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2025年新九年级数学人教版暑假大讲堂
第十一讲 二次函数y=ax2的图象和性质
知识点梳理
知识点1二次函数Y=ax2的图像
1.要画出二次函数的图象，一般用描点法，分为列表、描点、连线三步，具体步骤如下：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
2.要点诠释：与抛物线开口大小的关系
（1）相等，抛物线形状相同，抛物线y＝ax2和y＝﹣ax2的联系：开口大小相同，开口方向相反，两条抛物线关于x轴对称，关于原点对称.
（2）越大，抛物线的开口越小，即图象越靠近y轴；
越小，抛物线的开口越大，即图象越远离近y轴.
知识点2 二次函数Y=ax2的性质
要点诠释：
二次函数y=ax2的核心性质由其系数a决定，开口方向、对称轴及单调性均与a的正负相关。a>0开口向上，a<0开口向下；对称轴y轴；a>0,x>0时，y随x增大而增大，x<0时，y随x增大而减小；a<0,x>0时，y随x增大而减小，
x<0时，y随x增大而增大。
题型1 由二次函数解析式确定图象位置
【例1】．抛物线的顶点坐标为 ．
针对训练1
1．二次函数的图象是（ ）
A．直线 B．双曲线 C．抛物线 D．不确定
2．夕夕用软件绘制抛物线时，将“4”按成了“5”，和原图象相比，发生改变的是（ ）
A．开口方向 B．开口大小 C．对称轴 D．顶点坐标
3．下列关于抛物线的说法正确的是（ ）
A．图象开口向下 B．对称轴是轴
C．有最高点 D．随的增大而增大
4．下列关于二次函数的性质，说法不正确的是( )
A．它的图象经过点 B．它的图象的对称轴是y轴
C．当时，y随x的增大而减小 D．有最大值
5．拋物线的对称轴是 轴．
题型2 由二次函数图象确定字母取值范围
【例2】已知二次函数的图像在对称轴的左侧部分是上升的，那么m的取值范围是 ．
针对训练2
1．如图，杜老师在黑板上画出了二次函数的图象，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．二次函数的图象是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，连接，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，，若抛物线经过区域（包括边界），则a的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
题型3 由二次函数的解析式比较函数值大小
【例3】已知二次函数图象上有两个不同点、，则 ．
针对训练3
1．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．若点都在二次函数图象上，则（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数图象上有三个动点、、，下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．无论取何值，都有
4．已知点，都在抛物线上，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，且点，，都在函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
题型4由二次函数图象确定函数最值及自变量取值范围
【例4】．已知函数是关于x的二次函数，求：
(1)满足条件m的值．
(2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标，这时x为何值时y随x的增大而增大？
(3)m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？这时x为何值时，y随x的增大而减小．
针对训练4
1．当时，函数的最大值与最小值的和为（ ）
A． B． C． D．
2．填写下列表格：
抛物线 图象（画出图象草图） 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性
_________ _________ _________ 当_________时，有最_________值，为_________ 当时，随的增大而_________；当时，随的增大而_________
_________ _________ _________ 当_________时，有最_________值，为_________ 当时，随的增大而_________；当时，随的增大而_________
3．当时，二次函数的最大值是 ．
4．已知y＝（m+1）x是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小．
（1）求m的值；
（2）当自变量的值为多少时，函数有最值？最值是多少？
5．根据下列条件求的取值范围：
(1)函数，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；
(2)函数有最大值；
(3)函数的图象是开口向上的抛物线．
题型5 二次函数图象与几何综合问题
【例5】．已知点在抛物线上，过点作轴，交抛物线于另一点，求的面积．
针对训练5
1．如图，已知抛物线，正方形的顶点在抛物线上，顶点在轴上，求点的坐标．
2．在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．
