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第6章 图形的初步知识章末重点题型复习
题型一 常见的几何体
16．（2023秋 香洲区期末）下列实物中，能抽象出圆锥的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 高陵区期末）下列几何体中，属于柱体的有（　　）
A．1 个 B．2 个 C．3个 D．4 个
3．（2024秋 临平区月考）在下面这些图形中，表示立体图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2023秋 武汉期末）将下列平面图形绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024 洛龙区一模）三角形ABC绕BC旋转一周得到的几何体为（　　）
A． B． C． D．
6．（2023秋 白云区校级期中）如图是一个由平面图形绕虚线旋转得到的立体图形，则这个平面图形是（　　）
A． B． C． D．
题型二 平面图形的识别
1．（2022秋 蚌山区校级月考）下列图形中是平面图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024秋 二道区校级期中）下面几种图形中，平面图形的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023秋 洪江市期末）下面几种几何图形中，属于平面图形的是（　　）
①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤四棱锥；⑥圆柱．
A．①②④ B．①②③ C．①②⑥ D．④⑤⑥
4．（2024秋 桥西区校级期中）下面的四个几何图形中，表示平面图形的是（　　）
A． B．
C． D．
题型三 直线、射线、线段的表示方法
1．（2023秋 孝南区期末）如图，下列说法不正确的是（　　）
A．直线AB与直线BA是同一条直线
B．线段AB与线段BA是同一条线段
C．射线OA与射线OB是同一条射线
D．射线OA与射线AB是同一条射线
2．（2024秋 辽阳月考）下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　）
A．如图1，延长线段AB到点C
B．如图2，点B在射线CA上
C．如图3，直线AB的延长线与直线CD的延长线相交于点P
D．如图4，射线CD和线段AB没有交点
3．（2024秋 裕华区期中）如图所示，下列说法不正确的是（　　）
A．点A在直线BD外
B．点A到点C的距离是线段AC的长度
C．射线AC与射线BC是同一条
D．直线AC和直线BD相交于点B
4．（2024春 威海期末）如图，有下列结论：
①以点A为端点的射线共有5条；
②以点D为端点的线段共有4条；
③射线CD和射线DC是同一条射线；
④直线BC和直线EF是同一条直线；
以上结论正确的是（　　）
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
5．（2023秋 罗庄区期末）如图，由临沂始发终点至淄博的某一次高铁列车，运行途中停靠的车站依次是：临沂﹣曲阜﹣泰安﹣济南﹣淄博，那么要为这次列车制作的单程火车票（　　）种．
A．4 B．6 C．10 D．12
题型四 直线、线段的基本事实的应用
1．（2023秋 澧县期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（　　）
A．钟表的秒针旋转一周，形成一个圆面
B．把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线
C．把弯曲的公路改直，就能缩短路程
D．木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两个点弹出一条墨线
2．（2023秋 济南期末）如图，建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上，这样做的依据是（　　）
A．直线比曲线短 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
3．（2024秋 郑州期中）在下列现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2024 前郭县一模）如图，A地到B地有三条路线，由上至下依次记为路线b，c，a，则从A地到B地的最短路线是c，其依据是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．两点之间，直线最短 D．直线比曲线短
5．（2023秋 青原区期末）工人师傅在给小明家安装晾衣架时，一般先在阳台天花板上选取两个点，然后再进行安装．这样做依据的数学原理是 　 　．
