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2024-2025学年辽宁省县域重点高中高二下学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题，，则命题的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.在等比数列中，若，则( )
A. B. C. D.
3.为了解是否喜欢羽毛球运动与性别的关系，某数学兴趣小组经统计得到如下数据，若要使是否喜欢羽毛球运动与性别无关的可能性最大，则( )
性别 羽毛球
喜欢 不喜欢
女生
男生
附：，其中．
A. B. C. D.
4.已知函数则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数且在区间上单调递增，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.志愿者甲参加第届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率分别为，，，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为，，若某一天甲按时到达文博会，则他骑共享单车的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是等差数列的前项和，，则下列说法正确的是( )
A. 的公差为 B.
C. 数列为递增数列 D. 当且仅当时，取得最大值
10.为了解某种药物的疗效，患者服用该药物，短时间内血液中药物浓度达到峰值，研究员统计了血液中药物浓度单位：与代谢时间单位：的数据，如下表所示：
根据表中数据可得回归方程为，则下列说法正确的是( )
附：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，相关系数．
A.
B. 当时，对应样本点的残差为
C. 若再增加一组数据，则关于的回归直线的斜率变大
D. 若删去数据，则与的相关系数不变
11.已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，对，都有：，当时，，当时，，则( )
A. 为偶函数 B. 为奇函数
C. 在上单调递增 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，若，则的取值范围为 ．
13.设，分别是函数，的零点，则的最大值为 ．
14.甲、乙玩报数游戏，约定规则如下：甲、乙轮换报数，若一人报出的正整数为奇数，则另一人报出的数为；若一人报出的正整数为偶数，则另一人报出的数为；当一人报出的数为时，游戏结束．已知由甲先报数，且报出的正整数为若，则游戏结束时，甲报出数字的次数为 ；若游戏结束时，甲、乙共报数次，则正整数所有可能的取值之和为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求曲线在处的切线方程；
求的极值．
16.本小题分
已知函数的图象关于直线对称．
求的值；
若关于的方程有解，求的取值范围．
17.本小题分
某校组织了“人工智能”知识竞赛满分分，经统计参赛同学的成绩单位：分近似服从正态分布，已知．
从参赛同学中随机抽取人，设表示这人中成绩在内的人数，求的分布列和方差；
该校为调动学生参赛的积极性，设置两种抽奖方案：
方案一：参赛同学只能抽奖次，抽奖获得价值元、元、元的学习用品的概率分别为，，；
方案二：参赛同学的成绩低于只能抽奖次，不低于的抽奖次，每次抽奖获得价值元、元的学习用品的概率分别为，．
请分析参赛同学采用哪种方案获得学习用品价值金额的期望较大
18.本小题分
已知数列满足，且．
求，，；
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
19.本小题分
对于给定函数，，，分别是，的导函数，当，时，根据洛必达法则知已知函数，．
当时，求的值；
设函数，若不等式在上恒成立．
求的取值范围；
证明：，．
参考答案
1.
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4.
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8.
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10.
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13.
14.

15.【详解】由已知，
则，
则，且，
所以切线方程为，
即；
由知，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故的极小值为，无极大值．

16.【详解】解：由题意可知，则，
化简得，，
，则，解得．
当时，，显然满足，
即函数的图象关于直线对称，
故．
由可知，
又，当且仅当，即时取得等号，
根据对数函数的单调性可知，
关于的方程有解，，
即，解得或，
故的取值范围为．

17.【详解】由，
可知，
由题意可知的取值范围是，且，
则，
，
，
，
所以的分布列为
则．
若采用方案一，获得学习用品价值金额的期望为元．
若采用方案二，当成绩低于时，获得学习用品价值金额的期望为元；
当成绩不低于时，设获得学习用品价值金额为，则的取值范围为，
，，
所以获得学习用品价值金额的期望为元．
综上，若成绩低于，采用方案一获得学习用品价值金额的期望较大；若成绩不低于，采用方案二获得学习用品价值金额的期望较大

18.【详解】由，则，
又，
得，
，
．
由，
得，
所以，
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
故．
由得，
所以．
设，
则，
由得
则，
当为奇数时，
；
当为偶数时，
，
故

19.【详解】解法一：根据洛必达法则可知
解法二：根据洛必达法则可知
由题意可知不等式在上恒成立，
当时，不等式可化为恒成立．
令，则，
令，则，
设，则，
设，则．
因为，所以，则在上单调递减，所以，即，
所以在上单调递减，所以，即，所以在上单调递减，
所以，即，
所以在上单调递减，所以．
根据洛必达法则可知
所以，
故的取值范围为．
证明：当时，，
设，则，
设，则，所以在上单调递增，
则，即，所以，即，
当且仅当时取得等号．
令，，则，，，
将上面个式子相加得
故，．

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