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1　平均数与方差
第1课时　众数和平均数
众数
1.数据2,4,5,5,6,8中,2出现了　　　次,4出现了　　　次,5出现了　　　次,6出现了　　　次,8出现了　　　次,出现次数最多的数据是　　　,故这组数据的众数是　　　。
2.某校组织各班围绕“有效减少近视发生,共同守护光明未来”主题开展板报宣传活动,并对各班的宣传板报进行评分,得分情况如图所示,则得分的众数为　　　　分。
(算术)平均数
3.小韦在3次模拟考试中,数学成绩分别为115分、118分、115分,则小韦这3次模拟考试的平均成绩是 (　　)
A.115分 B.116分
C.117分 D.118分
4.一组数据:3,4,x,4,5的平均数是4,则x的值是　　　　。
1.(2024扬州中考改编)某校开展视力检查。某班45名同学视力检查数据如下表:
视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 1 4 4 7 11 10 5 3
这45名同学视力检查数据的众数是 (　　)
A.4.6 B.4.7 C.4.8 D.4.9
2.某班有48人,在一次数学测验中,全班平均分为81分,已知不及格人数为6人,他们的平均分为46分,则及格学生的平均分是 (　　)
A.78分 B.86分
C.80分 D.82分
3.有4个数的平均数是8,还有6个数的平均数是6,则这10个数的平均数是　　　　。
4.(数据观念)对于三个数a,b,c用M{a,b,c}表示a,b,c这三个数的平均数,用min{a,b,c}表示a,b,c这三个数中最小的数。例如:M{-1,2,3}=,min{-1,2,3}=-1。
(1)若M{x-1,-5,2x+3}=(1+3x),求x的值;
(2)是否存在一个x的值,使得M{2x,2-x,3}=×min{-1,0,4x+1} 若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由。
【详解答案】
基础达标
1.1　1　2　1　1　5　5
2.9　3.B　4.4
能力提升
1.B　解析:根据列表可知,视力为4.7的人数最多,为11,即众数为4.7。故选B。
2.B　解析:全班学生的总分为81×48=3 888(分),不及格学生的总分为46×6=276(分),及格学生的总分为3 888-276=3 612(分),则及格学生的平均分为=86(分)。故选B。
3.6.8　解析:因为有4个数的平均数是8,还有6个数的平均数是6,所以这10个数的和为4×8+6×6=68。所以这10个数的平均数为=6.8。
4.解:(1)由题意可得,M{x-1,-5,2x+3}==x-1,所以x-1=(1+3x),解得x=-3。
(2)不存在。理由如下:由题意可得,M{2x,2-x,3}=。 若4x+1≥-1,则2×=-1,解得x=-。此时4x+1=
-25<-1,与条件矛盾。
若4x+1<-1,则2×=4x+1,解得x=。此时4x+1=>-1,与条件矛盾。
所以不存在一个x的值,使得M{2x,2-x,3}=×min{-1,0,4x+1}。第2课时　加权平均数
加权平均数
1.某校为落实作业、睡眠、手机、读物、体质等“五项”管理工作有关要求,随机抽查了部分学生每天的睡眠时间,制定如下统计表。所抽查学生每天睡眠时间的平均数为 (　　)
睡眠时间/h 6 7 8 9
人数 10 20 15 5
A.7 h B.7.3 h C.7.5 h D.8 h
2.(2024南充中考)学校举行篮球技能大赛,评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分,各项成绩均按百分制计,然后再按控球技能占60%,投球技能占40%计算选手的综合成绩(百分制)。选手李林控球技能得90分,投球技能得80分。李林综合成绩为 (　　)
A.170分 B.86分 C.85分 D.84分
3.学校广播站要新招1名广播员,甲、乙两名同学经过选拔进入复试环节,参加了口语表达、写作能力两项测试,成绩如表:
项目 应试者 口语表达 写作能力
甲 80 90
乙 90 80
学校规定口语表达按70%,写作能力按30%计入总成绩,根据总成绩择优录取。通过计算,你认为
　　　　同学将被录取。
1.在语文期末评卷中,某位老师根据评分标准从“符合题意”“语言”“篇章”三个方面对一份作文做出了二类卷的评判,他的评判依据是“符合题意,中心突出,内容充实”占45%;“语言通顺,偶有语病”占25%;“篇章结构完整,条理较清楚”占30%。根据这个评判,“符合题意”“语言”“篇章”三个方面的权之比为 (　　)
A.6∶5∶9 B.6∶9∶5 C.9∶5∶6 D.9∶6∶5
2.为了满足顾客的需求,某商场将5 kg奶糖、3 kg酥心糖和2 kg水果糖混合成什锦糖出售。已知奶糖的售价为每千克40元,酥心糖的售价为每千克20元,水果糖的售价为每千克15元,混合后什锦糖的售价应为每千克　　　　元。
