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第一章　勾股定理 评估测试卷
(满分:120分　时间:120分钟)
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列几组数中是勾股数的一组是 (　　)
A.3,4,6 B.1.5,2,2.5 C.9,12,15 D.6,8,13
2.如图,小明将一张长为20 cm,宽为15 cm的长方形纸片(AE>DE)剪去了一角,量得AB=3 cm,CD=4 cm,则剪去的直角三角形的斜边长为 (　　)
A.5 cm B.12 cm C.16 cm D.20 cm
3.在△ABC中,AB=8,BC=15,AC=17,则下列结论正确的是(　　)
A.△ABC是直角三角形,且∠A=90°
B.△ABC是直角三角形,且∠B=90°
C.△ABC是直角三角形,且∠C=90°
D.△ABC不是直角三角形
4.(2025保定高碑店月考)如图,小亮家的木门左下角有一点受潮,他想检测门是否变形,准备采用如下方法:先测量门的边AB和BC的长,再测量点A和点C间的距离,由此可推断∠B是否为直角,这样做的依据是 (　　)
A.勾股定理
B.三角形内角和定理
C.如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形
D.直角三角形的两锐角互余
5.如图,在△ABC中,已知AB=AC=5 cm,BC=8 cm,则AB边上的高为 (　　)
A.2.4 cm B.3 cm C.4.8 cm D.无法确定
6.如图,圆柱的底面直径为AB,高为AC,一只蚂蚁在C处,沿圆柱的侧面爬到B处。现将圆柱侧面沿AC“剪开”,在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线,正确的是 (　　)
　 　 　 　 　 　
A B C D
7.如图,有一个小水池,水面是一个边长为14 dm的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面
1 dm,如果把这根芦苇拉向水池的一边,它的顶端恰好到达池边的水面,则水的深度是 (　　)
A.15 dm B.24 dm C.25 dm D.28 dm
8.(2025沈阳月考)下列说法正确的是 (　　)
A.在Rt△ABC中,已知两边长分别为3和4,则第三边的长为5
B.若△ABC的三边长满足BC2+AC2=AB2,则∠A=90°
C.若三角形的三边长之比为8∶16∶17,则该三角形是直角三角形
D.在△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=1∶5∶6,则△ABC是直角三角形
9.如图,在Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使点A与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为 (　　)
A. B.
C.4 D.5
10.如图,在正方形方格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,点A,B,C,D,E均在小正方形方格的顶点上,线段AB,CD交于点F。若∠CFB=α,则∠ABE等于 (　　)
A.180°-α B.180°-2α
C.90°+α D.90°+2α
二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分)
11.如图,阴影部分是一个正方形,此正方形的面积为　 cm2。
12.如图,一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处,旗杆折断之前的高度是　　　　。
13.(2024陕西中考)如图,在△ABC中,AB=AC,E是边AB上一点,连接CE,在BC的右侧作BF∥AC,且BF=AE,连接CF。若AC=13,BC=10,则四边形EBFC的面积为　　　　。
14.如图,一根长为18 cm的牙刷置于底面直径为5 cm、高为12 cm的圆柱形水杯中,牙刷露在杯子外面的长度为h cm,则h的取值范围是　　　　　　。
15.如图,在△ABC中,AB=5,AC=13,BC边上的中线AD=6,则△ABD的面积是　　　　。
三、解答题(本题共8小题,共75分,解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
16.(8分)如图,小亮想知道学校旗杆的高度,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2 m,当他把绳子的下端拉开8 m后,下端刚好接触到地面,则学校旗杆的高度为多少
17.(8分)如图,已知在△ABC中,CD⊥AB于点D,BD=9,BC=15,AC=20。
(1)求CD的长;
(2)求AB的长。
18.(8分)某市举行了“青少年无人机设计大赛”,张帆同学用自己设计的无人机测量某大楼的高度AB。如图,张帆站在地面上的点D处,将无人机从点C处放飞,无人机沿直线飞行到大楼顶端A处后停止。测得无人机飞行的路程AC=13 m,张帆同学的身高CD=1.6 m,张帆同学到大楼AB的水平距离BD=CE=5 m,已知CD⊥BD,AB⊥BD,CE⊥AB,BE=CD,求大楼的高度AB。
