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专项突破4　动力学图像　临界与极值问题
题型1　动力学图像问题
常见的动力学图像及问题
数形结合解决动力学图像问题 (1)尽量先建立函数关系，进而明确图像与公式、图像与规律间的关系；根据函数关系读取图像信息； (2)要注意图线的起点、斜率、截距、折点以及图线与坐标轴包围的“面积”等表示的物理意义，做到数与形结合
角度1　v-t图像
沿固定斜面下滑的物体受到与斜面平行向上的拉力F的作用，其下滑的速度—时间图像如图所示。已知物体与斜面之间的动摩擦因数恒定，在0~5 s、5 s~10 s、10 s~15 s内F的大小分别为F1、F2和F3，则 (　　)
A.F1F3
C.F1>F3 D.F1=F3
角度2　F-t图像与a-t图像
(多选)水平地面上有一质量为m1的长木板，木板的左端上有一质量为m2的物块，如图1所示。用水平向右的拉力F作用在物块上，F随时间t的变化关系如图2所示，其中F1、F2分别为t1、t2时刻F的大小。木板的加速度a随时间t的变化关系如图3所示。已知木板与地面间的动摩擦因数为μ1，物块与木板间的动摩擦因数为μ2。假设最大静摩擦力均与相应的滑动摩擦力相等，重力加速度大小为g。则 (　　)
A.F1=μ1m1g
B.F2=(μ2-μ1)g
C.μ2>μ1
D.在0~t2时间段物块与木板加速度相等
思维导航
角度3　其他图像
(2024·广东高考)如图所示，轻质弹簧竖直放置，下端固定。木块从弹簧正上方H高度处由静止释放。以木块释放点为原点，取竖直向下为正方向。木块的位移为y，所受合力为F，运动时间为t。忽略空气阻力，弹簧在弹性限度内。关于木块从释放到第一次回到原点的过程中，其F-y图像或y-t图像可能正确的是(　　)
A　　 　　　　　B
C　　 　　　　D
如图所示，一根跨过定滑轮的轻绳两端各悬挂一重物，当两重物质量均为m时，系统处于平衡状态。若减小其中一个重物的质量，系统就无法保持平衡，上升重物减小的质量Δm越大，另一个重物下降的加速度a就越大。已知重力加速度为g，则a与Δm的关系图像可能是(　　)　
　　　　
A B
　　　　
C D
题型2　动力学中的临界与极值问题
角度1　相对运动的临界问题
(多选)如图所示，A、B两物块静止叠放在水平地面上，其质量分别为2m和m，A、B间的动摩擦因数为μ，B与地面间的动摩擦因数为μ。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。现对A施加一水平拉力F，则 (　　)
A.当F<2μmg时，A、B都相对地面静止
B.当F=μmg时，A的加速度为μg
C.当F>3μmg时，A相对B滑动
D.无论F为何值，B的加速度都不会超过μg
方法总结 叠加体系统临界问题的求解思路
角度2　恰好脱离的临界问题
如图1所示，一轻质弹簧的下端固定在水平地面上，上端放置一小物块A(与弹簧连接)，在A上再放一小物块B，开始时A、B处于静止状态。现用竖直向上的拉力F作用在物块B上，使物块B竖直向上做匀加速运动。已知拉力F与物块B的位移x间的关系如图2所示，经时间t =0.1 s，物块A、B分离，物块A的质量mA=1 kg，重力加速度g =10 m/s2。求：
(1)物块B的质量mB。
(2)弹簧的劲度系数k。
角度3　动力学中的极值问题
(2023·湖南高考)(多选)如图，光滑水平地面上有一质量为2m的小车在水平推力F的作用下加速运动。车厢内有质量均为m的A、B两小球，两球用轻杆相连，A球靠在光滑左壁上，B球处在车厢水平底面上，且与底面间的动摩擦因数为μ，杆与竖直方向的夹角为θ，杆与车厢始终保持相对静止。假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是 (　　)
A.若B球受到的摩擦力为零，则F=2mgtan θ
B.若推力F方向向左，且tan θ≤μ，则F的最大值为2mgtan θ
