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第七章　证明 评估测试卷
(满分:120分　时间:120分钟)
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列语句中是命题的是 (　　)
A.反对铺张浪费 B.今天会下雨吗
C.作线段AB=a D.a与b的差小于8
2.如图是小明学行线的判定”时用到的学具,经测量∠2=105°,要使木条a与b平行,则∠1的度数应为 (　　)
A.45° B.75° C.105° D.135°
3.如图,直线c与直线a,b都相交。若a∥b,∠1=35°,则∠2= (　　)
A.145° B.65° C.55° D.35°
4.下列命题中,不能作为公理的是 (　　)
A.两点之间线段最短
B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C.全等三角形的面积相等
D.同位角相等,两直线平行
5.如图,含30°角的直角三角尺DEF放置在△ABC上,30°角的顶点D在边AB上,DE⊥AB。若∠B为锐角,BC∥DF,则∠B的度数为 (　　)
A.30° B.45° C.60° D.75°
6.给出下列命题:①若x2=4,则x=2;②64的平方根是±8;③两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等;④若a2=b2,则a=b;⑤若式子有意义,则x>1。其中假命题有 (　　)
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
7.如图,在下列条件中,能够证明AD∥BC的条件是 (　　)
A.∠1=∠4 B.∠B=∠5
C.∠1+∠2+∠D=180° D.∠2=∠3
8.学行线后,小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法。她是通过折一张半透明的纸得到的[如图(1)~(4)],从图中可知,小敏画平行线的依据有 (　　)
(1)　 (2) 　(3)　 (4)
①两直线平行,同位角相等;②两直线平行,内错角相等;③同位角相等,两直线平行;④内错角相等,两直线平行。
A.①② B.②③
C.③④ D.①④
9.小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题:如图,已知EF⊥AB,CD⊥AB。
小明说:“如果还知道∠CDG=∠BFE,那么能得到∠AGD=∠ACB。”
小亮说:“把小明的已知和结论倒过来,即由∠AGD=∠ACB,可得到∠CDG=∠BFE。”
小刚说:“∠AGD一定大于∠BFE。”
小颖说:“如果连接GF,那么GF一定平行于AB。”
他们四人中,有　　　　个人的说法是正确的 (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
10.一副透明三角尺叠放如图1所示,现将含45°角的三角尺ADE固定不动,将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动,使两块三角尺至少有一组边互相平行,如图2,当∠BAD=15°时, BC∥DE,则∠BAD(0°<∠BAD<180°)其他所有可能符合条件的度数为 (　　)
图1　 　图2
A.60°和135° B.45°,60°,105°和135°
C.30°和45° D.以上都有可能
二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分)
11.(2025洛阳期中)要证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题,可举出一个反例:　　　　　　　　。
12.“互为相反数的两个数相加得0”改写成“如果……,那么……”的形式为　。
13.如图,在△ABC中,∠A=63°,直线MN∥BC,且分别与AB,AC相交于点D,E。若∠AEN=133°,则∠B的度数为　　　　。
14.如图,直线l1∥l2,∠α=∠β,∠1=40°,则∠2=　　　　。
15.用一张等宽的纸条折成如图所示的图案,若∠1=20°,则∠2的度数为　　　　。
三、解答题(本题共8小题,共75分,解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