19.(8分)一个几何体从三个方向看到的形状如图所示,如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发,沿表面爬到CD的中点E,请你求出这个线路的最短路径长的平方。(结果保留π)
20.(8分)如图,教学楼走廊左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙底部的距离为0.7 m,顶端距离地面2.4 m。如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2 m,求教学楼走廊的宽度。
21.(10分)如图,小岛A位于港口C的北偏西39°方向上,小岛B位于港口C的北偏东51°方向上,且与港口C相距200 n mile,小岛B与小岛A相距250 n mile。
(1)求小岛A与港口C的距离;
(2)在小岛B处有一艘载满货物的货船,以每小时20 n mile的速度从小岛B出发沿BA方向航行,当货船距离港口C最近时,求货船还需航行多长时间才能到达小岛A
22.(12分)发现:如果两个连续的正整数的和可以表示成某一个正整数的平方,那么以这三个正整数为边长的三角形是直角三角形。
验证:如12+13=25=52,请判定以12,13和5为边长的三角形是直角三角形。
探究:设两个连续的正整数m和m+1的和可以表示成正整数n2,请验证“发现”中的结论正确。
应用:寻找一组含正整数9,且满足“发现”中的结论的数字。
23.(13分)问题情境:勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其妙处各有不同,其中的“面积法”给了小聪灵感,他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形如图1或图2所示摆放时,都可以用“面积法”来验证勾股定理。下面是小聪利用图1验证勾股定理的过程:
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放,其中∠DAB=90°,试说明:a2+b2=c2。
解:如图1,连接DB,DC,过点D作DG⊥BC,交BC的延长线于点G,则DG=EC=b-a。
因为S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab,
S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a(b-a),
所以b2+ab=c2+a(b-a)。
所以a2+b2=c2。
请参照上述证法,利用图2完成下面的验证。
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中∠BAF=90°,试说明:a2+b2=c2。
图1　 　图2
【详解答案】
1.C　2.D
3.B　解析:因为在△ABC中,AB=8,BC=15,AC=17,所以AB2+BC2=82+152=289=172=AC2。所以△ABC是直角三角形。因为AC为斜边,所以∠B=90°。故B正确。故选B。
4.C　解析:若AB2+BC2=AC2,则△ABC是直角三角形,且∠B=90°。故选C。
5.C　解析:如图,过点A作AD⊥BC于点D,过点C作CE⊥BA交BA的延长线于点E。因为AB=AC=5 cm,BC=
8 cm,AD⊥BC,所以BD=CD=BC=4 cm。在Rt△ADB中,AD2=AB2-BD2=52-42=9。所以AD=3 cm。因为S△ABC=,所以。所以CE=4.8 cm。故选C。
6.C　解析:将圆柱侧面沿AC“剪开”,侧面展开图为长方形。因为圆柱的底面直径为AB,所以B是展开图的一边的中点。因为两点之间线段最短,所以C选项符合题意。故选C。
7.B　解析:依题意画出示意图,如图所示。设芦苇长AB=AB'=x dm,则水深AC=(x-1)dm。因为B'E=14 dm,所以B'C=7 dm。在Rt△AB'C中,因为CB'2+AC2=AB'2,所以72+(x-1)2=x2。解得x=25。所以这根芦苇长25 dm。所以水的深度是25-1=24(dm)。故选B。
8.D　解析:在Rt△ABC中,已知两边长分别为3和4,则第三边的长有两种情况,故A说法错误,不符合题意;若△ABC的三边长满足BC2+AC2=AB2,则∠C=90°,故B说法错误,不符合题意;若三角形的三边长之比为8∶16∶17,82+162≠172,则该三角形不是直角三角形,故C说法错误,不符合题意;在△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=1∶5∶6,则∠C=180°×=90°,则△ABC是直角三角形,故D说法正确,符合题意。故选D。
9.C　解析:设BN=x,由折叠的性质可得DN=AN=AB-BN=9-x。因为D是BC的中点,所以BD=BC=3。在Rt△BDN中,x2+32=(9-x)2,解得x=4。故线段BN的长为4。故选C。
10.C　解析:如图,过点B作BG∥CD,且BG=CD,连接EG。因为BG∥CD,所以∠ABG=∠CFB=α。因为BG2=12+42=17,BE2=12+42=17,EG2=32+52=34,所以BG2+BE2=EG2。所以△BEG是直角三角形,∠GBE=90°。所以∠ABE=∠GBE+∠ABG=90°+α。故选C。
11.64　解析:由题图可知172-152=64,所以正方形的面积为64 cm2。