C.若推力F方向向左，且μD.若推力F方向向右，且tan θ>2μ，则F的范围为4mg(tan θ-2μ)≤F≤4mg(tan θ+2μ)
练创新试题·知命题导向
1.如图所示，在水平地面上，两个相同物块用细线相连，物块A、B的质量分别为1kg、2kg，它们与地面间的动摩擦因数均为0.1，细线能承受的最大拉力为2N，重力加速度g=10m/s2。若在水平拉力F的作用下，两物块一起向右做匀加速直线运动，则F的最大值为 (　　)
A.3N B.4 N C.5N D.6N
2.(多选)马车是古代的主要运输工具，一匹马水平拉动一车货物的示意图如图所示，车顶有两块木板A和B，A、B之间和B与车之间的接触面都水平，A、B之间的动摩擦因数为μ1，B与车之间的动摩擦因数为μ2，A的质量为m，B的质量为2m。车的质量为5m，地面对车的摩擦力不计，马对车的水平拉力为F，A、B始终没有离开车顶，重力加速度为g，则下列说法正确的是 (　　)
A.如果μ1<μ2，那么不管F多大，A、B都不会发生相对滑动
B.如果μ1>μ2，那么不管F多大，A、B都不会发生相对滑动
C.如果μ1<μ2，那么A、B与车都相对静止时，马拉车的最大拉力F=8μ1mg
D.如果μ1>μ2，那么F=3μ2mg时，B与车之间会发生相对滑动
3.如图所示，某货场需将质量m1=20 kg的货物(可视为质点)从高处运送至地面，为避免货物与地面发生撞击，现利用固定于地面的光滑斜面轨道，使货物从轨道顶端无初速度滑下，轨道高h=1.8 m，轨道斜面倾角为θ。地面上紧靠轨道依次排放两个完全相同的木板A、B，长度均为l=2 m，质量均为m2=20 kg，轨道末端通过微小段圆弧与木板上表面相切，使货物通过轨道末端时速度大小不变，方向变为水平。货物与木板间的动摩擦因数为μ1，木板与地面间的动摩擦因数μ2=0.2。(最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，取g=10 m/s2)
(1)求货物到达斜面轨道末端时的速度大小。
(2)若μ1=0.5，货物是否会从木板B的右端滑出
4.如图1所示，质量相等的小物块A、B(看作质点)并排放置在足够长的倾角θ=30°的斜面上，一劲度系数k=100N/m的轻质弹簧上端固定在斜面顶端，下端与小物块A拴接，开始时弹簧处于原长状态，A、B均静止，现对B施加一沿斜面向上的恒力F=55N，使A和B一起沿斜面向上运动，当速度为零时，立即撤去F，一段时间后，A、B分离并最终停止运动。以初始时A、B静止的位置为坐标原点，以沿斜面向上为正方向，从A、B开始运动到撤去F前瞬间，这段过程中A、B的加速度a随位移x变化的图像如图2所示。已知A、B与斜面间的动摩擦因数相等，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小g=10m/s2。(结果可保留根号)
(1)求小物块A、B的质量和它们与斜面间的动摩擦因数。
(2)在图2坐标系中，画出撤去F后B的a-x关系图线，并在坐标轴上标出B开始沿斜面向下运动和停止运动时的a、x值(不要求推导过程)。
(3)A、B一起沿斜面向上运动和一起沿斜面向下运动的最大速度分别是多少
参考答案
例1　A　解析　由v-t图像可知，0~5 s内的加速度大小a1==0.2 m/s2，方向沿斜面向下，根据牛顿第二定律有mgsin θ-μmgcos θ-F1=ma1，解得F1=mgsin θ-μmgcos θ-0.2m。同理，5 s~10 s内的加速度a2=0，根据牛顿第二定律有mgsin θ-μmgcos θ-F2=ma2，解得F2=mgsin θ-μmgcos θ。10 s~15 s内的加速度大小a3==-0.2 m/s2，方向沿斜面向上，根据牛顿第二定律有mgsin θ-μmgcos θ-F3=ma3，解得F3=mgsin θ-μmgcos θ+0.2m，可得F3>F2>F1，A项正确。
