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2024-2025学年河北省雄安新区高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.样本数据，，，，，的中位数为( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.已知事件，互斥，，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，体积为，则该正四棱台的侧棱长为( )
A. B. C. D.
6.已知，，的平均数与方差均为，则，，的平均数为( )
A. B. C. D.
7.已知圆为的外接圆，且，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知的内角，，，的对边分别为，，，内角的平分线交边于点若，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某机器人投送包裹，成功投放一次包裹的概率为若它连续尝试投送两次，则( )
A. 事件“两次都成功投放”与“恰好成功一次”是互斥事件
B. 事件“两次都未成功投放”与“至少成功一次”是对立事件
C. 事件“第一次成功投放”与“两次都成功投放”相互独立
D. 该机器人至少成功投放一次的概率为
10.函数在一个周期内的图象如图所示，且函数过点，则( )
A.
B.
C. 在区间上单调递增
D. 为奇函数
11.如图，正方体的棱长为，点在线段上运动，则( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 与平面所成角的正弦值随着点从移动到越来越大
C. 的最小值为
D. 当点为的中点时，过点作正方体外接球的截面，所得截面面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则 ______．
13.已知复数，则 ______．
14.已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长，则该三棱锥的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的单调递增区间；
求函数在区间上的值域．
16.本小题分
某学校为保障校园科创社团成员以良好身体素质开展创新实践，对“航模社”和“建模社”进行专项体能训练学期末，从两个社团各随机抽取人进行“障碍跑”成绩测试成绩单位：秒，依据测试结果得到如下频率分布直方图．
分别计算航模社测试的平均成绩、建模社测试成绩的分位数同一组中数据用该组区间中点值近似代替；
若测试成绩在秒以内含秒为“体能合格”，从两社团“体能合格”成员中按分层随机抽样选人分享“科创体能”训练经验，再从这人中选人担任经验分享会主持人，求人都来自“建模社”的概率．
17.本小题分
如图，在圆锥中，为底面圆的直径，，为圆上不与，重合的点，且，，．
求证：平面；
求异面直线与所成角的余弦值．
18.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，若．
判断的形状，并说明理由；
若是斜三角形，是的中点，且，，求．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，，与交于点，平面，，点为的中点，点是线段上的动点当平面时，．
求；
求点到平面的距离；
设，探究当为何值时，直线与平面所成的角最大．
参考答案
1.
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4.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.因为
，
由，
即，，
所以函数的单调递增区间为，；
因为，所以，
所以，
所以，
所以函数在区间上的值域为：．
16.，解得，
，解得，
则航模社测试的平均成绩，
设建模社测试成绩的分位数为，又的频率为，
的频率为，的频率为，
其中，，
在之间，
则，解得，
建模社测试成绩的分位数为；
根据题意，航模社“体能合格”的人数为人，
建模社“体能合格”的人数为人，
故航模社“体能合格”与建模社“体能合格”的人数之比为：：，
则按分层随机抽样从航模社抽取人，分别为，建模社抽取人，分别为，
再从这人中选人担任经验分享会主持人共有：
，，，，，
，，，，，共种选择，
其中人都来自“建模社”有，，种选择，
人都来自“建模社”的概率为．
17.证明：连接，延长交于点，
因为为底面圆的直径，所以，
又，所以，，，
又，所以平分，，
又，则为正三角形，是其中心，
所以是中点，，
又平面，所以，又，
所以平面；
由知，是中点，取的中点，
则，，
所以异面直线与所成的角为或其补角，
又，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
18.因为，
所以由余弦定理，得，
即，由正弦定理得，
即，即，
所以或：，所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形；
因为是斜三角形，由知，即，
设，由题意可得，
在中，由余弦定理可得：，
在中，由余弦定理可得：，
所以，解得，负值舍去，所以，
又因为，可得．
19.在四棱锥中，取中点，连接，，由点为的中点，
得，点在菱形边上，
则，
平面平面，而平面，平面，
因此，四边形为平行四边形，，
所以．
在菱形中，，则，
由平面，，平面，
所以，，，
，
，
，
设点到平面的距离为，
由，
得，
即，
解得，
所以点到平面的距离为．
设直线与平面所成的角为，
由，平面，平面，
得平面，
则点到平面的距离等于点到平面的距离，
因此，
函数对锐角是递增的，要使最大，当且仅当最小，即，
而平面，平面，
则，又，，平面，
所以平面，因为平面，所以，
所以，则，
所以当时，直线与平面所成的角最大．
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