上述信息,画出这个平面直角坐标系;
(2)写出示意图中体育馆、升旗台、北部湾俱乐部、盘龙苑小区、国际大酒店的坐标;
(3)小李跟小张说他现在的位置坐标是(-2,-2),请你在图中用字母A标出小李的位置。
微专题3　点的坐标与距离
已知平面直角坐标系内一个点P(x,y),则点P到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|,到原点的距离为。
1.(易错题)已知点A(3,4),则点A到x轴的距离为 (　　)
A.3　　　 B.4　　　 C.5　　　 D.12
2.点P(2,-3)到x轴的距离为　　　　,到y轴的距离为　　　　。
3.点P(-4,3)到x轴的距离为　　　　,到y轴的距离为　　　　,到原点的距离为　　　　。
4.已知点P在第四象限,且到x轴的距离为2,到y轴的距离为3,则点P的坐标为　　　　。
5.已知在平面直角坐标系中,点P(1-a,2a-5)到两坐标轴的距离相等,求a的值并确定点P的坐标。
6.已知点P(4-m,m-1),若点P到x轴的距离是到y轴距离的2倍,求点P的坐标。
【详解答案】
基础达标
1.B　2.A　3.D　4.B　5.(3,3)　C　D
6.解:(1)点A(-3,-2),B(-5,4),C(5,-4),D(0,-3),E(2,5),F(-3,0)。
(2)如图所示:
能力提升
1.D　解析:因为a+b>0,ab>0,所以a>0,b>0。A.点(a,b)在第一象限,因为小手盖住的点在第四象限,故此选项不符合题意;B.点(-a,b)在第二象限,因为小手盖住的点在第四象限,故此选项不符合题意;C.点(-a,-b)在第三象限,因为小手盖住的点在第四象限,故此选项不符合题意;D.点(a,-b)在第四象限,因为小手盖住的点在第四象限,故此选项符合题意。故选D。
2.B　解析:因为m2+1>0,所以点P(-1,m2+1)在第二象限。故选B。
3.1　解析:因为点P(4,2-a)在第一象限,所以2-a>0。又因为a为正整数,所以a=1。
4.0　解析:因为点(a-2,a-3)在第三象限,且到x轴的距离是3,所以a-3=-3。解得a=0。
5.-4或7　解析:由题意可知,D(1,2),E(-2,1),F(0,t)三点中,a=1-(-2)=3,而若h=2-1=1,则S=ah=3×1=3≠18。所以t是三点的纵坐标中的最大值或最小值。若t是纵坐标中的最大值,则h=t-1。所以ah=3(t-1)=18,t=7。若t是纵坐标中的最小值,则h=2-t。所以ah=3(2-t)=18,t=-4。综上所述,t=-4或7。
6.解:(1)点A(2,2),B(-2,-1),C(3,-2)。
(2)S△ABC=4×5-×3×4-×1×4-×1×5=9.5。
所以此三角形的面积为9.5。
7.解:因为点P的横坐标比纵坐标大1,
所以m-1=(2m+4)-1。解得m=-4。
所以2m+4=-4,m-1=-5。
所以点P的坐标为(-4,-5)。
8.解:(1)如图所示:
(2)体育馆(-9,4),升旗台(-4,2),北部湾俱乐部(-7,-1),盘龙苑小区(-5,-3),国际大酒店(0,0)。
(3)小李的位置A如图所示。
微专题3
1.B　2.3　2
3.3　4　5　解析:因为点P的坐标为(-4,3),所以到x轴的距离是|3|=3,到y轴的距离是|-4|=4,到原点的距离是=5。
4.(3,-2)　解析:因为点P在第四象限,所以其横、纵坐标分别为正数、负数。又因为点P到x轴的距离为2,到y轴的距离为3,所以点P的横坐标为3,纵坐标为-2。所以点P的坐标为(3,-2)。
5.解:因为点P到两坐标轴的距离相等,
所以|1-a|=|2a-5|。
所以1-a=±(2a-5)。解得a=2或4。
当a=2时,1-a=-1,2a-5=-1;
当a=4时,1-a=-3,2a-5=3。
所以点P的坐标为(-1,-1)或(-3,3)。
6.解:因为点P到x轴的距离是到y轴距离的2倍,
所以|m-1|=2|4-m|。
所以m-1=2×(4-m)或m-1=-2×(4-m)。
解得m=3或7。
当m=3时,4-m=1,m-1=2;
当m=7时,4-m=-3,m-1=6。
所以点P的坐标为(1,2)或(-3,6)。第3课时　建立适当的平面直角坐标系描述图形的位置
建立适当的平面直角坐标系求已知点的坐标
1.如图,以解放公园为原点建立平面直角坐标系,则博物馆的坐标为 (　　)
A.(2,3) B.(0,3) C.(3,2) D.(2,2)
2.(2025安阳月考)请在下图中建立适当的平面直角坐标系,并写出各个地点的坐标。