例2　BCD　解析　由题图3可知t1时刻木板刚要滑动，此时物块与木板相对静止，以整体为研究对象有F1=f1=μ1(m1+m2)g，A项错误；由题图3可知，t2时刻物块与木板刚要发生相对滑动，以整体为研究对象，根据牛顿第二定律有F2-μ1(m1+m2)g=(m1+m2)a，以木板为研究对象，根据牛顿第二定律有μ2m2g-μ1(m1+m2)g=m1a>0，解得F2=(μ2-μ1)g，μ2>μ1，B、C两项正确；由题图3可知，0~t2这段时间物块与木板相对静止，所以两者有相同的加速度，D项正确。
例3　B　解析　在木块下落H高度之前，木块所受合力为木块的重力，保持不变，即F=mg，从木块接触弹簧到合力为零前，根据牛顿第二定律有mg-k(y-H)=F，随着y增大F减小；从弹簧弹力大于木块的重力开始到木块运动到最低点过程中，有F=k(y-H)-mg，木块所受合力向上，随着y增大F增大，F-y图像大致如图甲所示，B项正确，A项错误。同理，在木块下落H高度之前，木块做匀加速直线运动，根据y=gt2及v=gt可知，速度逐渐增大，所以y-t图像切线斜率逐渐增大，从木块接触弹簧到合力为零前，根据牛顿第二定律有mg-k(y-H)=F，木块的速度继续增大，木块做加速度减小的加速运动，
所以y-t图像斜率继续增大，从弹簧弹力大于木块的重力开始到木块运动到最低点过程中，F=k(y-H)-mg，木块所受合力向上，木块做加速度增大的减速运动，所以y-t图像斜率减小，到达最低点后，木块向上运动，经以上分析可知，向上运动过程，木块先做加速度减小的加速运动，再做加速度增大的减速运动，再做匀减速直线运动到最高点，y-t图像大致如图乙所示，C、D两项错误。
例4　C　解析　对整体由牛顿第二定律有mg-(m-Δm)g=(m+m-Δm)a，解得a=·Δm=，可知a与Δm不是线性关系，A、B两项错误；当Δm=m时，a=g，且Δm巧思妙解　若其中一个重物质量为0时，即Δm=m时，另一重物做自由落体运动，加速度大小为g，可知B、D两项错误；取Δm=，a=g=，可知C项正确。
例5　BCD　解析　当A、B刚要发生相对滑动时，A、B间的静摩擦力达到最大，即Ff=2μmg。对物块B，根据牛顿第二定律得2μmg-μ·3mg=ma，解得a=μg。对整体，根据牛顿第二定律有F-μ×3mg=3ma，解得F=3μmg，可知当F>3μmg时，A、B发生相对滑动。当F<2μmg时，即水平拉力小于A、B之间的最大静摩擦力，A、B不发生相对滑动。对整体分析，由于整体受到地面的最大静摩擦力Ffmax=μ×3mg=μmg，当F≤μmg时，A、B相对地面静止。当μmg例6　解答　(1)由题图2知F1=10 N时，A、B一起向上加速，F2=15 N时，两物块刚好分离，此时两物块的相互作用力为零，两物块的速度与加速度相同。两状态由牛顿第二定律得F1=(mA+mB)a，F2-mBg=mBa
解得mB=1 kg，a=5 m/s2。
(2)设开始时弹簧压缩量为x1，有kx1=(mA+mB)g
A、B分离时两物块向上运动距离x2=at2
两物块分离时对A有k(x1-x2)-mAg=mAa
解得k=200 N/m。
审题指导　(1)A、B分离前的速度和加速度均相同；(2)A、B分离瞬间，速度和加速度也相同，但A、B间的作用力为零。
例7　CD　解析　设杆的弹力大小为FN，小球A竖直方向受力平衡，则杆水平方向的分力与竖直方向的分力满足tan θ==，可得FNx=mgtan θ；若B球受到的摩擦力为零，对B在水平方向有FNx=ma，可得a=gtan θ；对整体有F=4ma=4mgtan θ，A项错误。若推力F向左，可知整体加速度向左，小球A所受向左的合力的最大值FNx=mgtan θ=mamax。对小球B，由于tan θ≤μ，小球B受到向左的合力FB=μ(FNy+mg)-FNx≥mgtan θ；对整体有Fmax=4mamax。可得Fmax=4mgtan θ，B项错误；若推力F向左，小球B所受向左的合力的最大值FBmax=μ(FNy+mg)-FNx=2μmg-mgtan θ；由于μ≤tan θ≤2μ，可得Fmax审题指导　系统只在水平方向运动，小球A在竖直方向总处于平衡状态，轻杆的弹力沿杆方向，小球A脱离车厢左壁时与小球B受到的静摩擦力达到最大时处于临界状态。分别以A、B小球为研究对象求各种情况下的临界加速度a，以两小球与车厢整体为研究对象求外力F。