(1)如图1，已知菱形的顶点B，C，D在二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长；
(2)如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上，点B，D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，探究是否为定值？
3．如图，已知点在抛物线上，过点A且平行于x轴的直线交抛物线于点B．
(1)求a的值和点B的坐标；
(2)若点P是抛物线上一点，当以点A，B，P为顶点构成的的面积为2时，求点P的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的解析式是，直线的解析式是，点，点是在该抛物线上的动点，连接，过作．
(1)求证：；
(2)设点，求的最小值及此时点的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线上有两个点、，它们的横坐标分别为，．若为直角三角形，求的值．
题型6 二次函数图象与一次函数综合问题
【例6】．如图，点是轴负半轴上的一点，经过点作直线，与抛物线交于、两点（点在点的左侧），连接、，设点的横坐标为．
（1）若点的坐标为，求点的坐标；
（2）若，，求的值，并证明：；
（3）若，问“”这一结论还成立吗？试说明理由．
针对训练6
1．如图，过点的直线交抛物线于点F，D，过点F的直线交抛物线于另一点E，则直线过定点，求这个定点的坐标．
2．如图，点、在的图象上．已知、的横坐标分别为、，直线与轴交于点，连接、．
(1)求直线的函数表达式；
(2)求的面积；
(3)在轴上找一点，使的值最小，求点的坐标和的最小值．
3．如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和．

(1)求两个函数的解析式；
(2)求的面积．
4．如图，直线与y轴交于点A，与抛物线y＝ax2交于B，C两点，且点B坐标为（2，2）．
(1)求a，b的值；
(2)连接OC、OB，求△BOC的面积．
4．如图，直线与抛物线交于，两点，与轴于点，其中点的坐标为．
(1)求，的值；
(2)若于点，．试说明点在抛物线上．
能力提升 创新拓展
1．在平面直角坐标系中，P，Q是抛物线上不重合的两点，点，直线的比例系数互为相反数．
（1）若点P的坐标为，求a的值．
（2）在（1）的条件下，求点Q的坐标．
（3）若点P，Q都在第一象限内，且点P的横坐标是点Q的横坐标的3倍，试探究点P与点Q的纵坐标的差是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
2．如图，过点的直线与抛物线交于，两点．
（1）求b值；
（2）求的值．
3．如图直角坐标系中，O为坐标原点，，，二次函数的图像经过点A，B，点P为抛物线上AB上方的一个点，连结PA，作垂足为H，交OB于点Q．
（1）求b，c的值；
（2）当时，求点P的坐标；
（3）当面积是四边形AOQH面积的2倍时，求点Р的坐标．
2025年新九年级数学人教版暑假大讲堂
第十一讲 二次函数y=ax2的图象和性质（解析版）
知识点梳理
知识点1二次函数Y=ax2的图像
1.要画出二次函数的图象，一般用描点法，分为列表、描点、连线三步，具体步骤如下：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
2.要点诠释：与抛物线开口大小的关系
（1）相等，抛物线形状相同，抛物线y＝ax2和y＝﹣ax2的联系：开口大小相同，开口方向相反，两条抛物线关于x轴对称，关于原点对称.
（2）越大，抛物线的开口越小，即图象越靠近y轴；
越小，抛物线的开口越大，即图象越远离近y轴.
知识点2 二次函数Y=ax2的性质
要点诠释：
二次函数y=ax2的核心性质由其系数a决定，开口方向、对称轴及单调性均与a的正负相关。a>0开口向上，a<0开口向下；对称轴y轴；a>0,x>0时，y随x增大而增大，x<0时，y随x增大而减小；a<0,x>0时，y随x增大而减小，
x<0时，y随x增大而增大。
题型1 由二次函数解析式确定图象位置
【例1】．抛物线的顶点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质求解．
【详解】解：抛物线的顶点为，
∴抛物线的顶点坐标是．
故答案为：．
针对训练1
1．二次函数的图象是（ ）
A．直线 B．双曲线 C．抛物线 D．不确定
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象特征，理解特征是解题的关键．
根据二次函数的图象特征进行判断即可求解．
【详解】解：由题意得，二次函数的图象是抛物线．
故选：C．
2．夕夕用软件绘制抛物线时，将“4”按成了“5”，和原图象相比，发生改变的是（ ）
A．开口方向 B．开口大小 C．对称轴 D．顶点坐标
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；越大，抛物线的开口越小，即可解答，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：抛物线：和的对称轴都是轴，顶点坐标都是，开口方向都向上，而抛物线的开口比抛物线的开口大，
∴和原图象相比，发生改变的是开口大小，
故选：B．
3．下列关于抛物线的说法正确的是（ ）
A．图象开口向下 B．对称轴是轴
C．有最高点 D．随的增大而增大
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，解题的关键是：熟练掌握二次函数的图象及性质．
