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第3课时　借助两个一次函数图象解决实际问题
两个一次函数图象的应用
1.甲、乙两人以相同路线前往距学校12 km的地方参加帮扶活动。如图,l甲,l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程y(km)随时间t(min)变化的函数图象,则6~8 min内甲每分钟比乙少行驶 (　　)
A.0.3 km B.0.4 km C.0.5 km D.0.6 km
2.(2024南通中考)甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进,两地之间的路程为20 km。两人前进路程s(km)与甲的前进时间t(h)之间的对应关系如图所示。根据图象信息,下列说法正确的是(　　)
A.甲比乙晚出发1 h B.乙全程共用2 h
C.乙比甲早到B地3 h D.甲的速度是5 km/h
看图象作决策
3.某单位准备和甲、乙两个租车公司中的一家签订租车合同,设汽车每月行驶x km,每月应付给甲公司的费用为y1元,付给乙公司的费用为y2元,y1,y2与x的关系如图所示。若该单位每月行驶的路程为4 000 km,为了使费用较少,则应选择(　　)
A.甲公司 B.乙公司 C.甲、乙都一样 D.无法确定
4.某通信公司推出①②两种通信收费方式供用户选择,其中一种有月租费,另一种无月租费,且两种收费方式的通话时间x(min)与收费y(元)之间的函数关系如图所示。
(1)有月租费的收费方式是　　　　(填“①”或“②”),月租费是　　　　元;
(2)分别求出①②两种收费方式中y与x之间的函数关系式;
(3)请你根据用户通话时间的多少,给出经济实惠的选择建议。
1.有甲、乙两车从A地出发去B地,甲车比乙车早出发,如图,m1,m2分别表示两车离开A地的距离y(km)与行驶时间t(h)之间的函数关系。现有以下四个结论:①m1表示甲车,m2表示乙车;②乙车出发4 h后追上甲车;③若两地相距500 km,甲车出发11 h时,两车相距100 km;④若两地相距260 km,则乙车先到达B地。其中正确的是 (　　)
A.①②③④ B.②③④ C.①②③ D.①②④
2.(2024济南中考)某公司生产了A,B两款新能源电动汽车。如图,l1,l2分别表示A款、B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y(kW·h)与汽车行驶路程x(km)的关系。当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300 km时,A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多　　　　kW·h。
3.某电信公司手机的A,B两类收费方式如图所示,lA,lB分别表示每月通话费y(元)与通话时间x(min)之间的关系。根据图象解答下列问题:
(1)当通话时间是100 min时,A,B两类收费方式的话费分别是　　　　元和　　　　元,直线lA对应的函数表达式是　　　　;
(2)求直线lB对应的函数表达式,并写出lB对应的一次函数yB=kx+b中k的实际意义;
(3)如果李萍的哥哥每月通话时间为200 min,那么他应该选择哪类收费方式 为什么
4.(应用意识)小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼。小明先跑,10 min后小丽才开始跑,小丽跑步时中间休息了两次。跑步机上C挡比B挡快40 m/min,B挡比A挡快40 m/min。小明与小丽的跑步相关信息如表所示,跑步累计里程s(m)与小明跑步时间t(min)的函数关系如图所示。
姓名 时间 里程分段 速度挡 跑步里程
小明 16:00—16:50 不分段 A挡 4 000 m
小丽 16:10—16:50 第一段 B挡 1 800 m
第一次休息
第二段 B挡 1 200 m
第二次休息
第三段 C挡 1 600 m
(1)求A,B,C各挡速度;
(2)求小丽两次休息时间的总和;
(3)小丽第二次休息后,在a min时两人跑步累计里程相等,求a的值。
【详解答案】
基础达标
1.D　2.D　3.B
4.解:(1)①　30
(2)设收费方式①中y与x之间的函数关系式为y有=k1x+30;
收费方式②中y与x之间的函数关系式为y无=k2x。
根据题意,得500k1+30=80,解得k1=0.1;
500k2=100,解得k2=0.2。
故所求的函数关系式为y有=0.1x+30,y无=0.2x。
(3)由y有=y无,得0.1x+30=0.2x,解得x=300。
故由题图可知,当通话时间不足300 min时,选择通信收费方式②经济实惠;当通话时间超过300 min时,选择通信收费方式①经济实惠;当通话时间为300 min时,选择通信收费方式①②一样。
能力提升
1.D　解析:因为甲车比乙车早出发,所以m1表示甲车,m2表示乙车,故①正确。甲车的速度为160÷4=40(km/h),乙车的速度为120÷(4-2)=60(km/h),设乙车出发a h后追上甲车,60a=40(a+2),解得a=4,即乙车出发4 h后追上甲车,故②正确。当t=2时,甲、乙两车相距40×2=80(km),故两车相距100 km的时间只有在两车相遇之后,设甲车出发b h时,两车相距100 km,60(b-2)-40b=100,解得b=11,即两车相距100 km的时间是甲车出发11 h的时候。因为乙车到B地所需时间为500÷60=8(h),而8+2<11,所以两车不存在相距100 km的情况,故③错误。260÷40=6.5(h),260÷60=4(h),因为6.5>4+2,所以若两地相距260 km,则乙车先到达B地,故④正确。故选D。