16.(6分)请你在横线上填写适当的内容:如图,已知AB∥CD,∠A=∠C,则可推得AD∥BC。理由如下:
∵AB∥CD(已知),
∴∠A+∠D=180°(　　　　　　　　　)。
∵∠A=∠C(已知),
∴∠C+∠D=180°(　　　　)。
∴AD∥BC(　　　　　　　　　)。
17.(8分)如图,AB∥CD,AB∥GE,∠B=110°,∠C=100°。∠BFC等于多少度 为什么
18.(8分)判断下列命题是真命题还是假命题。如果是假命题,举一个反例。
(1)若a2>b2,则a>b;
(2)同位角相等,两直线平行;
(3)一个角的余角小于这个角。
19.(8分)如图,点D,E分别在AB,BC上,DE∥AC,∠1=∠2。求证:∠F=∠CBF。
20.(10分)如图,MN,EF分别表示两面互相平行的镜面,一束光线AB照射到镜面MN上,反射光线为BC,此时∠1=∠2;光线BC经过镜面EF反射后的反射光线为CD,此时∠3=∠4。
求证:AB∥CD。
21.(10分)如图,AB∥CD,∠BED=61°,∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F。求∠DFB的度数。
22.(12分)按要求解答:
(1)比较下列算式结果的大小:(填“>”“<”或“=”)
①42+32　　　　2×4×3;
②(-2)2+12　　　　2×(-2)×1;
③()2+　　　　2×;
④32+32　　　　2×3×3;
(2)通过观察、归纳,写出能反映这种规律的一般结论,并说明理由。
23.(13分)(跨学科)【学习新知】射到平面镜上的光线(入射光线)和反射后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等。如图1,AB是平面镜,若入射光线与水平镜面的夹角为∠1,反射光线与水平镜面的夹角为∠2,则∠1=∠2。
(1)【初步应用】如图2,有两块平面镜AB,BC,入射光线DO1经过两次反射,得到反射光线O2E,若∠B=90°,求证:DO1∥O2E。
(2)【拓展探究】如图3,有三块平面镜AB,BC,CD,入射光线EO1经过三次反射,得到反射光线O3F。已知∠1=36°,∠B=120°,若要使EO1∥O3F,则∠C为多少度
　
图1 图2　 图3
【详解答案】
1.D　解析:判断一件事情的句子,叫作命题。A,B,C不符合命题的定义,D符合命题的定义。故选D。
2.B　解析:如图。∵∠2=105°,∴∠3=∠2=105°。要使b与a平行,则∠1+∠3=180°。∴∠1=180°-∠3=180°-105°=75°。故选B。
3.D　解析:如图。
∵∠1=35°,
∴∠3=∠1=35°。
∵a∥b,∴∠2=∠3=35°。故选D。
4.C　解析:A,B,D经过人类长期反复的实践检验是真实的,不需要由其他判断加以证明,故是公理。故选C。
5.C　解析:∵DE⊥AB,∴∠ADE=90°。∵∠FDE=30°,∴∠ADF=90°-30°=60°。∵BC∥DF,∴∠B=∠ADF=60°。
6.B　解析:易知②③是真命题。若x2=4,则x=±2,故①是假命题;若a2=b2,则a=±b,故④是假命题;若式子有意义,则x≥1,故⑤是假命题。故选B。
7.D　解析:A.∠1=∠4,则AB∥DE,故选项错误;B.∠B=∠5,则AB∥DE,故选项错误;C.∵∠1+∠2+∠D=180°,即∠BAD+∠D=180°,∴AB∥DE,故选项错误;D.∠2=∠3,则AD∥BC,故选项正确。故选D。
8.C　解析:如图,由折纸过程可知,∠1=∠2,为内错角相等;∠1=∠4,为同位角相等。可知小敏画平行线的依据有:同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行。故选C。
(1)　 (2)　 (3)　 (4)
9.B　解析:∵EF⊥AB,CD⊥AB,∴CD∥EF。若∠CDG=∠BFE,∵∠BCD=∠BFE,∴∠BCD=∠CDG。则DG∥BC。∴∠AGD=∠ACB。∴小明的说法正确。若∠AGD=∠ACB,则DG∥BC。∴∠BCD=∠CDG。∵∠BCD=∠BFE,
∴∠CDG=∠BFE。∴小亮的说法正确。∵DG不一定平行于BC,∴∠AGD不一定大于∠BFE。∴小刚的说法错误。如果连接GF,则GF不一定平行于AB,∴小颖的说法错误。综上所述,正确的说法有2个。故选B。
10.B　解析:如图,当AC1∥DE时,∠B1AD=∠DAE=45°;当B2C2∥AD时,∠DAB2=∠B2=60°;当B3C3∥AE时,∵∠EAB3=∠AB3C3=60°,∴∠B3AD=∠DAE+∠EAB3=45°+60°=105°;当AB4∥DE时,∵∠E=∠EAB4=90°,∴∠B4AD=∠DAE+∠EAB4=45°+90°=135°。