由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案．
【详解】解：抛物线的开口向上，有最低点，对称轴为y轴，
当时，函数值随x的增大而减小，
∴四个选项中只有B选项的说法正确，
故选：B．
4．下列关于二次函数的性质，说法不正确的是( )
A．它的图象经过点 B．它的图象的对称轴是y轴
C．当时，y随x的增大而减小 D．有最大值
【答案】D
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项的结论是否正确，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，难度较小．
【详解】A、因为，把代入，解得，故它的图象经过点，故该选项是正确的，不符合题意；
B、的图象的对称轴是y轴, 故该选项是正确的，不符合题意；
C、的图象的对称轴是y轴, 开口向上，当时，y随x的增大而减小，故该选项是正确的，不符合题意；
D、因为的图象开口向上，有最小值，故该选项是错误的，符合题意．
故选：D．
5．拋物线的对称轴是 轴．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，掌握的图象及性质是解题的关键．根据二次函数的图象及性质，即可求得．
【详解】解：∵抛物线顶点为，
∴该抛物线的对称轴是直线，即轴，
故答案为：
题型2 由二次函数图象确定字母取值范围
【例2】已知二次函数的图像在对称轴的左侧部分是上升的，那么m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质，由二次函数的图像在对称轴的左侧部分是上升的，可得抛物线开口向下，进而求解．
【详解】解：二次函数的图像在对称轴的左侧部分是上升的，
抛物线开口向下，
∴，
，
故答案为：．
针对训练2
1．如图，杜老师在黑板上画出了二次函数的图象，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟悉抛物线的开口方向和的关系是解题的关键．由题意得，，即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴，
∴．
故选：B．
2．二次函数的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．根据解析式确定出的值为负数，得到抛物线开口向下，再由解析式可知抛物线的对称轴是轴，顶点为，即可确定出其图象．
【详解】 解：∵，
∴抛物线的对称轴是轴，顶点为，
由可知，抛物线开口向下，
故选：D．
3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，连接，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，找到两个临界位置是解题关键．先将点，代入求出的值，再结合函数图象求解即可得．
【详解】解：将点代入抛物线得：，解得，
将点代入抛物线得：，
如图，若抛物线与线段恰有一个公共点，
则的取值范围是，
故选：D．
4．如图，在平面直角坐标系中，，若抛物线经过区域（包括边界），则a的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数 二次项系数决定了抛物线开口的方向和开口的大小，，开口向上，，开口向下，的绝对值越大，开口越小，据此分两种情况讨论即可．
【详解】解：如图所示：
分两种情况进行讨论：
当时，抛物线经过点时，，抛物线的开口最小，取得最大值，抛物线经过区域（包括边界），的取值范围是：；
当时，抛物线经过点时，，抛物线的开口最小，取得最小值，抛物线经过区域（包括边界），的取值范围是：；
综上，抛物线经过区域（包括边界），则a的取值范围是或，
故选：B．
题型3 由二次函数的解析式比较函数值大小
【例3】已知二次函数图象上有两个不同点、，则 ．
【答案】0
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质．根据解析式可得对称轴为y轴，再由P、Q两点的纵坐标相同可得、关于对称轴对称，据此可得答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数对称轴为y轴，
∵二次函数 图象上有两个不同点、，
∴、关于对称轴对称，
∴，
故答案为：．
针对训练3
1．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．利用抛物线的对称性及增减性即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：二次函数的图象关于轴对称，
关于轴的对称点为，
，且时，函数值随自变量的增大而减小，
；
故选：D．
2．若点都在二次函数图象上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由，可知对称轴为轴，当时，随着的增大而增大，由，可得．
【详解】解：∵，，
∴对称轴为轴，当时，随着的增大而增大，
∵，
∴．
故选：A．
3．二次函数图象上有三个动点、、，下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．无论取何值，都有
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，先作出函数的图象，再根据函数的性质求解．
【详解】解：二次函数图象如下图所示：
A、，则，故A是错误的；
B、当时，，故B是正确的；
C、若，如图所示：则，故C是正确的；
