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3　平行线的证明
第1课时　平行线的判定
两直线平行的判定
1.如图,已知∠1=∠2,则有 (　　)
A.AB∥CD B.AE∥DF
C.AB∥CD且AE∥DF D.以上都不对
2.下列图形中,由∠1=∠2能得到AB∥CD的是 (　　)
A B C D
3.如图,可以得到DE∥BC的条件是 (　　)
A.∠ACB=∠BAC B.∠ABC+∠BAE=180°
C.∠ACB+∠BAD=180° D.∠ACB=∠BAD
4.如图,若∠CBE=∠A,则AD∥BC,理由是　 。
5.如图,过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法,其依据是　　　　　　　　　。
6.如图,直线EF分别与直线AB,CD交于M,N两点,∠1=55°,∠2=125°。
求证:AB∥CD。(要求写出每一步的理论依据)
1.如图,点E在AC的延长线上,下列条件中能判定AB∥CD的是 (　　)
A.∠3=∠4 B.∠D+∠ACD=180°
C.∠D=∠DCE D.∠1=∠2
2.已知直线BC,小明和小亮想画出BC的平行线,他们的方法如下:
小明　　 小亮
下列说法正确的是 (　　)
A.小明的方法正确,小亮的方法不正确 B.小明的方法不正确,小亮的方法正确
C.小明、小亮的方法都正确 D.小明、小亮的方法都不正确
3.(跨学科)如图,光在不同介质中的传播速度是不同的,因此当光线从水中斜射向空气时,要发生折射。由于折射率相同,所以在水中平行的光线在空气中也是平行的。如图,∠1=48°,∠2=158°,则∠3的度数为 (　　)
A.68° B.70° C.88° D.80°
4.如图,木棒AB,CD与EF分别在G,H处用可旋转的螺丝铆住,∠EGB=100°,∠EHD=80°。将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置,则至少要旋转　　　　°。
5.(开放性试题)如图,已知直线EF⊥MN,垂足为F,且∠1=140°,若增加一个条件使得AB∥CD,试写出一个符合要求的条件:　　　　。
6.如图,把三角尺的直角顶点放在直线b上,若∠1=38°,则当∠2=　　　　°时,a∥b。
7.下列说法:①三边分别相等的两个三角形全等;②垂直于同一直线的两条直线平行;③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;④内错角相等,两直线平行。以上说法正确的有　　　　个。
8.(一题多解)如图,B,E分别是AC,DF上的点,∠A+∠ABF=180°,∠A=∠F。求证:AC∥DF。
9.(推理能力)如图,已知∠ABC=80°,∠BCD=30°,∠CDE=130°,试确定AB与DE的位置关系,并说明理由。
【详解答案】
基础达标
1.B　2.B　3.B
4.同位角相等,两直线平行
5.同位角相等,两直线平行
6.证明:∵∠1=55°(已知),
∴∠CNM=∠1=55°(对顶角相等)。
∵∠2=125°(已知),
∴∠CNM+∠2=180°(等式的性质)。
∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)。
能力提升
1.D　解析:A.由∠3=∠4可判定DB∥AC,故此选项错误;B.由∠D+∠ACD=180°可判定DB∥AC,故此选项错误;C.由∠D=∠DCE可判定DB∥AC,故此选项错误;D.由∠1=∠2可判定AB∥CD,故此选项正确。故选D。
2.C　解析:小明的方法:∵∠COD=∠D=90°,∴∠COD+∠D=180°。∴BC∥DE。∴小明的方法正确。小亮的方法:由作图,知∠B=∠ADE,∴BC∥DE。∴小亮的方法正确。故选C。
3.B　解析:如图,标注各点。
根据题意可知,AC∥DE∥FG,BD∥CE,DF∥EG。∵BC∥DE,∴∠BDE=∠1=48°。∴∠EDF=∠2-∠BDE=158°-48°=110°。∵DE∥FG,∴∠DFG=180°-∠EDF=180°-110°=70°。∵DF∥EG,∴∠3=∠DFG=70°。故选B。
4.20　解析:当∠EGB=∠EHD时,AB∥CD。
∵∠EGB=100°,∠EHD=80°,∴∠EGB需要变小20°,即木棒AB绕点G逆时针旋转20°。
5.∠2=50°(答案不唯一)　解析:增加的条件为∠2=50°。∵EF⊥MN,∴∠EFM=90°。∵∠2=50°,∴∠BFM=∠EFM+∠2=140°。∴∠AFN=∠BFM=140°。∵∠1=140°,∴∠AFN=∠1。∴AB∥CD。
6.52　解析:如图,标注∠3。∵∠1=38°,∴∠3=180°-90°-38°=52°。当∠2=52°时,∠2=∠3,∴a∥b。
7.2　解析:三边分别相等的两个三角形全等,故①正确;在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线平行,故②错误;过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故③错误;内错角相等,两直线平行,是平行线的判定定理,故④正确。综上所述,说法正确的为①④,共2个。
8.证明:方法一:∵∠A+∠ABF=180°,∠A=∠F(已知),
∴∠ABF+∠F=180°(等量代换)。
∴AC∥DF(同旁内角互补,两直线平行)。
方法二:∵∠A+∠ABF=180°(已知),
∴AE∥BF(同旁内角互补,两直线平行)。
∴∠A=∠CBF(两直线平行,同位角相等)。
∵∠A=∠F(已知),
∴∠CBF=∠F(等量代换)。
∴AC∥DF(内错角相等,两直线平行)。
9.解:AB∥DE。
理由如下:如图,过点C作FG∥AB,