3.(应用意识)某校“数学之星”评比由小论文、说题比赛、其他荣誉、现场考核四部分组成。每班只推荐一位同学。八(2)班小崇、小德两位同学得分情况如下。
姓名 小论文 说题比赛 其他荣誉 现场考核
小崇 80 90 30 100
小德 100 90 30 90
(1)若各部分在总分中的占比之比为1∶1∶1∶2,分别计算两位同学的得分;
(2)若现场考核在总分中占比为50%,有人认为应推荐小德同学参加校级“数学之星”评比,你认为合理吗 如不合理,请说出你的推荐人选,并说明理由。
【详解答案】
基础达标
1.B　2.B　3.乙
能力提升
1.C　解析:根据这个评判,“符合题意”“语言”“篇章”三个方面的权之比为45%∶25%∶30%,即9∶5∶6。故选C。
2.29　解析:根据题意,得
=29(元),故混合后什锦糖的售价应为每千克29元。
3.解:(1)小崇的得分为
=80(分),
小德的得分为
=80(分)。
答:小崇的得分为80分,小德的得分为80分。
(2)推荐小德同学参加校级“数学之星”评比不合理,谁去都不确定。理由如下:
因为小论文、说题比赛和其他荣誉所占的百分比没有说明,故小崇和小德的具体得分不确定,要根据实际所占的百分比进行选择,小德可能去,小崇也可能去。第3课时　离差平方和、方差与标准差
离差平方和
1.离差平方和刻画的是　 。
2.计算2,3,4,5,6,8,11,13的离差平方和。
方差与标准差
3.为了判断八(1)班和八(2)班学生口语测试成绩哪个班比较整齐,通常需要知道两班成绩的 (　　)
A.平均数 B.方差 C.众数 D.中位数
4.已知一组数据的方差计算公式为s2=[(x1-15)2+(x2-15)2+…+(x10-15)2],则这组数据的个数和平均数分别为 (　　)
A.10,10 B.15,10 C.10,15 D.15,15
5.(2024龙东地区中考)一组数据2,3,3,4,则这组数据的方差为 (　　)
A.1 B.0.8 C.0.6 D.0.5
6.已知一组数据的方差是3,则这组数据的标准差是 (　　)
A.9 B.3 C. D.
7.为考察甲、乙两种农作物的长势,研究人员分别抽取了6株苗,测得它们的高度(单位:cm)如下:
甲:98,102,100,100,101,99;
乙:100,103,101,97,100,99。
你认为哪种农作物长得更整齐 说明理由。
1.小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从1,2,3,4,5,6这六个数字中选出四个数字,玩猜数游戏。下列选项中,能确定该同学选出的四个数字含有1的是 (　　)
A.小庆选出四个数字的方差等于4.25
B.小铁选出四个数字的方差等于2.5
C.小娜选出四个数字的平均数等于3.5
D.小萌选出四个数字中最大数和最小数的差等于4
2.在某次射击训练过程中,小明打靶10次的成绩如表所示,则小明射击成绩的众数和方差分别为 (　　)
靶次
成绩/环 8 9 9 10 10 7 8 9 10 10
A.10环和0.1 B.9环和0.1
C.10环和1 D.9环和1
3.若一组数据x1,x2,x3,…,xn的方差为2,则数据x1+3,x2+3,x3+3,…,xn+3的方差是 (　　)
A.2 B.5 C.6 D.11
4.若数据0,1,2,3,x的平均数是2,则这组数据的标准差是　　　　。
5.八年级体育素质测试,某小组5名同学的成绩如下表所示:
编号 1 2 3 4 5 方差 平均成绩
得分 38 34 ■ 37 40 ■ 37
其中有两个数据被遮盖,那么被遮盖的两个数据从左到右依次是　　　　。
6.(2025抚顺一中期末)为迎接五月份全县中考九年级体育测试,小强每天坚持引体向上锻炼。他记录了某一周每天做引体向上的个数,如下表:
星期 日 一 二 三 四 五 六
个数 11 12 13 12
其中有三天的个数被墨汁覆盖了,但小强已经计算出这组数据唯一众数是13,平均数是12,那么这组数据的方差是　　　　。
7.假设有三个处理数组A1,A2,A3,每个数组有6个数,具体数据如下:
A1:1,2,3,4,5,9,
A2:2,4,5,6,7,6,
A3:3,6,7,8,9,9,
求每个数组的离差平方和。
8.(应用意识)某校为了选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛,A,B两位同学在校实习基地现场进行加工直径为20 mm的零件测试,他们各加工10个零件的直径(mm)如图所示:
根据测试的有关数据,试解答下列问题:
项目 平均数 方差 完全符合要求的个数
A 20 5
B 20 2
(1)考虑平均数与完全符合要求的个数,你认为　　　　的成绩好些;
(2)求出A,B两人的方差,考虑平均数与方差,说明谁的成绩好些;
(3)考虑图中折线走势及竞赛加工零件的个数远远超过10个的实际情况,你认为派谁去合适 简述理由。