练创新试题
1.D
2.BC
3.解答　(1)设货物下滑的加速度为a0，滑到轨道末端时的速度为v0，根据牛顿第二定律得mgsin θ=ma0
由运动学公式得=2a0x，x=
解得v0=6 m/s。
(2)当μ1=0.5时，由分析可知货物在木板A上滑动时，木板不动。设货物在木板A上做减速运动时的加速度大小为a1，货物滑到木板A末端时的速度为v1，由牛顿第二定律得μ1m1g=m1a1
由运动学公式得-=-2a1l
货物在木板B上滑动时，货物做减速运动，加速度大小也为a1，木板B做加速运动，加速度大小为a2，由牛顿第二定律得μ1m1g-μ2(m1+m2)g=m2a2
设经过t1时间二者共速，则满足v1-a1t1=a2t1
在此过程中货物和木板B的位移分别为x1和x2，由运动学公式得
x1=v1t1-a1
x2=a2
解得x1= m，x2= m，x1-x2<2 m，所以货物不会从木板B的右端滑出。
4.解答　(1)A和B一起沿斜面向上运动的过程中，根据牛顿第二定律得F-2mgsin θ-μ·2mgcos θ-kx=2ma
变形可得a=-x+-gsin θ-μgcos θ
结合图2代入数值可得斜率=50 s-2
则m=1kg
纵轴截距为-gsin θ-μgcos θ=15
可得μ=。
(2)撤去F后B的a-x关系图线如图所示。
(3)由A、B的加速度a随位移x变化的图像可知，A、B一起沿斜面向上运动过程中，当a=0时，即在x1=30cm处，速度最大，设为v1，利用a-x图像面积可知×15×30×10-2=×
解得v1=m/s
由A、B的加速度a随位移x变化的图像可知，A、B一起沿斜面向下运动过程中，当kx2=2μmgcos θ-2mgsin θ时，即在x2=5cm处，速度最大，设为v2，利用a-x图像面积可知×27.5×55×10-2=×
解得v2= m/s。(共41张PPT)
专项突破4 动力学图像 临界与
极值问题
题型1 动力学图像问题
常见的动力学 图像及问题 ___________________________________________________________________________________________________
数形结合解决 动力学图像问 题 （1）尽量先建立函数关系，进而明确图像与公式、图
像与规律间的关系；根据函数关系读取图像信息；
（2）要注意图线的起点、斜率、截距、折点以及图线
与坐标轴包围的“面积”等表示的物理意义，做到数与形
结合
角度1 图像
例1 沿固定斜面下滑的物体受到与斜面平行向
上的拉力 的作用，其下滑的速度—时间图像
如图所示。已知物体与斜面之间的动摩擦因数
恒定，在、、内
的大小分别为、和 ，则( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由图像可知，内的加速度大小 ，
方向沿斜面向下，根据牛顿第二定律有
， 解得
。同理，内的加速度 ，
根据牛顿第二定律有 ，解得
。 内的加速度大小
，方向沿斜面向上，根据牛顿第二定律有
，解得
，可得 ，A项正确。
角度2 图像与 图像
例2 （多选）水平地面上有一质量为 的长木板，木板的左端上有一
质量为的物块，如图1所示。用水平向右的拉力作用在物块上， 随
时间的变化关系如图2所示，其中、分别为、时刻 的大小。木
板的加速度随时间 的变化关系如图3所示。已知木板与地面间的动摩
擦因数为，物块与木板间的动摩擦因数为 。假设最大静摩擦力均与
相应的滑动摩擦力相等，重力加速度大小为 。则( )
A.
