2024-2025学年内蒙古自治区包头市高二下学期期末考试数学试卷(含答案)

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2024-2025学年内蒙古自治区包头市高二下学期期末考试数学试卷(含答案)

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2024-2025学年内蒙古自治区包头市高二下学期期末考试数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知样本数据为,,,,,若删除后的新数据与原数据平均数相同,则为 .
A. B. C. D.
2.已知,则 .
A. B. C. D.
3.已知集合,集合,则 .
A. B. C. D.
4.不等式的解集是 .
A. B. 或
C. 或 D.
5.在中,内角,,所对的边分别为,,,若,,,则 .
A. B. C. D.
6.已知抛物线的焦点为,准线为,过抛物线上一点作且垂足为,若,则 .
A. B. C. D.
7.已知等比数列的前项和为,若且,,成等差数列,则 .
A. B. C. D.
8.已知且,则 .
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.若等差数列的前项和为,,,则下列说法正确的是 .
A. B. 为递增数列
C. D. 的前项和为
10.已知函数是定义在上的奇函数,当时,,则下列命题正确的是 .
A. 当时,
B. 是的极大值点
C. 当且仅当或
D. ,都有
11.已知,是双曲线的左、右焦点,过作的一条渐近线的垂线,垂足为且与双曲线右支相交于点,若且则下列说法正确的是 .
A. 双曲线的实轴长为 B. 双曲线的离心率为
C. 四边形的面积为 D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知两个不相等的向量,,若,则 .
13.若函数在处有极小值,则等于 .
14.在底面半径为及轴截面为正三角形的圆锥中放置内切球,在球的上面放一个与球和圆锥侧面均相切的球,再在和之间放入一个球,则球半径的最大值为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数为奇函数.
求;
设函数,求的值域和对称中心.
16.本小题分
已知椭圆的长轴长为且离心率为.
求椭圆的方程;
不经过原点的直线与椭圆交于,两点,求的面积最大时直线的方程.
17.本小题分
如图,在四边形中,,,,,,是的中点.现将沿翻折,使得点移动至平面外的点.
若点是靠近的四等分点,求证:平面;
若平面平面,求平面与平面所成二面角的正弦值.
18.本小题分
已知函数且为的导数.
求函数在处的切线方程请用表示;
讨论的极值点个数;
当时,设的极值点为,一个零点为,证明:.
19.本小题分
为缓解学生的压力,某中学组织学生开展了一项有趣的比赛.甲,乙两人参加比赛,比赛规则为:共进行奇数局比赛,全部比完后,所赢局数多者获胜.假设每局比赛甲赢的概率都是,各局比赛之间的结果互不影响且没有平局.
若两人共进行局比赛且,设两人所赢局数之差的绝对值为求的分布列和数学期望;
若两人共进行局比赛且,记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”事件表示“甲最终获胜”,请写出,,,的值直接写出结果即可;
若两人共进行了局比赛,甲获胜的概率记为证明:当时,.
参考答案
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15.解:由为奇函数,则,由得.
由得,


,,
即,则的值域是.
令,,
则的对称中心是.

16.解:由已知,即.
又由可得,所以,
则椭圆的方程为.
由题直线与椭圆有两个交点和,设,.
联立,得,即,
且,.
由直线不过原点可得且.
利用弦长公式

且点到直线的距离.

当且仅当,即,此时直线.

17.解:在线段上取靠近点的四等分点,连接与.
且为的中点,.
由和得及,
则和.
又,所以和,
从而和,所以四边形为平行四边形,则.
又平面,平面,
所以平面.
由得.
因为平面平面,平面平面,平面,
所以平面.
以为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系.
则,,,,,
所以,.
设平面的法向量为,则
即,令,则,,可取.
又平面,可取平面的一个法向量为,
则.
设平面与平面所成二面角为,则.
所以平面与平面所成二面角的正弦值为.

18.解:由题得的定义域为.
且,所以.
则在处的切线方程为.
由得,设,
则,,
当时,,则在上单调递增.
又,在上为负,在上为正,
则在上单调递减,在上单调递增,
即是的唯一极小值点.
当时,由解得.
(ⅰ)若时,则.
由解得,由解得,
所以在上单调递减,在单调递增,
所以且有,
由零点存在定理得使得,
则在和为正,在为负,
即在上有两个极值点.
(ⅱ)若时,则,由解得.
此时在上单减,在上单增,所以,
则在上单调递增,即无极值点.
(ⅲ)若时,即.
由解得,由解得,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以且有,
由零点存在定理得使得,
则在和为正,在为负,
即在上有两个极值点.
综上,当,无极值点.
当时,有一个极值点.
当或时,有两个极值点.
由可得且,
要证,只需证,
由,只需证,
只需证,即,
只需证.
令所以.
则在上单调递增,即.
证毕.

19.解:的可能取值为,,



所以的分布列为

,,,.
由题意可得

所以.
当时,.

因为,所以.

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