6．（2023秋 银川校级期末）某同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分（如图），发现剩下的树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是 　 　．
题型五 线段长度的计算
1．（2023秋 新城区期末）如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点，若AB＝15，CE＝4.5，求出线段AD的长度．
2．（2023秋 城厢区校级期末）如图，O是线段AB的中点，C是线段OB的中点．
（1）若AB＝6，求线段AC的长；
（2）若AC＝a，则AB＝　 　（用含a的代数式表示）．
3．（2023秋 河东区校级期末）如图，线段AB＝20，BC＝14，点M是AC的中点．
（1）求线段AM的长度；
（2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝3：4．求MN的长．
4．（2023秋 夏津县期末）如图，已知点C是线段AB上一点，且AC＝2BC，点D是AB的中点，且AD＝12．
（1）求线段BC和CD的长度；
（2）若点F是线段AB上一点，当时，请直接写出AF的长度．
5．（2023秋 虞城县期末）已知线段AB＝60，C为直线AB上一点，．
（1）求线段BC的长；
（2）E为线段AC上一点，，F为线段BC上一点，CF＝2FB，求线段EF的长．
6．如图，点C在线段AB上，点M，N分别是线段AC，BC的中点．
（1）若CNAB＝2cm，求线段MN的长度；
（2）若AC+BC＝a cm，其他条件不变，请猜想线段MN的长度，并说明理由；
（3）若点C在线段AB的延长线上，AC＝p，BC＝q，其他条件不变，求线段MN的长度．
题型六 角的概念及表示方法
1．（2024秋 杏花岭区校级月考）下列图形中，能用∠AOB，∠O，∠α三种表示方法表示同一个角的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024春 淄川区期末）下列图中的∠1也可以用∠O表示的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024春 栖霞市期末）如图，在∠AOC内部作了一条射线，下列说法错误的是（　　）
A．∠AOC不可以用∠O表示 B．这条射线记作射线BO
C．∠1与∠AOB是同一个角 D．∠AOC＝∠AOB+∠2
4．（2023秋 湘潭县期末）如图，下列说法错误的是（　　）
A．∠ECA是一个平角 B．∠ADE也可以表示为∠D
C．∠BCA也可以表示为∠1 D．∠ABC也可以表示为∠B
5．（2023秋 安次区期末）如图，下列表示角的方法，错误的是（　　）
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．∠AOC也可用∠O来表示
C．图中共有三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC
D．∠β表示的是∠BOC
6．（2023秋 隆化县期末）如图，从点O出发的五条射线，可以组成的角有（　　）
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
题型七 角的度量及角度的计算
1．（2024秋 万柏林区校级月考）47.32°用度、分、秒表示为（　　）
A．47°20′12′′ B．47°30′2′′
C．47°19′12′′ D．47°21′
2．（2024 灞桥区校级二模）如图，将一个三角板的60°角的顶点，与另一个三角板的直角顶点重合，已知∠1＝28°40'，则∠2的大小是（　　）
A．31°20' B．58°40' C．57°20' D．62°40'
3．（2023秋 永年区期末）下面等式成立的是（　　）
A．83.5°＝83°50' B．90°﹣57°23'27″＝32°37'33″
C．15°48'36″+37°27'59″＝52°16'35″ D．41.25°＝41°15'
4．（2024秋 裕华区校级期中）列竖式计算：
（1）80°35'25″+79°24'35″；
（2）51°37'﹣32°55'39″．
5．（2023秋 罗山县校级月考）计算：
①180°﹣18°15'×6；
②90°﹣（78°36'﹣13°10'÷4）．
题型八 钟表中的角度问题
（2023秋 攸县期末）如图所示，钟表上显示的时刻是10点10分，再过20分钟，时针与分针所成的角是（　　）
A．75° B．120° C．135° D．150°
2．（2024秋 碑林区校级月考）某校为了缓解上午放学餐厅拥挤，同时给学生们营造轻松的就餐环境，特实施分年级错时放学，初一年级上午11：35放学，此时钟表上时针与分针的夹角是（　　）
A．120° B．130.5° C．135° D．137.5°
3．（2023秋 宿松县期末）某同学晚上6点多钟开始做作业，他家墙上时钟的时针和分针的夹角是120°，他做完作业后还是6点多钟，且时针和分针的夹角还是120°，此同学做作业大约用了（　　）
A．40分钟 B．42分钟 C．44分钟 D．46分钟
