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2024-2025学年宁夏石嘴山市平罗中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面上对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.样本数据，，，，，，，的第百分位数为( )
A. B. C. D.
3.攒尖式屋顶是中国古代传统建筑的一种屋顶样式，如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知该圆锥的底面直径为，高为，则该屋顶的面积约为( )
A.
B.
C.
D.
4.一物体在力的作用下，由点移动到点，若，则对物体所做的功为( )
A. B. C. D.
5.抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上的数字之和是的倍数的概率为( )
A. B. C. D.
6.若为直线，，为两个平面，则下列结论中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
7.已知点，，若直线过点与线段始终没有交点，则直线的斜率的取值范围是( )
A. B. 或 C. D.
8.已知的内角，，的对边分别为，，，且，，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.小明参加唱歌比赛，现场位评委给分分别为：，，，，，，，按比赛规则，计算选手最后得分成绩时，要先去掉评委给分中的最高分和最低分现去掉这组得分中的最高分和最低分后，下列数字特征的值不会发生变化的是( )
A. 平均数 B. 极差 C. 中位数 D. 众数
10.有下列说法，其中正确的说法为( )
A. 若，，则
B. 两个非零向量、，若，则与垂直
C. 若点为的重心，则
D. 若，，分别表示、的面积，则：：
11.如图，在棱长为的正方体中，、、、、均为所在棱的中点，动点在正方体表面运动，则下列结论正确的有( )
A. 当点为中点时，平面平面
B. 异面直线、所成角的余弦值为
C. 点、、、、在同一个球面上
D. 若，则点轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知球的半径为，则它的体积为______．
13.甲、乙两人各进行次射击，如果两人击中目标的概率分别为和，则其中恰有人击中目标的概率是______．
14.如图，直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，，线段上有动点，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线：，：．
求经过点且与直线垂直的直线方程；
求经过直线与的交点，且在两坐标上的截距相等的直线方程．
16.本小题分
已知，．
若与共线，求的值．
若与的夹角为，求的值．
求向量在向量上投影的数量．
17.本小题分
用分层随机抽样从某校高一年级名学生的数学成绩满分为分，成绩都是整数中抽取一个样本容量为的样本，其中男生成绩数据个，女生成绩数据个再将个男生成绩样本数据分为组：，，，，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图．
由频率分布直方图，求出图中的值，并估计个男生成绩样本数据的平均值；
为了进一步分析学生的成绩，按性别采用分层随机抽样的方法抽取人，再从中抽取人，求这人中男生女生各人的概率．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，是的中点，是上的一点．
证明：平面平面；
求点到平面的距离；
若异面直线和所成角的余弦值为，求二面角的正弦值．
19.本小题分
克罗狄斯托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，他在所著的天文集中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，且三角形为正三角形．
当时，求四边形的周长；
当多大时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值；
若与相交于点，则当线段的长取最大值时，求的值．
参考答案
1.
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15.由直线，可得斜率为，
故可设所求直线方程为，
则依题意有，解得，
所以所求直线方程为，整理得；
联立，解得，即直线与的交点为，
当直线的截距都不为时，假设直线方程为，
依题意，解得，此时直线方程为，即，
当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为，
代入得，此时；
综上所述：所求直线方程为或．
16.由题可得，，，
又与共线，
则，解得；
由题可得，，，
又与的夹角为，
则，解得；
由题可得，，
所以向量在向量上投影的数量为．
17.由频率分布直方图可得，解得，
估计个男生成绩样本数据的平均值为：
；
男生成绩数据个，女生成绩数据个，按性别采用分层随机抽样的方法抽取人，
则抽取男生人数为，设为，，
女生人数为人，设为，，，
抽取两人的情况为：，，，，，，，，，，共种，
再从中抽取人，这人中男生女生各人的情况为：，，，，，，
所以抽取人，这人中男生女生各人的概率为．
18.证明：由题可知：建立如图所示空间直角坐标系，
又，
所以，，，，，，
则，
设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
则，所以，
令，则；
则，则，
令，则，
又，所以，
所以平面平面．
由可知：，平面的一个法向量为，
点到平面的距离为．
由可知：，
设，
所以，
又异面直线和所成角的余弦值为，
所以，
所以．
设平面的一个法向量为，
则，所以，
令，则，
所以二面角的余弦值为，
则正弦值为．
19.在中，由余弦定理，
得
，所以，
所以四边形的周长为；
设，
在中，由余弦定理得，
四边形的面积为
，
当，即时，
四边形的面积取到最大值为；
由题意，，且为正三角形，
，，，即的最大值为，
取等号时，，则，
不妨设，则，得，
即，故，
在中，由余弦定理得，故为的角平分线，
由角平分线性质可得，，故，，
由，，，四点共圆知，平分，
所以，
故．
于是
．
下证角平分线性质：
已知中，是的角平分线，交于，求证：：：．
证明：在中，，
在中，，
因为是的角平分线，所以，
又，所以：：．
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