D、∵，，
∵，
∴，
故D是正确的；
故选：A．
4．已知点，都在抛物线上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质，根据的开口方向及增减性判断即可．
【详解】解：中，，
抛物线开口向下，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，
，
，
故选B．
5．已知，且点，，都在函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的开口方向和对称轴，可得当时，随的增大而减小，由得到，最后结合函数图象上点的特征即可解答．
【详解】解：二次函数中二次项系数，
函数的图象开口向下，
函数的图象对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，
，
，
又点，，都在函数的图象上，
．
故选：C．
题型4由二次函数图象确定函数最值及自变量取值范围
【例4】．已知函数是关于x的二次函数，求：
(1)满足条件m的值．
(2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标，这时x为何值时y随x的增大而增大？
(3)m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？这时x为何值时，y随x的增大而减小．
【答案】(1)2或
(2)当时，抛物线的最低点为，当时，y随x的增大而增大
(3)当时，二次函数的最大值是0，当时，y随x的增大而减小
【分析】（1）根据二次函数的定义可求得m的值；
（2）根据二次函数的性质得当时，抛物线有最低点，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标和增减性；
（3）根据二次函数的性质得到当时，抛物线开口向下，函数有最大值，然后根据二次函数的性质确定最大值和增减性．
【详解】（1）解：根据题意得且，
解得，，
所以满足条件的m值为2或．
（2）解：当时，抛物线有最低点，
所以，
此时抛物线解析式为，
所以抛物线的最低点为，当时，y随x的增大而增大．
（3）解：当时，抛物线开口向下，函数有最大值；
此时抛物线解析式为，
所以二次函数的最大值是0，当时，y随x的增大而减小．
【点睛】本题考查了二次函数的定义和二次函数的最值，解决本题的关键是要注意二次函数的二次项系数不为零．
针对训练4
1．当时，函数的最大值与最小值的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口向下，对称轴为直线，即轴，函数有最大值，距离对称轴越远，函数值越小，由此可解，能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴是解题的关键．
【详解】解：由二次函数可知，对称轴为直线，即轴，，
∴当时，二次函数有最大值，
由，根据距离对称轴越远，函数值越小，
∴当时，有最小值，
∴当时，函数的取值范围为，
∴最大值与最小值的和为，
故选：．
2．填写下列表格：
抛物线 图象（画出图象草图） 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性
_________ _________ _________ 当_________时，有最_________值，为_________ 当时，随的增大而_________；当时，随的增大而_________
_________ _________ _________ 当_________时，有最_________值，为_________ 当时，随的增大而_________；当时，随的增大而_________
【答案】见解析
【分析】根据二次函数的性质即可得到答案．
【详解】解：①的图象如下：

由图可知：抛物线开口向下，
对称轴为：轴，
顶点坐标为： ，
当时，有最大值，最大值为0，
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
②抛物线图象如下：

由图可知：抛物线开口向上，
对称轴为：轴，
顶点坐标为：，
当时，有最小值，最小值为0，
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
故答案为： 向下 轴 0 大 0 减小 增大； 向上 轴 0 小 0 增大 减小．
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，熟练利用二次函数的解析式画出图象，并掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性等性质是解题的关键．
3．当时，二次函数的最大值是 ．
【答案】0
【分析】根据二次函数的性质，时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，即可得解．
【详解】解：∵，，对称轴为：，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴当时，函数值最大，最大值为：；
故答案为：0．
【点睛】本题考查二次函数的最值问题．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
4．已知y＝（m+1）x是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小．
（1）求m的值；
（2）当自变量的值为多少时，函数有最值？最值是多少？
【答案】（1）m＝﹣2；（2）当x＝0时，y最大＝0．