4．（2023秋 雅安期末）钟表上的时间是3时30分，此时时针与分针所成的夹角是　 度．
5．（2024秋 黄岛区月考）2024年10月30日4时27分神舟十九号载人飞船在洒泉卫星发射中心发射成功．此时分针与时针夹角的度数是 　 　．
题型九 角度的计算
1．（2024秋 裕华区校级期中）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O，∠AOC+∠DOB＝（　　）
A．135° B．170° C．180° D．145°
2．如图，，∠COD＝∠AOD＝3∠AOB，则∠COD的度数是（　　）
A．160° B．150° C．120° D．100°
3．（2023秋 东辽县期末）如图所示，已知点O在直线AB上，∠AOE：∠EOD＝1：3，OC是∠BOD的平分线，∠EOC＝115°，求∠AOE和∠BOC．
4．（2023秋 砚山县期末）如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线，∠AOB＝130°．
（1）求∠COE的度数是多少？
（2）如果∠COD＝20°，求∠BOE的度数．
5．（2024春 市南区校级期末）若∠α和∠β均为大于0°小于180°的角，且|∠α﹣∠β|＝60°，则称∠α和∠β互为“伙伴角”．根据这个约定，解答下列问题：
（1）若∠α和∠β互为“伙伴角”，当∠α＝130°时，求∠β的度数；
（2）如图，将一长方形纸片沿着EP对折（点P在线段BC上，点E在线段AB上）使点B落在点B'，若∠1与∠2互为“伙伴角”，求∠3的度数．
6．（2023秋 朝阳区期末）已知∠AOB与∠COD共顶点O，∠AOB＝α，∠COD＝β．
（1）如图1，点A，O，C在一条直线上，若α＝60°，β＝30°，OM为∠AOD的平分线，ON为∠COB的平分线，求∠MON的度数；
（2）若α＝2β，∠AOB，∠COD绕点O运动到如图2所示的位置，OE为∠BOD的平分线，用等式表示∠AOD与∠COE之间的数量关系，并说明理由．
题型十 线段（或角）的规律探究问题
1．（2023秋 绥棱县期末）往返于甲、乙两市的列车，中途需停靠4个站，如果每两站的路程都不相同，这两地之间有多少种不同的票价（　　）
A．15 B．30 C．20 D．10
2．已知线段MN，在MN上逐一画点（所画点与M、N不重合），当线段上有1个点时，共有3条线段，当线段上有2个点时，共有6条线段，则当线段上有20个点时，共有线段（　　）条．
A．171 B．190 C．210 D．231
3．（2023秋 乾安县期末）在∠AOB的内部引一条射线，图中共有3个角；若引两条射线，图中共有6个角；若引n条射线，图中共有 　 　个角．
4．在线段AB上选取3种点，第1种是将AB线段10等分的点；第2种是将AB线段12等分的点；第3种是将AB线段15等分的点，这些点连同AB线段的端点可组成线段的条数是（　　）
A．350 B．595 C．666 D．406
5．（2023秋 威县期末）（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C，D，分别以点A，B，C，D为端点的线段共有 　 条．
（2）模型构建：若线段上有m个点（包括端点），则共有 　 条线段．
（3）拓展应用：若有8位同学参加班级的演讲比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），根据上述模型，求一共要进行多少场比赛．
6．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点．
（1）如图1，过点A在角的内部作1条射线，那么图中一共有 　 个角．
（2）如图2，过点A在角的内部作2条射线，那么图中一共有 　 个角．
（3）如图3，过点A在角的内部作3条射线，那么图中一共有 　　 个角．
（4）在角的内部作n条射线，那么图中一共有 　 　个角．
题型十一 余角和补角
1．（2023秋 商南县校级期末）已知一个角是53°17′28″，则它的补角是（　　）
A．126°42′32″ B．126°43′42″
C．126°32′42″ D．136°42′32″
2．（2023秋 沙坪坝区校级期末）如果一个角的补角是这个角的余角的5倍，则这个角的度数为（　　）
A．45° B．52.5° C．60° D．67.5°
3．（2024春 东昌府区期末）如果∠α和∠β互余，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的补角的式子中：①180°﹣∠β；②∠α+90°；③2（∠α+∠β）；④2∠α﹣∠β；⑤2∠α+∠β．正确的有（　　）
A．①② B．③④ C．①②⑤ D．②③④
4．（2023秋 重庆期末）如图，在同一平面内，∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，点F为OE反向延长线上一点（图中所有角均指小于180°的角）．下列结论：①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④若OA绕点O顺时针旋转一周，其它条件都不变，若∠FOD：∠EOC＝1：6，则∠FOD＝18°或15°，其中结论一定正确的有（　　）个