∴∠GCB=∠ABC=80°。
∵∠BCD=30°,
∴∠DCG=∠GCB-∠BCD=80°-30°=50°。
又∵∠CDE=130°,∴∠DCG+∠CDE=180°。
∴DE∥FG。∴AB∥DE。第2课时　平行线的性质
平行线的性质
1.如图,一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向,∠A=130°,那么∠B的度数是 (　　)
A.160° B.150° C.140° D.130°
2.如图,已知a∥b,l与a,b相交。若∠1=70°,则∠2的度数等于 (　　)
A.120° B.110° C.100° D.70°
3.如图,AB∥CD,CE平分∠BCD,∠B=36°,则∠DCE等于 (　　)
A.18° B.36° C.45° D.54°
4.一杆古秤在称物时的状态如图所示,已知∠1=102°,则∠2的度数为　　　　。
5.如图,AB∥CD,BC∥ED,∠B=80°,则∠D=　　　　°。
6.如图,已知B,E分别是AC,DF上一点,∠1=∠2,∠C=∠D。
求证:∠A=∠F。
1.如图,AB∥CD,EF∥GH,∠1=60°,则∠2补角的度数为 (　　)
A.60° B.100°
C.110° D.120°
2.光线在不同介质中的传播速度是不同的,因此光线从水中斜射向空气时,要发生折射。由于折射率相同,所以在水中平行的光线,在空气中也是平行的。如图,∠1=45°,∠2=120°,则∠3+∠4的度数为 (　　)
A.165° B.155°
C.105° D.90°
3.如图,直线m∥n,△ABC是直角三角形,∠B=90°,点C在直线n上。若∠1=50°,则∠2的度数是 (　　)
A.60° B.50°
C.45° D.40°
4.如图,有一条直的等宽纸带,按图折叠时形成一个30°的角,则重叠部分的∠α等于 (　　)
A.75° B.70°
C.65° D.60°
5.图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图,图2是其示意图,其中AB,CD都与地面l平行,∠BCD=60°,∠BAC=54°。当AM∥CB时,∠MAC的度数为 (　　)
图1　 图2
A.16° B.60° C.66° D.114°
6.某些灯具的设计原理与抛物线有关。如图,从点O照射到抛物线上的光线OA,OB等反射后都沿着与PQ平行的方向射出。若∠AOB=150°,∠OBD=90°,则∠OAC=　　　　°。
7.(跨学科)如图所示是地球截面图,其中AB,EF分别表示南回归线和北回归线,CD表示赤道,点P表示太原市的位置。现已知地球南回归线的纬度是南纬23°26'(∠BOD=23°26'),太原市的纬度是北纬37°32'(∠POD=37°32'),而冬至正午时,太阳光直射南回归线(光线MB的延长线经过地心O),则太原市冬至正午时,太阳光线与地面水平线PQ的夹角∠α的度数是　　　　。
8.如图,已知AB∥CD,AD∥CE。
求证:∠BAE=∠C+∠E。
9.(几何直观)如图,已知∠A=90°+x°,∠B=90°-x°,∠CED=90°,4∠C-∠D=30°,射线EF∥AC。
(1)判断射线EF与BD的位置关系,并说明理由;
(2)求∠C,∠D的度数。
【详解答案】
基础达标
1.D　2.B　3.A　4.78°　5.100
6.证明:∵∠1=∠2,∠2=∠3,∴∠1=∠3。
∴BD∥CE。∴∠C=∠DBA。
∵∠C=∠D,∴∠D=∠DBA。
∴DF∥AC。∴∠A=∠F。
能力提升
1.D
2.C　解析:∵在水中平行的光线,在空气中也是平行的,∠1=45°,∴∠3=∠1=45°。∵水面与杯底面平行,∠2=120°,∴∠4=180°-∠2=60°。∴∠3+∠4=105°。故选C。
3.D　解析:如图,延长AB交直线n于点D。∵m∥n,∠1=50°,∴∠BDC=∠1=50°。∵∠ABC=90°,∴∠CBD=90°。∴∠2=90°-∠BDC=90°-50°=40°。故选D。
4.A　解析:如图。∵纸带的两边互相平行,∴∠2=30°。由翻折的性质可知,∠1=∠α,∴∠α==75°。故选A。
5.C　解析:∵AB,CD都与地面l平行,∴AB∥CD。∴∠BAC+∠ACD=180°。∴∠BAC+∠ACB+∠BCD=180°。∵∠BCD=60°,∠BAC=54°,∴∠ACB=180°-∠BAC-∠BCD=66°。∵AM∥CB,∴∠MAC=∠ACB=66°。故选C。
6.60　解析:∵PQ∥BD,∴∠POB=∠OBD=90°。∵∠AOB=150°,∴∠AOP=∠AOB-∠POB=150°-90°=60°。∵AC∥PQ,∴∠OAC=∠AOP=60°。
7.29°2'　解析:∵∠BOD=23°26',∠POD=37°32',∴∠MOP=23°26'+37°32'=60°58'。∵MO∥NP,∴∠MOP+∠NPO=180°。∴∠NPO=180°-60°58'=119°2'。∴∠α=119°2'-90°=29°2'。
8.证明:∵AB∥CD,∴∠BAD=∠D。
∵AD∥CE,
∴∠D=∠C,∠DAE=∠E。
∴∠BAD=∠C。
∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=∠C+∠E。
9.解:(1)EF∥BD。理由如下:
∵∠A+∠B=90°+x°+90°-x°=180°,
∴AC∥BD。
∵EF∥AC,∴EF∥BD。
(2)∵AC∥EF∥BD,
∴∠CEF=∠C,∠DEF=∠D。
∵∠CED=∠CEF+∠DEF=90°,
∴∠C+∠D=90°。
联立解得
∴∠C的度数是24°,∠D的度数是66°。

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