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第2课时　用二元一次方程组确定一次函数表达式
用待定系数法确定一次函数表达式
1.(2025铁岭期末)图象经过两点(2,3),(-1,-3)的一次函数的表达式为 (　　)
A.y=x+1 B.y=x-2 C.y=2x-1 D.y=-2x+1
2.如图,过点(2,-1)的直线l1:y=kx+b(k≠0)与直线l2:y=2x+4相交于点P(-1,a)。
(1)求a的值;
(2)求直线l1的表达式。
借助一次函数表达式解决实际问题
3.(跨学科)在弹性限度内,弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)的关系是一次函数,图象如图所示,则弹簧不挂物体时的长度是 (　　)
A.9 cm B.10 cm C.10.5 cm D.11 cm
4.(2025鞍山九中期中)已知水银体温计的读数y(℃)与水银柱的长度x(cm)之间是一次函数关系。现有一支水银体温计,其部分刻度线不清晰(如图),表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度。
水银柱的长度x/cm 4.2 … 8.2 9.8
体温计的读数y/℃ 35.0 … 40.0 42.0
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)用该体温计测体温时,水银柱的长度为6.2 cm,求此时体温计的读数。
1.某地某月旱情严重,该地该月人均日用水量的变化情况如图所示。若该地10日、15日的人均日用水量分别为18 kg和15 kg。当人均日用水量低于10 kg时,政府将向当地居民送水。那么政府应开始送水的日期为(　　)
A.23日 B.24日 C.25日 D.26日
2.(新情境)已知部分鞋子的型号“码”数与鞋子长度“cm”之间存在一种换算关系如下:
型号/码(设为x) 20 36 42
长度/cm(设为y) 15 23 26
这种换算可以用一种函数关系去模拟,通过画图、观察、猜想,得出y与x之间的函数表达式为　　　　　　。
3.小明从家步行到学校需走的路程为1 800 m,图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s(m)与时间t(min)的函数关系,根据图象提供的信息,当小明从家出发去学校步行15 min时,到学校还需步行　　　　m。
4.【综合与实践】有言道:“杆秤一头称起人间生计,一头称起天地良心”。某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤,小组先设计方案,然后动手制作,再结合实际进行调试,请完成下列方案设计中的任务。
【知识背景】如图,称重物时,移动秤砣可使杆秤平衡,根据杠杆原理推导得:(m0+m)·l=M·(a+y),其中秤盘质量为m0 g,重物质量为m g,秤砣质量为M g,秤纽与秤盘的水平距离为l cm,秤纽与零刻线的水平距离为a cm,秤砣与零刻线的水平距离为y cm。
【方案设计】目标:设计简易杆秤。设定m0=10,M=50,最大可称重物质量为1 000 g,零刻线与末刻线的距离定为50 cm。
任务一:确定l和a的值。
(1)当秤盘不放重物,秤砣在零刻线时,杆秤平衡,请列出关于l,a的方程;
(2)当秤盘放入质量为1 000 g的重物,秤砣从零刻线移至末刻线时,杆秤平衡,请列出关于l,a的方程;
(3)根据(1)和(2)所列方程,求出l和a的值;
任务二:确定刻线的位置。
(4)根据任务一,求y关于m的函数表达式;
(5)从零刻线开始,每隔100 g在秤杆上找到对应刻线,请写出相邻刻线间的距离。
5.(应用意识)如图,l1,l2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y(费用=灯的售价+电费,单位:元)与照明时间x(h)之间的函数图象,假设两种灯的使用寿命都是2 000 h,照明效果一样。根据图象解答下列问题:
(1)分别求出直线l1和直线l2的表达式;
(2)当照明时间为多少时,两种灯的费用相同
(3)某公司的办公室计划照明2 500 h,王经理买了一个白炽灯和一个节能灯,请你帮他设计最省钱的用灯方案。
【详解答案】
基础达标
1.C
2.解:(1)因为点P(-1,a)在直线l2:y=2x+4上,所以a=-2+4=2。
(2)将点(2,-1),(-1,2)代入y=kx+b,
得解得