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．（2023秋 东丰县期末）如图，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC＝70°，∠AOC＝50°．
（1）求出∠AOB及其补角的度数；
（2）请求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由．
6．（2023秋 太康县期末）【实践操作】三角尺中的数学问题．
（1）如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，∠ACB＝∠DCH＝90°；
①若∠BCH＝34°，则∠ACD＝　 　°；若∠ACD＝132°，则∠BCH＝　 　；
②猜想∠ACD与∠BCH之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若是两个同样的直角三角尺，将它们60°的锐角顶点A重合在一起，∠ACB＝∠AEF＝90°，直接写出∠CAF与∠EAB之间的数量关系．
题型十二 线段动点与动角的探究问题
1．（2023秋 凉州区期末）如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动时间为t秒（0≤t≤10）．
（1）当t＝2时，①AB＝　 cm．②求线段CD的长度．
（2）用含t的代数式表示运动过程中AB的长．
（3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由．
2．（2023秋 巧家县期末）如图，数轴上点O为原点，A，B两点所表示的数分别为﹣2和8．
（1）线段AB的长为 　 　．
（2）动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
①当0＜t＜10时，PA＝　 　，PB＝　 　，点P表示的数为 　 .（用含t的式子表示）
②若M是线段PA的中点，N是线段PB的中点，试判断线段MN的长度是否与点P的运动时间t有关．若有关，请求出线段MN的长度与t的关系式；若无关，请说明理由，并求出线段MN的长度．
3．（2023秋 寻乌县期末）已知：如图，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从点M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度在直线AB上运动，运动方向如图中箭头所示（点C在线段AM上，点D在线段BM上）
（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝　 　，DM＝　 ；（直接填空）
（2）当点C、D运动了t s时，求AC+MD的值；
（3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝　 （填空）；
（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．
4．（2023秋 罗定市期末）如图1，已知∠BOC＝120°，△MON是含30°角的直角三角板，其直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将三角板按图2位置放置，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，若∠AOD＝∠BON，问：此时直线ON是否平分∠AOC？请说明理由．
（2）将三角板按图3位置放置，此时发现，当ON在∠AOC的内部时，绕点O旋转三角板△MON，∠AOM与∠NOC的差值不变，请你写出这个差值，即∠AOM﹣∠NOC＝　 　°．
5．（2023秋 金湾区期末）综合探究
如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线l上，两个直角三角板分别在直线l的两侧，且∠ABC＝∠DCE＝90°，∠ACB＝45°，∠CED＝30°．
（1）如图1，∠ACD＝　 　°；
（2）如图2，把三角板CDE绕点C旋转，使CE刚好落在∠ACB的平分线上．此时，CD是否平分∠ACF？请说明理由；
（3）如图2，把三角板CDE绕点C旋转，使得CE落在∠ACB内部，
当∠ACE＝10°时，则∠BCD＝　 　°；
当∠BCD＝110°时，则∠ACE＝　 °；
设∠ACE＝α，∠BCD＝β，试猜想α与β的数量关系，并说明理由．
6．（2023秋 长沙期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线OC，OD在∠AOB的内部，且∠COD+∠AOB＝90°，则∠COD是∠AOB的内余角．
根据以上信息，解决下面的问题：
（1）如图1，∠AOB＝72°，∠AOC＝20°，若∠COD是∠AOB的内余角，则∠BOD＝　 　；