12.18 m　解析:旗杆折断后,落地点与旗杆底部的距离为12 m,旗杆在离地面5 m处折断,且旗杆与地面是垂直的,所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形。根据勾股定理,得122+52=132,所以旗杆折断之前的高度为13+5=18(m)。
13.60　解析:因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB。因为BF∥AC,所以∠ACB=∠CBF。所以∠ABC=∠CBF。所以BC平分∠ABF。如图,过点C作CM⊥AB于点M,CN⊥BF于点N,则CM=CN。因为S△ACE=AE·CM,S△CBF=BF·CN,且BF=AE,所以S△CBF=S△ACE。所以四边形EBFC的面积=S△CBF+S△CBE=S△ACE+S△CBE=S△CBA。因为AC=13,所以AB=13。设AM=x,则BM=13-x,由勾股定理,得CM2=AC2-AM2=BC2-BM2,所以132-x2=102-(13-x)2。解得x=。所以CM=。所以S△CBA=AB·CM=60。所以四边形EBFC的面积为60。
14.5≤h≤6　解析:当牙刷与杯底垂直时h最大,h的最大值为18-12=6。当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时h最小。各点字母标注如图所示,此时AB2=AC2+BC2=122+52=169,所以AB=13 cm。所以h=18-13=5。所以h的取值范围是5≤h≤6。
15.15　解析:如图,延长AD到点E,使AD=DE,连接CE。在△ABD和△ECD中,
所以△ABD≌△ECD(SAS)。所以AB=EC=5,AD=ED=6。所以AE=12。在△AEC中,AC=13,AE=12,CE=5,所以AC2=AE2+CE2。所以∠E=90°。所以S△ABD=S△ECD=EC·DE=×5×6=15。
16.解:设学校旗杆的高度为x m。
由勾股定理,得x2+82=(x+2)2。
解得x=15。
答:学校旗杆的高度为15 m。
17.解:(1)在△BCD中,因为CD⊥AB,
所以BD2+CD2=BC2。
所以CD2=BC2-BD2=152-92=144。
所以CD=12。
(2)在△ACD中,因为CD⊥AB,
所以CD2+AD2=AC2。
所以AD2=AC2-CD2=202-122=256。
所以AD=16。
所以AB=AD+BD=16+9=25。
18.解:因为CE⊥AB,所以∠AEC=90°。
因为AC=13 m,BD=CE=5 m,
所以AE2=AC2-CE2=132-52=144。
所以AE=12 m。
因为BE=CD=1.6 m,
所以AB=AE+BE=12+1.6=13.6(m)。
答:大楼的高度AB为13.6 m。
19.解:由题图可知,此几何体为圆柱,将其侧面的一半展开后,如图所示,连接BE,则BE的长是蚂蚁从点B出发,沿表面爬到CD的中点E的最短路径长。根据题意,得BC=π×2×=π,CE=CD=3。
在Rt△BCE中,由勾股定理,得
BE2=BC2+CE2=π2+9。
所以这个线路的最短路径长的平方是π2+9。
20.解:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=0.7 m,AC=2.4 m,
所以AB2=0.72+2.42=6.25。
在Rt△A'BD中,
∠A'DB=90°,A'D=2 m,
BD2+A'D2=A'B2,
所以BD2+22=6.25。
所以BD2=2.25。
因为BD>0,所以BD=1.5 m。
所以CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(m)。
答:教学楼走廊的宽度是2.2 m。
21.解:(1)由题意得∠ACB=39°+51°=90°,BC=200 n mile,AB=250 n mile。
在Rt△ABC中,AC2=AB2-BC2=22 500,
所以AC=150 n mile。
答:小岛A与港口C的距离为150 n mile。
(2)如图,过点C作CD⊥AB于点D,
当货船航行到点D时,货船距离港口C最近。
因为AB·CD=AC·BC,
所以CD=120 n mile。
在Rt△ACD中,AD2=AC2-CD2=8 100,
所以AD=90 n mile。
所以货船还需航行90÷20=4.5(h)。
答:货船还需航行4.5 h才能到达小岛A。
22.解:验证:因为52+122=169,132=169,
所以52+122=132。
所以以12,13和5为边长的三角形是直角三角形。
探究:由“发现”,得m+m+1=n2,
所以n2=2m+1。
所以m2+n2=m2+2m+1=(m+1)2。
所以以n,m,m+1为边长的三角形是直角三角形。
所以“发现”中的结论正确。
应用:因为40+41=92,
92+402=1 681,412=1 681。
所以92+402=412。
所以以9,40,41为边长的三角形是直角三角形。
即一组含正整数9,且满足“发现”中的结论的数字为9,40,41。
23.解:如图,连接BE,BF,过点B作BG⊥FE,交FE的延长线于点G,则BG=b-a。
因为S四边形ABEF=S△ABE+S△AFE=b2+ab,
S四边形ABEF=S△ABF+S△BFE=c2+a(b-a),
所以b2+ab=c2+a(b-a)。
所以a2+b2=c2。

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