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浙江省杭州学军中学紫金港校区 2024-2025 学年高
一下学期 5 月月考数学试题
一、单选题
1. 复数 的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
2. 设 ， 是向量，则“ ”是“ 或 ”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3. 若α为第四象限角，则（ ）
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
4. 某校有学生 500 人，其中男生 320 人，女生 180 人.某人想了解该校全体学生
的身高（单位：cm）信息，从男生、女生中分别随机抽取 人进行测量.如果
已知男生样本的均值为 173.5，方差为 17，女生样本的均值为 163.83，方差为
30.03，但原始测量数据已丢失.设总体均值与方差分别为 与 ，则下列说法正
确的是（ ）．
A．若 ，可算出总样本的均值与方差，且将其分别作为 与 的估计值是合
适的
B．若 ，无法算出总样本的均值与方差
C．若 ，可算出总样本的均值与方差，且将其分别作为 与 的估计值是
合适的
D．若 ，无法算出总样本的均值与方差
5. 在如图五面体 中，棱 互相平行，且两两之间距离均为
1．若 ．则该五面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
6. 已知函数 的图象关于 对称，则 的最大值为（ ）
B． C． D．2
A．
7. 已知平面向量 、 、 满足 ，且 对任
意实数 恒成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8. 已知函数 的定义域为 ，函数 是奇函数，函数
的图象关于直线 对称，则（ ）
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． D．
二、多选题
9. 声强级 （单位：dB）由公式 给出，其中 为声强（单位： ），
相应不同声的声强级如下表所示，则（ ）
正常人能忍受最 正常人能忍受最低 正常人平时谈话声 某人谈话声
（
高声强 1 声强 强 强
）
（dB）120 0 80
A． B． C． D．
10. 下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ）
A．某学生在上学的路上要经过 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立
的，遇到红灯的概率都是 那么该生在上学路上到第 个路口首次遇到红灯的概
率为
B． 张卡片上分别写有数字 从这 张卡片中随机抽取 张，则取出的 张
卡片上的数字之和为奇数的概率为
C．甲袋中有 个白球 个红球，乙袋中有 个白球 个红球，从每袋中各任取一
个球，则取到不同颜色球的概率为
D．设两个独立事件 和 都不发生的概率为 发生 不发生的概率与 发生 不
发生的概率相同，则事件 发生的概率是
11. 下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬
在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的 ， ， ， 都是以 O 为圆
心的圆弧，CMNK 是为计算所做的矩形，其中 M，N，K 分别在线段 OD，OB，
OA 上， ， ．记 ， ， ， ，
则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12. 已知 ， ，则 在 方向上的投影向量坐标为
______．
13. 已知函数 满足 ，且 ，则方
程 的实数解的个数为______．
14. 如图，已知 ， 为 边 上的两点，且满足
，则当 取最大值时， 的面积等于
______.
四、解答题
15. 已知函数 （ ，且 ）．
(1)讨论 的奇偶性；
(2)若 ，不等式 恒成立，求 t 的取值范
围．
16. 如图，在 中， ， ，点 为 和 的交点，设 ，
．
(1)若 ，求 ， 的值；
(2)若 ， ， 与 夹角为 ，
①求 的面积；
②若 在 上且 ，求 的值
17. 已知函数 ．
(1)求 的振幅 与频率 ；
(2)已知 在 的值域为 ，求 的取值范围；
(3)在等腰三角形 中，当 时， 取得最小值，点 与点 在直线 的
两侧，且 ， ，求 面积的最大值．
18. 如图，已知三棱台 ，底面 是以 为直角顶点的等腰直角
三角形，体积为 ，平面 平面 ，且 .
(1)证明： 平面 ；
(2)求点 到面 的距离；
(3)在线段 上是否存在点 ，使得二面角 的大小为 ，若存在，求
出 的长，若不存在，请说明理由.
19. 已知两个函数 ， ， ， 若对任意的 ，存在
唯一的 ，使得 成立，则称 为 的“友好函数”.
(1)判断函数 ， 是否为 ， 的“友好函数”，
并说明理由；
(2)若函数 ， 是 ， 的“友好函数”，
求 的最小值；
(3)已知函数 ， ， ，
，若 是 的“友好函数”，且 也是 的“友好函
数”，求实数 的值及 的最大值.
浙江省杭州学军中学紫金港校区 2024-2025 学年高一下学期 5 月月考数学试题
整体难度：适中
考试范围：复数、集合与常用逻辑用语、平面向量、三角函数与解三角形、计数原理与概率
统计、空间向量与立体几何、不等式选讲、函数与导数、等式与不等式
试卷题型
题型 数量
单选题 8
多选题 3
填空题 3
解答题 5
试卷难度
难度 题数
较易 3
适中 9
较难 6
困难 1
细目表分析
题号 难度系数 详细知识点
一、单选题
1 0.85 共轭复数的概念及计算；复数的除法运算
2 0.65 判断命题的必要不充分条件；垂直关系的向量表示；数量积的运算律
3 0.85 由三角函数值的正负判断其他三角函数值的正负
分层抽样的特征及适用条件；抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算；
4 0.65
估计总体的方差、标准差
5 0.65 柱体体积的有关计算
6 0.65 求含 sinx(型)函数的值域和最值；利用正弦函数的对称性求参数；辅助角公式
7 0.4 数量积的运算律；绝对值三角不等式
8 0.4 抽象函数的奇偶性；判断证明抽象函数的周期性；由抽象函数的周期性求函数值
二、多选题
9 0.65 利用给定函数模型解决实际问题
互斥事件的概率加法公式；利用对立事件的概率公式求概率；计算古典概型问题
10 0.65
的概率；独立事件的乘法公式
11 0.4 证明线面垂直；线面垂直证明线线垂直
三、填空题
求投影向量；平面向量线性运算的坐标表示；数量积的坐标表示；坐标计算向量
12 0.85
的模
13 0.65 余弦函数图象的应用；求函数零点或方程根的个数；函数周期性的应用
14 0.4 三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；基本不等式求和的最小值
四、解答题
函数奇偶性的定义与判断；由对数函数的单调性解不等式；根据函数的单调性解
15 0.65
不等式；由函数奇偶性解不等式
16 0.65 用基底表示向量；数量积的运算律
由正弦（型）函数的值域（最值）求参数；求三角形面积的最值或范围；几何中
17 0.4
的三角函数模型；三角恒等变换的化简问题
求点面距离；由二面角大小求线段长度或距离；证明线面垂直；面面垂直证线面
18 0.4
垂直
根据集合的包含关系求参数；函数新定义；求对数型复合函数的值域；求含
19 0.15
sinx(型)函数的值域和最值
知识点分析
序号 知识点 对应题号
1 复数 1
2 集合与常用逻辑用语 2,19
3 平面向量 2,7,12,16
4 三角函数与解三角形 3,6,13,14,17,19
5 计数原理与概率统计 4,10
6 空间向量与立体几何 5,11,18
7 不等式选讲 7
8 函数与导数 8,9,13,15,19
9 等式与不等式 14
试题答案解析
第 1题：
第 2题：
第 3题：
第 4题：
第 5题：
第 6题：
第 7题：
第 8题：
第 9题：
第 10 题：
第 11 题：
第 12 题：
第 13 题：
第 14 题：
第 15 题：
第 16 题：
第 17 题：
第 18 题：
第 19 题：

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