2.12　解析:A款新能源电动汽车每千米的耗电量为(80-48)÷200=0.16(kW·h),B款新能源电动汽车每千米的耗电量为(80-40)÷200=0.2(kW·h),所以l1对应的函数关系式为y1=80-0.16x,l2对应的函数关系式为y2=80-0.2x。当x=300时,y1=80-0.16×300=32,y2=80-0.2×300=20,32-20=12(kW·h),所以当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300 km时,A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多12 kW·h。
3.解:(1)25　32　yA=0.25x
(2)设直线lB对应的函数表达式是yB=kx+b(k≠0)。
把点(0,12),(100,32)代入,得
b=12,100k+b=32。解得k=0.2。
所以直线lB对应的函数表达式是yB=0.2x+12。
k的实际意义是通话时间1 min的手机通话费是0.2元。
(3)他应该选择A类收费方式。理由如下:
当x=200时,yA=0.25×200=50;
yB=0.2×200+12=52。
因为50<52,
所以他应该选择A类收费方式。
4.解:(1)由题意可知,A挡速度为4 000÷50=80(m/min),
则B挡速度为80+40=120(m/min),
C挡速度为120+40=160(m/min)。
答:A,B,C各挡速度分别为80 m/min,120 m/min,160 m/min。
(2)小丽第一段跑步时间为1 800÷120=15(min),
小丽第二段跑步时间为1 200÷120=10(min),
小丽第三段跑步时间为1 600÷160=10(min),
则小丽两次休息时间的总和为50-10-15-10-10=5(min)。
答:小丽两次休息时间的总和为5 min。
(3)因为小丽第二次休息后,在a min时两人跑步累计里程相等,
所以此时小丽在跑第三段,所跑时间为a-10-15-10-5=(a-40)(min),
所以80a=3 000+160(a-40),所以a=42.5。
答:a的值为42.5。4　一次函数的应用
第1课时　确定一次函数的表达式及解决简单问题
确定正比例函数和一次函数的表达式
1.若点(3,-5)在正比例函数y=kx(k≠0)的图象上,则k的值为 (　　)
A.-15 B.15 C.- D.-
2.若直线y=kx+b经过A(0,2)和B(3,0)两点,则这条直线的表达式是 (　　)
A.y=2x+3 B.y=3x+2 C.y=-x+2 D.y=x-1
3.(2025石家庄裕华区期中)写出满足如表条件的一次函数表达式:　　　　　　。
x -1 0 1 2
y 4 1 -2 -5
4.已知y与x-1成正比例,且当x=3时,y=4。
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)当x=-5时,求y的值。
借助一次函数表达式解决简单问题
5.如图,图中反映轿车剩余油量q(L)与行驶路程s(km)的函数关系,那么q与s之间的函数表达式为　　　　　　。
6.由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司(简称DeepSeek)开发的AI大模型在全球范围内掀起了热潮。据悉,DeepSeek训练一个AI模型时,初始数据量为2 000条时需18 min完成训练,之后每增加100条数据,训练时间延长3 min。假设总数据量为x(x≥2 000)条,训练时间为y min,且y与x的关系可以近似地看作一次函数。
(1)求y关于x的函数表达式;
(2)若训练总时间为69 min,求使用的数据总量。
1.若一个正比例函数的图象经过A(1,-2),B(m,4)两点,则m的值为 (　　)
A.2 B.-2 C.8 D.-8
2.(2025雄安新区期末)小明从A地到B地(两地相距40 km)的骑车速度为10 km/h,则小明离B地的距离y(km)与骑车时间x(h)之间的函数表达式(不写自变量的取值范围)为 (　　)
A.y=10x B.y=10x-40
C.y=40-10x D.y=40-x
3.在物理实验课上,小明在进行温度与金属导体电阻之间的关系实验中发现,某种金属导体的电阻R(单位:Ω)与温度t(单位:℃)之间存在一次函数关系,于是对不同温度下该导体的电阻进行了记录,如表:
t/℃ 0 10 20 30 40
R/Ω 5 5.08 5.16 5.24 5.32
则R与t之间的关系式为 (　　)
A.R=0.08t+5 B.R=0.008t+5
C.R=10t+5 D.R=0.08t-5
4.小明带了40元钱去超市买大米,大米的售价为8元/kg,若小明买了x kg大米,还剩下y元,则y与x之间的函数表达式为y=　　　　,其中自变量x的取值范围是　　　　。
5.(跨学科)在物理实验课上,小明记录了某根弹簧在弹性限度内所受拉力和弹簧长度的对应值如表所示,设所受拉力为F(单位:N,0≤F≤5),弹簧长度为l(单位:cm),则l与F之间的关系式为　　　　　　。
所受拉力F/N 0 0.5 1 1.5 2.0 2.5
弹簧长度l/cm 10 11.5 13 14.5 16 17.5