B.
C.
D.在 时间段物块与木板加速
度相等
√
√
√
[解析] 由题图3可知 时刻木板刚要滑动，此时物块与木板相对静止，
以整体为研究对象有 ，A项错误;由题图3可知，
时刻物块与木板刚要发生相对滑动，以整体为研究对象，根据牛顿第
二定律有 ，以木板为研究对象，根据
牛顿第二定律有 ，解得
， ，B、C两项正确;由题图3可
知， 这段时间物块与木板相对静止，所以两者有相同的加速度，
D项正确。
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角度3 其他图像
例3 (2024·广东高考)如图所示，轻质弹簧竖直放置，下端固
定。木块从弹簧正上方 高度处由静止释放。以木块释放点
为原点，取竖直向下为正方向。木块的位移为 ，所受合力
为，运动时间为 。忽略空气阻力，弹簧在弹性限度内。关
B
A. B. C. D.
于木块从释放到第一次回到原点的过程中，其图像或 图像可
能正确的是( )
[解析] 在木块下落 高度之前，木块所受合力为木块的重力，保持不变，
即 ，从木块接触弹簧到合力为零前，根据牛顿第二定律有
，随着增大 减小;从弹簧弹力大于木块的重力开始
到木块运动到最低点过程中，有 ，木块所受合力向
上，随着增大增大， 图像大致如图甲所示，B项正确，A项错误。
同理，在木块下落高度之前，木块做匀加速直线运动，根据
及可知，速度逐渐增大，所以 图像切线斜率逐渐增大，从木
块接触弹簧到合力为零前，根据牛顿第二定律有 ，
木块的速度继续增大，木块做加速度减小的加速运动，所以 图像斜
率继续增大，从弹簧弹力大于木块的重力开始到木块运动到最低点过程
中， ，木块所受合力向上，木块做加速度增大的减
速运动，所以 图像斜率减小，到达最低点后，木块向上运动，经以
上分析可知，向上运动过程，木块先做加速度减小的加速运动，再做加
速度增大的减速运动，再做匀减速直线运动到最高点， 图像大致如
图乙所示，C、D两项错误。
例4 如图所示，一根跨过定滑轮的轻绳两端各悬挂一重物，当两重物质
量均为 时，系统处于平衡状态。若减小其中一个重物的质量，系统就
无法保持平衡，上升重物减小的质量 越大，另一个重物下降的加速
度就越大。已知重力加速度为，则与 的关系图像可能是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 对整体由牛顿第二定律有 ，
解得，可知与 不是线性关系，A、B两项错
误;当时，，且时， ，则可知D项错误，C项
正确。
巧思妙解 若其中一个重物质量为0时，即 时，另一重物做
自由落体运动，加速度大小为，可知B、D两项错误;取 ，
，可知C项正确。
题型2 动力学中的临界与极值问题
角度1 相对运动的临界问题
例5 （多选）如图所示，、 两物块静止叠放在水平地面上，其质量分
别为和，、间的动摩擦因数为 ， 与地面间的动摩擦因数为
。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。现对 施加一水
平拉力 ，则( )
BCD
A.当时，、 都相对地面静止
B.当时，的加速度为
C.当时，相对 滑动
D.无论为何值，的加速度都不会超过
[解析] 当、刚要发生相对滑动时，、 间的静摩擦力达到最大，即
。对物块，根据牛顿第二定律得 ，
解得。对整体，根据牛顿第二定律有 ，解
得，可知当时，、发生相对滑动。当
时，即水平拉力小于、之间的最大静摩擦力，、 不发生相对滑动。
对整体分析，由于整体受到地面的最大静摩擦力
，当时，、 相对地面静止。
当时，、 保持相对静止一起匀加速运动，