【详解答案】
基础达标
1.数据的离散程度
2.解:首先,计算这组数据的平均数:
(2+3+4+5+6+8+11+13)÷8=6.5。
然后计算每个数据与平均数的差值的平方:
(2-6.5)2=(-4.5)2=20.25,
(3-6.5)2=(-3.5)2=12.25,
(4-6.5)2=(-2.5)2=6.25,
(5-6.5)2=(-1.5)2=2.25,
(6-6.5)2=(-0.5)2=0.25,
(8-6.5)2=1.52=2.25,
(11-6.5)2=4.52=20.25,
(13-6.5)2=6.52=42.25。
最后将这些差值的平方相加,得到离差平方和:
20.25+12.25+6.25+2.25+0.25+2.25+20.25+42.25=106。
综上,这组数据的离差平方和为106。
3.B　4.C　5.D　6.D
7.解:甲种农作物长得更整齐。
理由:甲种农作物高度的平均数=×(98+102+100+100+101+99)=100(cm);
乙种农作物高度的平均数=×(100+103+101+97+100+99)=100(cm);
×[(98-100)2+(102-100)2+…+(99-100)2]=;
×[(100-100)2+(103-100)2+…+(99-100)2]=。
因为,
所以甲种农作物长得更整齐。
能力提升
1.A　解析:A.假设选出的数据没有1,则选出的数据为2,3,5,6时,方差最大,此时=(2+3+5+6)÷4=4,方差为s2=[(2-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(6-4)2]=2.5,当数据为1,2,5,6时,=(1+2+5+6)÷4=3.5,s2=[(1-3.5)2+(2-3.5)2+(5-3.5)2+(6-3.5)2]=4.25,故该选项符合题意;B.当该同学选出的四个数字为2,3,5,6时,由以上分析可知,s2=2.5,故该选项不符合题意;C.当该同学选出的四个数字为2,3,4,5时,=(2+3+4+5)÷4=3.5,故该选项不符合题意;D.当选出的数据为2,4,5,6或2,3,4,6时,最大数和最小数的差也是4,故该选项不符合题意。故选A。
2.C　解析:由题意可知,10环出现的次数最多,为4次,故众数为10环;这10次射击成绩的平均数为×(7+2×8+3×9+4×10)=9(环),故方差为×[(7-9)2+2×(8-9)2+3×(9-9)2+4×(10-9)2]=1。故选C。
3.A　解析:设一组数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为,则方差为[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]=2,所以数据x1+3,x2+3,x3+3,…,xn+3的平均数为+3,方差为[(x1+3--3)2+(x2+3--3)2+…+(xn+3--3)2]=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]=2。故选A。
4.　解析:数据0,1,2,3,x的平均数是2,即0+1+2+3+x=2×5,解得x=4。方差s2=×[(0-2)2+(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2+(4-2)2]=2,则标准差s=。
5.36,4　解析:因为这组数据的平均数是37,所以编号为3的同学得分是37×5-(38+34+37+40)=36,被遮盖的方差是×[(38-37)2+(34-37)2+(36-37)2+(37-37)2+(40-37)2]=4。
6.　解析:因为平均数是12,所以这组数据的和为12×7=84。所以被墨汁覆盖的数字之和为84-(11+12+13+12)=36,因为这组数据唯一众数是13,所以被墨汁覆盖的三个数为10,13,13,再计算这组数据的方差为。
7.解:计算每个数组的平均数:
A1:=4,
A2:=5,
A3:=7。
则每个数组的离差平方和为
A1:(1-4)2+(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(9-4)2=40,
A2:(2-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(7-5)2+(6-5)2=16,
A3:(3-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(9-7)2+(9-7)2=26。
8.解:(1)A
(2)×[5×(20-20)2+3×(19.9-20)2+(20.1-20)2+(20.2-20)2]=0.008,×[3×(20.2-20)2+3×(19.8-20)2+(19.9-20)2+(20.1-20)2+2×(20-20)2]=0.026。