由已知点的坐标求其他点的坐标
3.如图是中国象棋棋盘的一部分,建立如图所示的平面直角坐标系,已知“车”所在位置的坐标为
(-2,2),则“炮”所在位置的坐标为 (　　)
A.(3,1) B.(1,3) C.(4,1) D.(3,2)
4.(2025阜新实验中学期中)张强在某旅游景点的动物园的大门口看到这个动物园的平面示意图(如图),若以大门为坐标原点,其他四个景点大致用坐标表示肯定错误的是 (　　)
A.熊猫馆(1,4) B.猴山(6,0) C.百鸟园(5,-3) D.驼峰(3,-1)
5.如图,已知火车站的坐标为(2,1),文化宫的坐标为(-1,2)。
(1)请你根据题目条件,画出平面直角坐标系;
(2)写出体育场、市场、超市、医院的坐标;
(3)若宾馆的坐标为(4,2),请在图上标出宾馆所在位置。
1.(2025宣城月考)如图,若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系,使“帅”位于点(-1,-2),“马”位于点(2,
-2),则“兵”位于点 (　　)
A.(-1,1) B.(-2,1)
C.(1,-2) D.(-3,1)
2.如图,直线l1⊥l2,在平面直角坐标系中,x轴∥l1,y轴∥l2,点A,B的坐标分别为(-1,1),(2,-1),则点C在第　　　象限内。
3.(跨学科)全世界大约有14 000余种蝴蝶,大部分分布在美洲,尤其在亚马孙河流域品种最多,在世界其他地区除了南、北极寒冷地带以外都有分布。如图是一只蝴蝶标本,将其放在适当的平面直角坐标系中,若翅膀两端B,C两点的坐标分别为(-1,3),(3,0),则蝴蝶“尾部”点A的坐标为　　　　。
4.如图,在△ABC中,点A的坐标为(0,1),点C的坐标为(4,3),如果要使△ABD与△ABC全等,那么点D的坐标是　　　　。
5.△ABC的边AC在正方形网格中的位置如图所示,已知每个小正方形的边长为1,顶点A的坐标为(-2,-2)。
(1)请在网格图中建立平面直角坐标系;
(2)直接写出点C的坐标:　　　　;
(3)若点B的坐标为(3,-2),请在图中标出点B的位置,并画出△ABC;
(4)求△ABC的面积。
6.(应用意识)如图为草房的示意图,AB的长为15 m,房檐CD的长为20 m,门宽EF为6 m,CD到地面的距离为18 m,请你建立适当的平面直角坐标系,并写出A,B,C,D,E,F的坐标。
【详解答案】
基础达标
1.D
2.解:答案不唯一,合理即可。如图,以教学楼所在的位置为坐标原点,以图中小正方形的边长为单位长度,建立平面直角坐标系,则教学楼的坐标是(0,0),办公楼的坐标是(0,-3),运动场的坐标是(-3,0),科学楼的坐标是(-3,2),宿舍的坐标是(2,1)。
3.A　4.C
5.解:(1)根据题意建立平面直角坐标系,如图所示。
(2)体育场(-2,4),市场(6,4),超市(4,-2),医院(0,-1)。
(3)宾馆(4,2)的位置如图所示。
能力提升
1.D　解析:由题意得“兵”位于点(-3,1)。故选D。
2.一　解析:由题意可知,平面直角坐标系的位置如图所示,所以点C在第一象限内。
3.(0,-2)　解析:如图,建立平面直角坐标系。蝴蝶“尾部”点A的坐标为(0,-2)。
4.(4,-1)或(-1,3)或(-1,-1)
解析:△ABD与△ABC有一条公共边AB,当点D在AB的下边时,点D有两种情况:①坐标为(4,-1);②坐标为(-1,-1);当点D在AB的上边时,坐标为(-1,3)。
5.解:(1)如图所示。
(2)(0,2)
(3)如图所示。
(4)因为A(-2,-2),C(0,2),B(3,-2),
所以AB=3-(-2)=5,AB边上的高为2-(-2)=4。
所以S△ABC=×5×4=10。
6.解:根据题意,可以以AB的中点为坐标原点,AB所在直线为x轴,在AB的中点处作AB的垂线,该垂线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系。
因为AB=15 m,且在x轴上,A点在负半轴上,B点在正半轴上,
所以A(-7.5,0),
B(7.5,0)。
因为CD=20 m,CD到地面的距离为18 m,
所以C(-10,18),D(10,18)。
因为EF在x轴上,E点在负半轴上,F点在正半轴上,EF=6 m,
所以E(-3,0),F(3,0)。
(答案不唯一)

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