所以直线l1的表达式为y=-x+1。
3.B
4.解:(1)设y关于x的函数关系式为y=kx+b。根据题意,得
解得
所以y=1.25x+29.75。
(2)当x=6.2时,y=1.25×6.2+29.75=37.5。
答:此时体温计的读数为37.5 ℃。
能力提升
1.B　解析:设日期为x日,人均日用水量为y kg,直线对应的函数表达式为y=kx+b(k≠0)。根据题意,得解得所以直线对应的函数表达式为y=-x+24。当y=10时,-x+24=10,解得x=23。结合实际情况,政府应在24日开始送水。故选B。
2.y=x+5　解析:画图象如下,由图象观察得到这种换算符合一次函数的关系。
设y与x之间的函数表达式为y=kx+b(k≠0)。因为当x=20时,y=15;当x=36时,y=23,所以解得所以y与x之间的函数表达式为y=x+5。
3.350　解析:当8≤t≤20时,设s与t之间的函数表达式为s=kt+b(k≠0)。把点(8,960),(20,1 800)代入,得解得所以s与t之间的函数表达式为s=70t+400(8≤t≤20)。所以当t=15时,s=70×15+400=1 450。所以到学校还需步行1 800-1 450=350(m)。
4.解:(1)由题意,得m=0,y=0。
因为m0=10,M=50,所以10l=50a。
所以l=5a。
(2)由题意,得m=1 000,y=50,
所以(10+1 000)l=50(a+50)。
所以101l-5a=250。
(3)由(1)(2),得
解得
(4)由(3),知l=2.5,a=0.5,
所以2.5(10+m)=50(0.5+y)。
所以y=m。
(5)由(4),知y=m。当m=100时,y=5;当m=200时,y=10。
10-5=5(cm)。
因为y=m是正比例函数,所以从零刻线开始,每隔100 g相邻刻度线间的距离是等距的,所以相邻刻线间的距离为5 cm。
5.解:(1)设直线l1的表达式为y1=k1x+b1(k1≠0),
直线l2的表达式为y2=k2x+b2(k2≠0)。
因为由题图可知l1过点(0,2),(500,17),
所以解得
所以y1=0.03x+2(0≤x≤2 000)。
由题图可知l2过点(0,20),(500,26),
同理,y2=0.012x+20(0≤x≤2 000)。
(2)两种灯的费用相同,即y1=y2,
则0.03x+2=0.012x+20,解得x=1 000。
答:当照明时间为1 000 h时,两种灯的费用相同。
(3)设节能灯使用m h,则白炽灯使用(2 500-m)h,费用为n元。
则n=0.012m+20+0.03(2 500-m)+2=-0.018m+97。
因为-0.018<0,所以n随m的增大而减小。
因为0≤m≤2 000,
所以当m=2 000时,n最小,此时2 500-m=500。
答:节能灯使用2 000 h,白炽灯使用500 h最省钱。4　二元一次方程与一次函数
第1课时　二元一次方程与一次函数
二元一次方程与一次函数
1.直线l是以二元一次方程8x-y=5的解为坐标所构成的直线,则该直线不经过的象限是 (　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.下列四条直线中,直线上每个点的坐标都是二元一次方程4x+3y+12=0的解的是 (　　)
A B C D
二元一次方程组与一次函数
3.下列哪个方程组的解组成的有序数对是一次函数y=2-x和y=3x+2的图象的交点坐标(　　)
A. B.
C. D.
4.如图是在同一平面直角坐标系内作出的一次函数l1,l2的图象,设l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则方程组的解是 (　　)
A. B.
C. D.
5.已知一次函数y=3x-1与y=kx(k是常数,k≠0) 的图象的交点坐标是(1,2),则方程组的解是　　　　。
6.下表分别是一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2图象上一部分点的坐标:
x … -1 0 1 2 …
y=k1x+b1 … -1 1 3 5 …
y=k2x+b2 … 5 4 3 2 …
则方程组的解为　　　　。
7.直线y=2x-1和直线y=2x-3的位置关系为　　　　。由此可知,方程组的解的情况为　　　　。
8.(2025丹东九中期末)用图象法求方程组的解。
1.若直线y=3x+6与y=2x-4的交点坐标为(a,b),则解为的方程组是 (　　)