11.锐角是15°,钝角是100°(答案不唯一)
解析:例如,锐角是15°,钝角是100°。∵15°+100°=115°<180°,∴命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题。
12.如果两个数互为相反数,那么这两个数相加得0
13.70°　14.140°
15.140°　解析:标注各角如图。由折叠,可得∠1=∠3=20°,∴∠4=180°-∠1-∠3=140°。∵这是一张等宽的纸条,∴纸条的两边平行。∴∠2=∠4=140°。
16.解:两直线平行,同旁内角互补　等量代换
同旁内角互补,两直线平行
17.解:∠BFC=30°。理由如下:
∵AB∥GE,
∴∠B+∠BFG=180°。
∵∠B=110°,
∴∠BFG=180°-110°=70°。
∵AB∥CD,AB∥GE,
∴CD∥GE。
∴∠C+∠CFE=180°。
∵∠C=100°,
∴∠CFE=180°-100°=80°。
∴∠BFC=180°-∠BFG-∠CFE=180°-70°-80°=30°。
18.解:(1)假命题,如(-2)2>12,但-2<1。
(2)真命题。
(3)假命题,如30°角的余角是60°,而60°>30°。
19.证明:∵DE∥AC,
∴∠1=∠C。
∵∠1=∠2,
∴∠2=∠C。
∴AF∥BC。
∴∠F=∠CBF。
20.证明:∵MN∥EF,
∴∠2=∠3。
又∵∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠1=∠4。
∴∠1+∠2=∠3+∠4。
又∵∠1+∠ABC+∠2=∠3+∠BCD+∠4=180°,
∴∠ABC=∠BCD。
∴AB∥CD。
21.解:如图,过点E作EG∥AB,连接BD。
∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥EG。
∴∠ABE+∠BEG=180°,
∠GED+∠EDC=180°。
∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°。
∵∠BED=61°,
∴∠ABE+∠CDE=360°-61°=299°。
∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F,
∴∠FBE+∠EDF=(∠ABE+∠CDE)=149.5°。
∵∠BDE+∠DBE+∠BED=180°,
∴∠BDE+∠DBE=180°-61°=119°。
∴∠FDB+∠FBD=∠EDF+∠FBE-(∠BDE+∠DBE)=30.5°。
∴∠DFB=180°-(∠FDB+∠FBD)=149.5°。
22.解:(1)①>　②>　③>　④=
(2)结论:a2+b2≥2ab(当a=b时,等号成立)。
理由:∵(a-b)2≥0,
∴a2-2ab+b2≥0,
即a2+b2≥2ab。
23.解:(1)证明:∵∠B=90°,
∠B+∠2+∠3=180°,
∴∠2+∠3=90°。
∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠1+∠4=90°。
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°。
∵∠1+∠DO1O2+∠2=180°,
∠3+∠O1O2E+∠4=180°,
∴∠DO1O2+∠O1O2E=180°。
∴DO1∥O2E。
(2)如图,过点O2作O2M∥O1E。
∵∠1=∠2=36°,
∠B=120°,
∴∠3=180°-36°-120°=24°。
∴∠4=∠3=24°。
∵∠1=∠2=36°,
∠1+∠EO1O2+
∠2=180°,
∴∠EO1O2=108°。
同理,∠O1O2O3=132°。
∵O2M∥O1E,
∴∠EO1O2+∠O1O2M=180°。
∴∠O1O2M=180°-∠EO1O2=72°。
∴∠MO2O3=∠O1O2O3-∠O1O2M=60°。
∵O2M∥O1E,O1E∥O3F,
∴O2M∥O3F。
∴∠MO2O3+∠O2O3F=180°。
∴∠O2O3F=180°-∠MO2O3=120°。
∴∠5=∠6=×(180°-∠O2O3F)=30°。
∴∠C=180°-∠4-∠5=126°。

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