【分析】根据二次函数定义，m2+m＝2，以及 性质解答即可．
【详解】解：（1）∵y＝（m+1）x是关于x的二次函数，∴m2+m＝2，解得m＝1或﹣2，
∵当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴开口向下,a=m+1＜0，即m＜﹣1．所以m＝﹣2，m＝1（不符合题意，舍）；
（2）开心向下，顶点（0,0）
当x＝0时，y最大＝0．
【点睛】本题考查二次函数的定义，以及性质，属于基础题．
5．根据下列条件求的取值范围：
(1)函数，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；
(2)函数有最大值；
(3)函数的图象是开口向上的抛物线．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解一元一次不等式，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）根据二次项的系数小于，对称轴左边随的增大而增大，对称轴右边随的增大而减小，可列出一元一次不等式，解之即可得出答案；
（2）根据二次函数有最大值，可得二次项的系数小于，据此列出一元一次不等式，解之即可得出答案；
（3）根据函数图象开口向上，可得二次项系数大于，同时二次项的次数须满足，解之即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意可得：
，
解得：；
（2）解：由题意可得：
，
解得：；
（3）解：由题意可得：
，
解得：．
题型5 二次函数图象与几何综合问题
【例5】．已知点在抛物线上，过点作轴，交抛物线于另一点，求的面积．
【答案】8
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，求得、的坐标是解题的关键．由抛物线的解析式求得的坐标，然后利用抛物线的对称性求得的坐标，即可求得，利用三角形面积公式即可求解．
【详解】解：点在抛物线上，
，
，
过点作轴，交抛物线于另一点，
由抛物线的对称性可知，当时，，
，
，
的面积．
针对训练5
1．如图，已知抛物线，正方形的顶点在抛物线上，顶点在轴上，求点的坐标．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，表示出正方形各个点的坐标是解题的关键．设正方形的边长为，则根据抛物线对称性可得，代入抛物线的解析式即可求得，得到；
【详解】解：设正方形的边长为，
则，，
∵点在抛物线上，
∴，
∴或（舍去），
∴．
2．在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．
(1)如图1，已知菱形的顶点B，C，D在二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长；
(2)如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上，点B，D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，探究是否为定值？
【答案】(1)
(2)是，
【分析】（1）结合菱形的性质，得出，由勾股定理得，得到，再把代入进行计算，即可作答．
（2）结合正方形的性质和二次函数的性质，得出，再通过证明，把数值代入进行计算，得因为点B，D在y轴的同侧，所以即，据此即可作答．
【详解】（1）解：设交y轴于点E，
设菱形的边长为，
则．
关于y轴对称，
．
，
，
，
把代入，
得，
解得或（舍去），
∴菱形的边长为；
（2）解：为定值．理由如下：
过点B作轴于点F，过点D作轴于点E．如图所示：
∵点B，D的横坐标分别为m，n，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上，
，
．
∵四边形是正方形，
，
．
，
，
，
，
∵点B，D在y轴的同侧，
．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
3．如图，已知点在抛物线上，过点A且平行于x轴的直线交抛物线于点B．
(1)求a的值和点B的坐标；
(2)若点P是抛物线上一点，当以点A，B，P为顶点构成的的面积为2时，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)或或或
【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的对称性等等：
（1）先把点A坐标代入解析式中求出a的值，即求出抛物线解析式，再根据对称性即可求出点B的坐标；
（2）先求出，再根据题意可得，据此求出点P的纵坐标即可得到答案．
【详解】（1）解：把代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为y轴，
∵轴，且点B在抛物线上，
∴点A和点B关于抛物线对称轴对称，即关于y轴对称，
∴
（2）解：∵，，
∴，
∵的面积为2，轴，
∴，
∴，
∴或，
在中，当时，，当时，，
∴点P的坐标为或或或．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的解析式是，直线的解析式是，点，点是在该抛物线上的动点，连接，过作．
(1)求证：；
(2)设点，求的最小值及此时点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)的最小值为，此时点的坐标为
【分析】本题考查抛物线的性质，两点间距离公式，线段的最值问题等：