6.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,4),B(3,0),连接AB。将△AOB沿过点B的直线折叠,使点A落在x轴上的点A'处,折痕所在的直线交y轴正半轴于点C,求直线BC对应的表达式。
7.在一次蜡烛燃烧实验中,蜡烛剩余部分的高度y(cm)是燃烧时间x(h)的一次函数。某蜡烛的高度为30 cm,燃烧3 h后,蜡烛剩余部分的高度为12 cm。
(1)求该蜡烛燃烧时,y(cm)与x(h)之间的函数表达式;
(2)求出该蜡烛从点燃到燃尽所用的时间。
8.(应用意识)信阳毛尖是中国十大名茶之一,因其成品紧密如尖故名毛尖。某公司采购员到信阳茶叶市场购买某品牌毛尖茶,商家推出了两种购买方式:
项目 会员卡费用/(元/张) 茶叶价格/(元/kg)
方式一:金卡会员 500 1 600
方式二:银卡会员 200 1 800
设该公司此次购买茶叶x kg,按方式一购买茶叶的总费用为y1元,按方式二购买茶叶的总费用为y2元。
(1)请直接写出y1,y2关于x的函数表达式;
(2)若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同,求该公司此次购买茶叶的质量;
(3)若该公司此次购买茶叶的总预算为6 500元,则按哪种方式购买可以获得更多的茶叶
【详解答案】
基础达标
1.D　2.C　3.y=-3x+1
4.解:(1)设y=k(x-1),把x=3,y=4代入,得(3-1)k=4,
解得k=2。
所以y=2(x-1),即y=2x-2。
(2)当x=-5时,y=2×(-5)-2=-12。
5.q=-s+50
6.解:(1)y=18+(x-2 000)=x-42,
所以y关于x的函数表达式为y=x-42(x≥2 000)。
(2)当y=69时,得x-42=69,
解得x=3 700。
答:使用的数据总量为3 700条。
能力提升
1.B　解析:设正比例函数的表达式为y=kx(k≠0)。将点A(1,-2)代入y=kx,得-2=k。所以正比例函数的表达式为y=-2x。当y=4时,-2m=4,解得m=-2。故选B。
2.C　解析:根据题意,得y=40-10x。故选C。
3.B　解析:由表格可知,温度t升高1 ℃,电阻R增大0.008 Ω,所以R与t之间的关系式为R=0.008t+5。故选B。
4.40-8x　0≤x≤5　解析:根据题意,得y=40-8x。因为40÷8=5(kg),所以小明最多能买5 kg大米。所以y与x之间的函数表达式为y=40-8x,自变量x的取值范围是0≤x≤5。
5.l=3F+10　解析:设l与F之间的关系式为l=kF+b。根据题意,得b=10,k+b=13。解得k=3。所以l=3F+10。
6.解:在Rt△AOB中,OB=3,OA=4,
所以AB==5。
由折叠的性质可得,A'B=AB=5,AC=A'C。
所以A'O=2。
设点C的坐标为(0,m),则CO=m,
AC=4-m。
因为A'C2=CO2+A'O2,
所以(4-m)2=m2+22。
解得m=。所以C。
设直线BC对应的表达式为y=kx+b,
所以=b,3k+b=0。
所以k=-。
所以直线BC对应的表达式为y=-x+。
7.解:(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b。
由题意,知b=30,3k+b=12,
所以k=-6。
所以该蜡烛燃烧时,y(cm)与x(h)之间的函数表达式是y=-6x+30。
(2)当y=0时,0=-6x+30,
解得x=5。
答:该蜡烛从点燃到燃尽所用的时间是5 h。
8.解:(1)y1=500+1 600x,
y2=200+1 800x。
(2)根据题意,得500+1 600x=200+1 800x。
解得x=1.5。
所以该公司此次购买茶叶的质量为1.5 kg。
(3)按照方式一购买茶叶:令500+1 600x=6 500,
解得x=。
按照方式二购买茶叶:令200+1 800x=6 500,
解得x=。
因为,
所以按照方式一购买可以获得更多的茶叶。第2课时　借助单个一次函数图象解决实际问题
单个一次函数图象的应用
1.一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,则表示点燃后蜡烛剩余的长度y(cm)与燃烧时间x(h)之间的函数关系的图象是 (　　)
A B C D
2.汽车油箱中的余油量Q(L)是它行驶的时间t(h)的一次函数,某天该汽车外出时,油箱中余油量与行驶时间的变化关系如图所示,当油箱中余油20 L时,该汽车行驶了　　　　h。
一次函数与一元一次方程
3.(2025青岛期中)如图,已知一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点(2,0),(0,3)。则关于x的方程kx+b=0的解是 (　　)
A.x=2 B.x=3
C.x=0 D.不能确定
4.如图是一次函数y=kx+2的图象,则关于x的方程kx+2=0的解为　　　　。
1.若关于x的方程2x+b=0的解是x=1,则直线y=2x+b一定经过点 (　　)
A.(-1,0) B.(0,-1)　
C.(1,0) D.(0,1)
2.如图,直线y=kx+b分别与x轴的负半轴和y轴的正半轴交于点A和点B。若OA=4,OB=3,则关于x的方程kx+b=0的解为 (　　)
A.x=-3 B.x=-4　
C.x=3 D.x=4
3.已知关于x的方程ax-5=7的解为x=1,则一次函数y=ax-12的图象与x轴交点的坐标为　　　　.