对整体分析有，，解得的加速度为。设 的
最大加速度为，由牛顿第二定律得 ，得
，可知的加速度不会超过 ，B、C、D三项正确。
方法总结
叠加体系统临界问题的求解思路
角度2 恰好脱离的临界问题
例6 如图1所示，一轻质弹簧的下端固定
在水平地面上，上端放置一小物块
（与弹簧连接），在上再放一小物块 ，
开始时、 处于静止状态。现用竖直向
上的拉力作用在物块上，使物块 竖
直向上做匀加速运动。已知拉力与物块的位移 间的关系如图2所示，
经时间，物块、分离，物块的质量 ，重力加速
度 。求：
（1）物块的质量 。
[答案] 解答由题图2知时，、一起向上加速， 时，
两物块刚好分离，此时两物块的相互作用力为零，两物块的速度与加速
度相同。两状态由牛顿第二定律得，
解得, 。
（2）弹簧的劲度系数 。
[答案] 设开始时弹簧压缩量为，有
、分离时两物块向上运动距离
两物块分离时对有
解得 。
审题指导 （1）、分离前的速度和加速度均相同;（2）、 分
离瞬间，速度和加速度也相同，但、 间的作用力为零。
角度3 动力学中的极值问题
例7 (2023·湖南高考)（多选）如图，光滑水平地面上有一质量为 的
小车在水平推力的作用下加速运动。车厢内有质量均为的、 两小
球，两球用轻杆相连，球靠在光滑左壁上， 球处在车厢水平底面上，
且与底面间的动摩擦因数为 ，杆与竖直方向的夹角为 ，杆与车厢始
终保持相对静止。假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的
是( )
A.若球受到的摩擦力为零，则
B.若推力方向向左，且 ，则 的最大
值为
C.若推力方向向左，且 ，则 的
最大值为
D.若推力方向向右，且 ，则 的范围
为
√
√
[解析] 设杆的弹力大小为，小球 竖直方向受力平衡，则杆水平方向
的分力与竖直方向的分力满足，可得 ;
若球受到的摩擦力为零，对在水平方向有 ，可得
;对整体有 ，A项错误。若推力 向左，
可知整体加速度向左，小球 所受向左的合力的最大值
。对小球，由于 ，小球 受到向左
的合力 ;对整体有 。
可得，B项错误;若推力向左，小球 所受向左的合力
的最大值 ;由于
，可得 。对小球有 ，
对整体有。解得 ，C项正确。若
推力向右，整体加速度向右，由于小球 可以受到左壁向右的支持力，
即向右的合力可以无限大，因此只需要讨论小球即可。当小球 所受
的摩擦力向左时，小球 向右的合力最小，
;当小球 所受
摩擦力向右时，小球 向右的合力最大，
。对整体有
，可得 ，D项正确。
审题指导 系统只在水平方向运动，小球 在竖直方向总处于平衡状
态，轻杆的弹力沿杆方向，小球脱离车厢左壁时与小球 受到的静摩
擦力达到最大时处于临界状态。分别以、 小球为研究对象求各种情
况下的临界加速度，以两小球与车厢整体为研究对象求外力 。
练创新试题 知命题导向
1. 如图所示，在水平地面上，两个相同物块用细线相连，物块
、的质量分别为、，它们与地面间的动摩擦因数均为 ，细
线能承受的最大拉力为，重力加速度。若在水平拉力
的作用下，两物块一起向右做匀加速直线运动，则 的最大值为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 对、 整体进行分析，由牛顿第二定律得
,对 进行分析，由牛顿第二定律得
,联立解得，的最大值为，则 的最大
值为 ，D项正确。
2. （多选）马车是古代的主要运输工具，一匹马水平拉动一
车货物的示意图如图所示，车顶有两块木板和,、之间和 与车之
间的接触面都水平，、之间的动摩擦因数为， 与车之间的动摩擦