（1）设点P的坐标为，根据两点间距离公式求出，可证；
（2）由可得，当E，P，N共线时，等号成立．
【详解】（1）证明：点是在该抛物线上的动点，
设点P的坐标为，
，
；
，直线的解析式是，
，
；
（2）解：，
点在抛物线的上方，
由（1）知，
，当E，P，N共线时，等号成立，如图：
，当时，，
的最小值为，此时点的坐标为．
5．如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线上有两个点、，它们的横坐标分别为，．若为直角三角形，求的值．
【答案】或
【分析】本题主要考查勾股定理和二次函数的图象和性质，要注意在的直角顶点不确定的情况下，要分类讨论，以免漏解．分别用表示、两点的坐标，然后根据坐标系两点距离公式求出、，的值，然后分三种情况，用勾股定理进行求解即可．
【详解】把横坐标，分别代入得、，
∴，，，
当时，，即，
解得，（舍）；
当时，，即，
解得，（舍）；
当时，，，
此方程无解，
综上，当为直角三角形，的值为或．
题型6 二次函数图象与一次函数综合问题
【例6】．如图，点是轴负半轴上的一点，经过点作直线，与抛物线交于、两点（点在点的左侧），连接、，设点的横坐标为．
（1）若点的坐标为，求点的坐标；
（2）若，，求的值，并证明：；
（3）若，问“”这一结论还成立吗？试说明理由．
【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）成立，理由见解析．
【分析】（1）先将A点坐标代入解析式求得a，然后再求C即可；
（2）设 、然后再求直线AC的解析式，再结合AC2：BC2=1:4列式求得a，再确定C点坐标，然确定A、B的坐标，最后运用勾股定理逆定理解答即可；
（3）由可得，进而求得a，然再确定C点坐标，然确定A、B的坐标，最后运用勾股定理逆定理解答即可．
【详解】解：（1）当A（-4，-2）时，A在上，
∴，即a=-
∴；
（2）设 、
∴A（-1，a），C（0，a），
设AC的解析式为y=kx+b
则 ，解得
∴AC的解析式为
∵AC：BC=1:2
∴
∴
∴B（-2m，4am2），A（2，4a）
∵AC：BC=1:2
∴AC2：BC2=1:4，即BC2=4 AC2
∴ ，解得a=
∴A（-1，），B（2，）
∴AO2= , BO2= ,
AB2=
∴AO2+BO2=AB2
∴∠AOB=90°；
（3）成立，理由如下：
∵，则 A(m，am2)，B(-km， ak2m2)，
∴
∴ ，解得，即a=（a＜0）
∴A（m， ），B（-km，）
∴AO2= ,
BO2= ,
AB2=
∴AO2+BO2=AB2
∴∠AOB=90°；
【点睛】本题属于一次函数和二次函数的综合题，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理的逆定理是解答本题的关键．
针对训练6
1．如图，过点的直线交抛物线于点F，D，过点F的直线交抛物线于另一点E，则直线过定点，求这个定点的坐标．
【答案】
【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合题，熟练掌握二次函数和一次函数的性质和待定系数法是解题的关键，根据二次函数解析式设，利用待定系数法分别求出直线,,的解析式，由过点和直线的解析式可得到，，再分别将其代入到直线中，可得到，进而得到直线过定点．
【详解】解：设．
利用待定系数法可得，直线，
直线，
直线．
过点，
．
∵直线的解析式为．
∴，
∴，
．
∴直线，
∵当时，，
∴直线过定点．
2．如图，点、在的图象上．已知、的横坐标分别为、，直线与轴交于点，连接、．
(1)求直线的函数表达式；
(2)求的面积；
(3)在轴上找一点，使的值最小，求点的坐标和的最小值．
【答案】(1)直线的解析式为：；
(2)；
(3)，的最小值为．
【分析】（1）将的横坐标分别代入求出的值，得到，点坐标，再运用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）求出的长，根据“”求解即可；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的值最小，先利用待定系数法求得直线，进而即可求得点的坐标，利用勾股定理即可求得的最小值．
【详解】（1）解：∵，是抛物线上的两点，
∴当时，；当时，
∴点的坐标为，点的坐标为
设直线的解析式为，
把，点坐标代入得
解得，
所以，直线的解析式为：；
（2）解：对于直线：
当时，
∴
∴；
（3）解：∵，
∴，
如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的值最小，
设直线∶，
∵直线∶过点和点，
∴，
解得，
∴直线∶，
令，有，
解得，
∴，
∵点关于轴的对称点为，
∴，
∴的最小值为的长：．
【点睛】此题主要考查了运用待定系数法求直线解析式，轴对称的性质，勾股定理，二次函数二次函数的图像及性质，熟练求解直线的解析式是解题的关键．
3．如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和．

(1)求两个函数的解析式；
(2)求的面积．
【答案】(1)，
(2)3
【分析】（1）首先把点代入二次函数得出，再把点代入二次函数解析式得出，进一步把、代入一次函数求得一次函数即可；
（2）利用一次函数求得点坐标，把的面积分为与的面积和即可．
【详解】（1）解：把点代入二次函数得，，
二次函数的解析式；
点代入二次函数解析式得，
把点，代入一次函数得
，
解得，
故一次函数的解析式．
（2）一次函数的解析式中，令，得，
∴一次函数与轴交于点，