因为,,
所以A更稳定,A的成绩好些。
(3)派B去更合适。理由:从折线走势看,B的成绩越来越接近20 mm,并趋于稳定,所以派B去更合适。第4课时　方差与组内离差平方和达到最小
方差的应用
1.甲、乙两学生在军训打靶训练中,打靶的总次数相同,且所中环数的平均数也相同,但甲的成绩比乙的成绩稳定,那么两者的方差的大小关系是 (　　)
A. B. C. D.不能确定
2.如图是甲、乙两人6次投篮测试(每次投篮10个)成绩的统计图,甲、乙两人测试成绩的方差分别记作,,则　　　 。(填“>”“=”或“<”)
分组使组内离差平方和最小的方法
3.按照“组内离差平方和达到最小”的方法,把数据1,3,7,8,10,12,13,15,19,21,24分成两组。
1.下表记录了两位射击运动员的八次训练成绩:
运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次
甲 10 7 7 8 8 8 9 7
乙 10 5 5 8 9 9 8 10
根据以上数据,设甲、乙的平均数分别为 ,, 甲、乙的方差分别为,,则下列结论正确的是 (　　)
A., B.,
C., D.,
2.把数据8,9,12,15,18,19,21,26分成两组,使组内离差平方和最小: 　　　　　　　　　　　。
3.(数据观念)某试验基地对新培育的甲、乙两个枸杞改良品种各试种200棵,从中各随机抽取10棵,对其产量(kg/棵)进行整理分析。给出了下列部分信息。
甲品种产量:2.0,3.2,3.1,3.2,3.1,2.5,3.2,3.6,3.8,3.9;
乙品种产量:如图所示(不完整)。
项目 平均数 众数 方差
甲品种 3.16 a 0.294 4
乙品种 3.16 3.5 0.148 4
(1)补全折线统计图(图中要写上数据);
(2)a=　　　　;
(3)从枸杞产量的稳定性角度考虑,你认为该基地应推广种植哪个品种的枸杞 并说明理由。
【详解答案】
基础达标
1.A　2.<
3.解:将11个数据分为2组,共有10种情况:第1组1个数据{1},第2组10个数据{3,…,24};第1组2个数据{1,3},第2组9个数据{7,…,24}……第1组10个数据{1,…,21},第2组1个数据{24}。计算10种分组情况的组内离差平方和,结果如下:
分组情况 组内离差平方和
第一组1个,第二组10个 395.6
第一组2个,第二组9个 282
第一组3个,第二组8个 238.167
第一组4个,第二组7个 192.179
第一组5个,第二组6个 168.133
第一组6个,第二组5个 166.033
第一组7个,第二组4个 162.179
第一组8个,第二组3个 178.542
第一组9个,第二组2个 266.056
第一组10个,第二组1个 374.9
计算结果表明第7种情况的组内离差平方和最小,因此把数据分成的两组是{1,3,7,8,10,12,13},{15,19,21,24}。
能力提升
1.A　解析:×(10+7+7+8+8+8+9+7)=8,×(10+5+5+8+9+9+8+10)=8,×[(10-8)2+(7-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(7-8)2]=1,×[(10-8)2+(5-8)2+(5-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(9-8)2+(8-8)2+(10-8)2]=,所以,。故选A。
2.{8,9,12,15},{18,19,21,26}
解析:将8个数据分为2组,共有7种情况:第1组1个数据{8},第2组7个数据{9,…,26};第1组2个数据{8,9},第2组6个数据{12,…,26}……第1组7个数据{8,…,21},第2组1个数据{26}。计算8种分组情况的组内离差平方和,结果如下:
分组情况 组内离差平方和
第一组1个,第二组7个 194.857
第一组2个,第二组6个 118
第一组3个,第二组5个 75.467
第一组4个,第二组4个 68
第一组5个,第二组3个 95.2
第一组6个,第二组2个 118
第一组7个,第二组1个 153.714
计算结果表明第4种情况的组内离差平方和最小,因此把数据分成的两组是{8,9,12,15},{18,19,21,26}。
3.解:(1)设乙品种第7棵的产量为x kg。
由题意,得(2.5+2.7+3.5+3.0+3.4+2.7+x+3.6+3.5+3.2)÷10=3.16,
解得x=3.5。
所以补全折线统计图,如图所示:
(2)3.2
(3)该基地应推广种植乙品种的枸杞。理由:因为乙品种产量的方差为0.148 4,甲品种产量的方差为0.294 4,0.148 4<0.294 4,
所以乙品种的枸杞产量更加稳定。
所以该基地应推广种植乙品种的枸杞。

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