因数为，的质量为，的质量为。车的质量为 ，地面对车的
摩擦力不计，马对车的水平拉力为，、 始终没有离开车顶，重力加
速度为 ，则下列说法正确的是( )
A.如果，那么不管多大，、 都不会发生相对滑动
B.如果，那么不管多大，、 都不会发生相对滑动
C.如果，那么、 与车都相对静止时，马拉车的最大拉力
D.如果，那么时， 与车之间会发生相对滑动
√
√
[解析] 的最大加速度为，的最大加速度为，如果 ，
、可能会发生相对滑动，A项错误;如果，相对于车比 相对
于先发生滑动，所以不管多大，相对车滑动后，相对 一直静止，
B项正确;如果，系统内部相对静止的最大加速度 ，则最
大拉力,C项正确;如果 ，系统内部相对静止的最大拉
力 ,D项错误。
3. 如图所示，某货场需将
质量 的货物（可视为质
点）从高处运送至地面，为避免
货物与地面发生撞击，现利用固定于地面的光滑斜面轨道，使货物从轨
道顶端无初速度滑下，轨道高，轨道斜面倾角为。 地面上
紧靠轨道依次排放两个完全相同的木板、，长度均为 ，质量
均为 ，轨道末端通过微小段圆弧与木板上表面相切，使货物
通过轨道末端时速度大小不变，方向变为水平。货物与木板间的动摩擦
因数为，木板与地面间的动摩擦因数 。（最大静摩擦力与滑
动摩擦力大小相等，取 ）
（1）求货物到达斜面轨道末端时的速度大小。
[答案] 解答设货物下滑的加速度为，滑到轨道末端时的速度为 ，根
据牛顿第二定律得
由运动学公式得，
解得 。
（2）若，货物是否会从木板 的右端滑出？
[答案] 当时，由分析可知货物在木板 上滑动时，木板不动。
设货物在木板上做减速运动时的加速度大小为，货物滑到木板 末
端时的速度为，由牛顿第二定律得
由运动学公式得
货物在木板上滑动时，货物做减速运动，加速度大小也为，木板
做加速运动，加速度大小为 ，由牛顿第二定律得
设经过时间二者共速，则满足
在此过程中货物和木板的位移分别为和 ，由运动学公式得
解得，，，所以货物不会从木板 的右
端滑出。
4. 如图1所示，质量相等的小物块、 （看作质点）并排放
置在足够长的倾角 的斜面上，一劲度系数 的轻质
弹簧上端固定在斜面顶端，下端与小物块 拴接，开始时弹簧处于原长
状态，、均静止，现对施加一沿斜面向上的恒力，使 和
一起沿斜面向上运动，当速度为零时，立即撤去，一段时间后， 、
分离并最终停止运动。以初始时、 静止的位置为坐标原点，以沿斜
面向上为正方向，从、开始运动到撤去前瞬间，这段过程中、
的加速度随位移变化的图像如图2所示。已知、 与斜面间的动摩擦
因数相等，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小 。
（结果可保留根号）
（1）求小物块、 的质量和它们与斜面间的动摩擦因数。
解答和 一起沿斜面向上运动的过程中，根据牛顿第二定律得
变形可得
结合图2代入数值可得斜率
则
纵轴截距为
可得 。
（2）在图2坐标系中，画出撤去后的 关系图线，并在坐标轴上
标出开始沿斜面向下运动和停止运动时的、 值（不要求推导过程）。
[答案] 撤去后的 关系图线如图所示。
（3）、 一起沿斜面向上运动和一起沿斜面向下运动的最大速度分别
是多少？
[答案] 由、的加速度随位移变化的图像可知，、 一起沿斜面向
上运动过程中，当时，即在处，速度最大，设为 ，
利用图像面积可知
解得
由、的加速度随位移变化的图像可知，、 一起沿斜面向下运动
过程中，当 时，即在 处，速度
最大，设为，利用图像面积可知
解得 。

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