∴．
【点睛】此题考查待定系数法求求一次函数、二次函数解析式，三角形的面积，正确利用函数图象上的点解决问题．
4．如图，直线与y轴交于点A，与抛物线y＝ax2交于B，C两点，且点B坐标为（2，2）．
(1)求a，b的值；
(2)连接OC、OB，求△BOC的面积．
【答案】(1)a的值是；b的值是4
(2)
【分析】（1）把B（2，2）代入到直线中，进行计算即可得，把B（2，2）代入到抛物线中，进行计算即可得；
（2）联立两函数解析式成方程组，，进行计算可得点C的坐标为，即可得．
【详解】（1）解：把B（2，2）代入到直线中，
得：，
即；
把B（2，2）代入到抛物线中，
得：，
即，
∴a的值是；b的值是4．
（2）解：∵b＝4，
∴点A（0，4）．
联立两函数解析式成方程组，，
解得：或，
∴点C的坐标为，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握待定系数法求参数，求函数解析式．
4．如图，直线与抛物线交于，两点，与轴于点，其中点的坐标为．
(1)求，的值；
(2)若于点，．试说明点在抛物线上．
【答案】(1)，
(2)见解析
【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为解方程即可．
（2）如图，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N．利用全等三角形的性质求出点D的坐标，可得结论．
【详解】（1）把点A（-4，8）代入，得：
∴；
把点A（-4，8）代入，得：
∴；
（2）如图，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N．
∵直线AB的解析式为y=-x+6，
令x=0，则y=6
∴C（0，6），
∵∠AMC=∠DNC=∠ACD=90°，
∴∠ACM+∠DCN=90°，∠DCN+∠CDN=90°，
∴∠ACM=∠CDN，
∵CA=CD，
∴△AMC≌△CND（SAS），
∴CN=AM=4，DN=CM=2，
∴D（-2，2），
当x=-2时，y=×22=2，
∴点D在抛物线y=x2上．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
能力提升 创新拓展
1．在平面直角坐标系中，P，Q是抛物线上不重合的两点，点，直线的比例系数互为相反数．
（1）若点P的坐标为，求a的值．
（2）在（1）的条件下，求点Q的坐标．
（3）若点P，Q都在第一象限内，且点P的横坐标是点Q的横坐标的3倍，试探究点P与点Q的纵坐标的差是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）2；（2）；（3）是，；理由见详解．
【分析】（1）根据题意可直接利用待定系数法进行求解即可；
（2）设直线的表达式为，然后根据（1）及题意可求解直线PM的解析式，则由直线的比例系数互为相反数，进而求解问题即可；
（3）设点Q的坐标为，则有点P的坐标为，设直线的表达式为，则直线的表达式为，然后联立函数表达式，进而可根据题意求解即可．
【详解】（1）由题意得：，解得；
（2）设直线的表达式为，
∴，解得，
∴直线的表达式为，
∵直线的比例系数互为相反数，
∴直线的表达式为，
∴，解得，
∴点Q的坐标为；
（3）是定值；理由如下：
设点Q的坐标为，
∵点P的横坐标是点Q的横坐标的3倍，
∴点P的坐标为，
再设直线的表达式为，则直线的表达式为，
∴，两式相减，得，
∴，
∴直线的表达式为，
把代入，解得，
∴点P与点Q的纵坐标的差为．
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的综合运用，熟练掌握二次函数及一次函数的性质是解题的关键．
2．如图，过点的直线与抛物线交于，两点．
（1）求b值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据已知条件，可得结果；
（2）把一次函数与二次函数联立方程组得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理计算即可；
【详解】（1）∵直线过点，
∴．
（2）∵，
∴直线的解析式为，
由得，
∴．
【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的结合，利用韦达定理进行计算是解题的关键．
3．如图直角坐标系中，O为坐标原点，，，二次函数的图像经过点A，B，点P为抛物线上AB上方的一个点，连结PA，作垂足为H，交OB于点Q．
（1）求b，c的值；
（2）当时，求点P的坐标；
（3）当面积是四边形AOQH面积的2倍时，求点Р的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【分析】（1）把，两点坐标代入二次函数，化简计算即可；
（2）设，根据，利用相似比，化简计算即可；
（3）当面积是四边形AOQH面积的2倍时，则有，将设代入化简即可.
【详解】（1）把，代入，
则有
解之得：．
（2）设
∵，
∴
∴，∴，得（取正值），
∴
∴
（3）当的面积是四边形AOQH的面积的2倍时，由三角形面积公式可得：，由（2）可知
∴，
得：，，
∴或
【点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，熟悉相关性质定理，是解题的关键.
典例精讲1
典例精讲2
典例精讲3
典例精讲4
典例精讲5
典例精讲6
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