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3　轴对称与坐标变化
关于坐标轴对称的点的坐标关系
1.在平面直角坐标系中,若点P的坐标为(2,1),则点P关于y轴对称的点的坐标为(　　)
A.(-2,-1) B.(2,-1)
C.(-2,1) D.(2,1)
2.在平面直角坐标系中,点A与点A1关于x轴对称,点A与点A2关于y轴对称。已知点A1(1,2),则点A2的坐标是　　　　。
根据点的坐标和对称方式作图
3.(2025济南历下区月考)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点坐标分别是A(1,1),B(4,2), C(3,4)。
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C',其中点A的对应点是点A',点B的对应点是点B',点C的对应点是点C';
(2)请直接写出点A'的坐标:　　　　,点B'的坐标:　　　　,点C'的坐标:　　　　。
图形的坐标变化与图形对称的关系
4.(1)在下面的平面直角坐标系中,依次描出下列各点:(0,2),(5,6),(3,2),(5,3),(5,1),(3,2),(4,0),(0,2),再用线段顺次连接各点。你得到了一个怎样的图案
(2)(1)中各点的纵坐标不变,横坐标分别乘-1,得到各个点的坐标分别是什么 描出这几个点,再用线段顺次连接起来,这样得到的图形与原来的图形有什么变化 先猜一猜,再动手画。
(3)(1)中各点的横坐标不变,纵坐标分别乘-1,得到各个点的坐标分别是什么 描出这几个点,再用线段顺次连接起来,这样得到的图形与原来的图形有什么变化 先猜一猜,再动手画。
1.某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路,园丁在花园中栽种了8棵桂花,如图所示,若A,B两处桂花的位置关于小路对称,在分别以两条小路为x,y轴的平面直角坐标系内,点A的坐标为(-6,2),则点B的坐标为 (　　)
A.(6,2) B.(-6,-2) C.(2,6) D.(2,-6)
2.小明将某点关于x轴的对称点误认为是关于y轴的对称点,得到点(-3,-2),则该点关于x轴对称的点的坐标是 (　　)
A.(3,2) B. (-3,2) C.(2,3) D.(-2,-3)
3.已知图形A在y轴的右侧,如果将图形A上的所有点的横坐标都乘-1,纵坐标不变得到图形B,则 (　　)
A.两个图形关于x轴对称
B.两个图形关于y轴对称
C.两个图形重合
D.两个图形不关于任何一条直线对称
4.如图,点P(-2,1)与点Q(a,b)关于直线l(y=-1)对称,则a+b=　　　　。
5.如图,在平面直角坐标系中,对△ABC进行循环往复的轴对称变换,若原来点A的坐标是(a,b),则经过第2 025次变换后所得A点坐标是　　　　。
6.如图,在平面直角坐标系中,△ABC各顶点的坐标分别为A(4,0),B(-1,4),C(-3,1)。
(1)在图中作△A'B'C',使△A'B'C'和△ABC关于x轴对称;
(2)写出点A',B',C'的坐标。
7.如图,△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形。
(1)分别写出点A与点P、点B与点Q、点C与点R的坐标;
(2)观察它们之间的关系,如果△ABC中任意一点M的坐标为(a,b),那么它在△PQR中的对应点N的坐标是什么
8.(推理能力)如图,在平面直角坐标系中,y=x的图象l是第一、三象限的角平分线。
(1)实验与探究:由图观察易知点A(0,2)关于直线l的对称点A'的坐标为(2,0),请在图中分别标明点B(5,3),C(-2,5)关于直线l的对称点B',C'的位置,并写出它们的坐标:B'　　　　,C'　　　　;
(2)归纳与发现:结合图形观察以上三组点的坐标,请你写出坐标平面内任一点P(m,n)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P'的坐标。
【详解答案】
基础达标
1.C　2.(-1,-2)
3.解:(1)如图,△A'B'C'即为所求作。
(2)(-1,1)　(-4,2)　(-3,4)
4.解:(1)如图所示,得到的图案像一条小鱼。
(2)(0,2),(-5,6),(-3,2),(-5,3),(-5,1),(-3,2),(-4,0),(0,2)。得到的图形与原图形关于y轴对称,如图。
(3)(0,-2),(5,-6),(3,-2),(5,-3),(5,-1),(3,-2),(4,0),(0,-2)。得到的图形与原图形关于x轴对称,如图。
能力提升
1.A　解析:若A,B两处桂花的位置关于小路对称,在分别以两条小路为x,y轴的平面直角坐标系内,点A的坐标为(-6,2),则点B的坐标为(6,2)。故选A。
2.A　解析:因为小明将某点关于x轴的对称点误认为是关于y轴的对称点,得到点(-3,-2),所以原坐标是(3,-2),所以该点关于x轴对称的点的坐标是(3,2)。故选A。
3.B　解析:因为将图形A上的所有点的横坐标乘-1,纵坐标不变,所以横坐标变为原来的相反数,纵坐标不变。所以得到的图形B与图形A关于y轴对称。故选B。
4.-5　解析:因为点P(-2,1)与点Q(a,b)关于直线l(y=-1)对称,所以a=-2,b=2×(-1)-1=-3。所以a+b=-5。
5.(a,-b)　解析:因为点A第1次变换后在第四象限,点A第2次变换后在第三象限,点A第3次变换后在第二象限,点A第4次变换后在第一象限,即点A回到原始位置,所以每4次对称为一个循环组依次循环。因为2 025÷4=506……1,所以经过第2 025次变换后所得的A点与第1次变换后的位置相同,在第四象限,坐标为(a,-b)。
6.解:(1)如图,△A'B'C'即为所求作。
(2)点A'的坐标为(4,0),点B'的坐标为(-1,-4),点C'的坐标为(-3,-1)。
7.解:(1)点A(4,3),P(-4,-3),B(3,1),Q(-3,-1),C(1,2),R(-1,-2)。
(2)观察三组对应点的坐标可得,若△ABC中任意一点M的坐标为(a,b),则它在△PQR中的对应点N的坐标是(-a,-b)。
8.解:(1)如图。
(3,5)　(5,-2)
(2)结合图形观察以上三组点的坐标可知,坐标平面内任一点P(m,n)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P'的坐标为(n,m)。

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