A. B.
C. D.
2.如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=x+4与直线l2:y=kx+b交于点A(-1,b),则关于x,y的方程组的解为 (　　)
A. B. C. D.
3.已知关于x,y的方程组的解是则直线y=-x+b与直线y=-2x+3的交点坐标是 (　　)
A.(-1,-5) B.(-1,5) C.(0,3) D.(5,-1)
4.(2025张家界期中)如图,直线y=kx(k≠0)与y=x+4在第二象限交于点A,y=x+4分别交x轴、y轴于B,C两点。S△ABO∶S△ACO=1∶2,则方程组的解为　　　　。
5.在平面直角坐标系中,若一点的纵、横坐标都是整数,则称该点为整点。设k为整数,当直线y=x-2与y=kx+k的交点为整点时,k的值为　　　　。
6.如图,直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(1,b)。
(1)求b的值;
(2)观察图象,请你直接写出关于x,y的方程组的解;
(3)直线l3:y=nx+m是否也经过点P 请说明理由。
7.(模型观念)在平面直角坐标系中,直线l1经过点(0,-1)和(-1,-3),直线l2经过原点O,且与直线l1交于点P(-2,a)。
(1)求a的值。
(2)点(-2,a)可看成哪个二元一次方程组的解
(3)设直线l1与x轴交于点A,你能求出△APO的面积吗
【详解答案】
基础达标
1.B　2.B　3.B　4.D
5.　6.　7.平行　无解
8.解:方程组整理得
作出y=-x-1与y=2x+2的图象,
如图所示,两直线交于点A(-1,0),
所以方程组的解为
能力提升
1.D　解析:因为直线y=3x+6与y=2x-4的交点坐标为(a,b),所以解为的方程组是即故选D。
2.C　解析:因为直线l1:y=x+4过点A(-1,b),所以b=-1+4=3,所以A(-1,3),因为直线l1:y=x+4与直线l2:y=kx+b交于点A,所以关于x,y的方程组的解为故选C。
3.B　解析:因为关于x,y的方程组的解是所以2×(-1)+m-3=0。所以m=5。因为方程组是由y=-x+b与y=-2x+3组成的,所以直线y=-x+b与直线y=-2x+3的交点坐标是(-1,5)。故选B。
4.　解析:设点A坐标为(a,b)。在直线y=x+4中,当x=0时,y=4,则C(0,4),当y=0时,x=-6,则B(-6,0)。因为S△ABO∶S△ACO=1∶2,所以×6b=×4×(-a)。所以a=-3b,则A(-3b,b)。将A(-3b,b)代入y=x+4中,得b=,则A。所以方程组的解为
5.0或2或4或-2　解析:①当k=0时,y=kx+k=0,即为x轴,则直线y=x-2和x轴的交点为(2,0),满足题意,所以k=0;②当k≠0时,所以x-2=kx+k,所以(k-1)x=-(k+2)。因为k,x都是整数,k≠1,k≠0,所以x==-1-是整数。所以k-1=±1或±3。所以k=2或k=4或k=-2。综上,k的值为0或2或4或-2。
6.解:(1)因为(1,b)在直线y=x+1上,
所以当x=1时,b=1+1=2。
(2)方程组的解是
(3)直线y=nx+m也经过点P。理由如下:
因为点P(1,2)在直线y=mx+n上,
所以m+n=2。所以2=n×1+m。
所以直线y=nx+m也经过点P。
7.解:(1)设直线l1:y=kx+b(k≠0)。因为直线l1经过点(0,-1)和点(-1,-3),
所以解得
所以直线l1的表达式为y=2x-1。
把点P(-2,a)代入y=2x-1,
得a=2×(-2)-1=-5。
(2)设直线l2的表达式为y=k'x(k'≠0)。
把点P(-2,-5)代入y=k'x,
得-5=-2k'。解得k'=。
所以直线l2的表达式为y=x。
所以点(-2,-5)可以看成是二元一次方程组的解。
(3)对于y=2x-1,令y=0,得x=。
所以点A的坐标为,0。
所以S△APO=×5=。

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