4.如图,根据一次函数y=kx+b的图象,直接写出下列问题的答案。
(1)关于x的方程kx+b=0的解;
(2)当x=1时,代数式kx+b的值;
(3)关于x的方程kx+b=-3的解。
5.李师傅将容量为60 L的货车油箱加满后,从工厂出发运送一批物资到某地。行驶过程中,货车离目的地的路程s(km)与行驶时间t(h)的关系如图所示(中途休息、加油的时间不计)。当油箱中剩余油量为10 L时,货车会自动显示加油提醒。设货车平均耗油量为0.1 L/km,请根据图象解答下列问题:
(1)直接写出工厂离目的地的路程;
(2)求s关于t的函数表达式;
(3)当货车显示加油提醒后,行驶时间t在怎样的范围内货车应进站加油
6.(应用意识)(2024天津中考)已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上,画社离家0.6 km,文化广场离家1.5 km。张华从家出发,先匀速骑行了4 min到画社,在画社停留了15 min,之后匀速骑行了6 min到文化广场,在文化广场停留6 min后,再匀速步行了20 min返回家。下面图中x表示时间,y表示离家的距离。图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系。
请根据相关信息,回答下列问题:
(1)①填表:
张华离开家的时间/min 1 4 13 30
张华离家的距离/km 0.6
②填空:张华从文化广场返回家的速度为　　　　km/min;
③当0≤x≤25时,请直接写出张华离家的距离y关于时间x的函数表达式。
(2)当张华离开家8 min时,他的爸爸也从家出发匀速步行了20 min直接到达了文化广场,那么从画社到文化广场的途中(0.6【详解答案】
基础达标
1.B　2.8　3.A　4.x=-1
能力提升
1.C　解析:由方程的解可知,当x=1时,2x+b=0,即当x=1时,y=0,所以直线y=2x+b一定经过点(1,0)。故选C。
2.B　解析:因为直线y=kx+b分别与x轴的负半轴和y轴的正半轴交于点A和点B,且OA=4,所以点A(-4,0)。所以当x=-4时,y=kx+b=0。所以关于x的方程kx+b=0的解为x=-4。故选B。
3.(1,0)　解析:将方程ax-5=7变形,得ax-12=0。因为方程ax-5=7的解为x=1,所以一次函数y=ax-12的图象与x轴交点的坐标为(1,0)。
4.解:(1)关于x的方程kx+b=0的解为x=2。
(2)当x=1时,代数式kx+b的值为-1。
(3)关于x的方程kx+b=-3的解为x=-1。
5.解:(1)工厂离目的地的路程为880 km。
(2)设s关于t的函数表达式为s=kt+b(k≠0)。
将点(0,880)和(4,560)代入s=kt+b,
得b=880,4k+b=560。解得k=-80。
所以s关于t的函数表达式为s=-80t+880(0≤t≤11)。
(3)当油箱中剩余油量为10 L时,
s=880-(60-10)÷0.1=380(km),
所以380=-80t+880。解得t=。
当油箱中剩余油量为0 L时,
s=880-60÷0.1=280(km),
所以280=-80t+880。解得t=。
因为k=-80<0,
所以s的值随t值的增大而减小。
所以t的取值范围是≤t<。
所以行驶时间t在≤t<范围内货车应进站加油。
6.解:(1)①0.15　0.6　1.5
②0.075
③当0≤x≤4时,y=0.15x;
当4当19(2)从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离为1.05 km。
解析:爸爸的速度为=0.075(km/min)。
设张华出发a min时和爸爸相遇。
根据题意,得0.15a-2.25=0.075(a-8)。
解得a=22。
所以0.15×(22-19)+0.6=1.05(km)。
所以从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离为1.05 km。

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