（2）如图2．已知∠AOB＝60°将OA绕点O顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜60°）得到OC．同时将OB绕点O顺时针方向旋转一个角度得到OD．若∠COB是∠AOD的内余角，求α的值；
（3）把一块含有30°角的三角板COD按图3方式放置，使OC边与OA边重合，OD边与OB边重合，如图4将三角板COD绕顶点O以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，在旋转一周的时间内，当射线OA，OB，OC，OD构成内余角时，请求出t的值．
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第6章 图形的初步知识章末重点题型复习
题型一 常见的几何体
16．（2023秋 香洲区期末）下列实物中，能抽象出圆锥的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据物品的形状特点分别判断即可．
【解答】解：A、可看作六棱柱，故不符合题意；
B、可看作球，故不符合题意；
C、可看作圆柱，故不符合题意；
D、可看作圆锥，故符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了认识立体图形，关键是结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．
2．（2024秋 高陵区期末）下列几何体中，属于柱体的有（　　）
A．1 个 B．2 个 C．3个 D．4 个
【分析】根据柱体的定义逐项分析判定即可得出答案．
【解答】解：第一个图是三棱柱属于柱体；
第二个图是正方体属于柱体；
第三个图是五棱柱属于柱体；
第四个图是圆柱属于柱体；
∴属于柱体共有4个，
故选：D．
【点评】本题主要考查了认识立体图形，掌握各种基础立体图形的特征是本题解题的关键．
3．（2024秋 临平区月考）在下面这些图形中，表示立体图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
【解答】解：根据立体图形的概念可知：只有A是立体图形．
故选：A．
【点评】本题考查了认识立体图形，属于基础题，注意对这一概念的熟练掌握及运用．
4．（2023秋 武汉期末）将下列平面图形绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】面动成体．由题目中的图示可知：此圆台是直角梯形转成圆台的条件是：绕垂直于底的腰旋转．
【解答】解：A、是两个圆台，故A错误；
B、上面小下面大，侧面是曲面，故B正确；
C、是一个圆台，故C错误；
D、下面小上面大侧面是曲面，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查直角梯形转成圆台的条件：应绕垂直于底的腰旋转．
5．（2024 洛龙区一模）三角形ABC绕BC旋转一周得到的几何体为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由图形旋转的特点即可求解．
【解答】解：由图形的旋转性质，可知△ABC旋转后的图形为C，
故选：C．
【点评】本题考查图形的旋转；掌握图形旋转的特点是解题的关键．
6．（2023秋 白云区校级期中）如图是一个由平面图形绕虚线旋转得到的立体图形，则这个平面图形是（　　）
A． B． C． D．
【分析】图示几何体是由两个圆柱组成的，矩形旋转成圆柱，据此即可求解．
【解答】解：选项A中图形绕虚线旋转一周，能够得到上下两个圆柱，符合题意；
选项B中图形绕虚线旋转一周，能够得到上下两个圆柱，且上圆柱有空心，不符合题意．
选项C中图形绕虚线旋转一周，能够得到上下中下三个圆柱，且上下圆柱有空心，不符合题意；
选项D中图形绕虚线旋转一周，能够得到上下中下三个圆柱，故选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了点、线、面、体——图形的旋转，解题关键在于要有丰富的空间想象能力．
题型二 平面图形的识别
1．（2022秋 蚌山区校级月考）下列图形中是平面图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形；有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形．根据概念逐一分析即可．
【解答】解：三角形的边与角都在平面内，是平面图形，故A符合题意；
正方体，球，六棱柱都是立体图形，故B，C，D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了平面图形和立体图形的认识，掌握平面图形与立体图形的特点是关键．
2．（2024秋 二道区校级期中）下面几种图形中，平面图形的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据立体图形和平面图形的定义判断即可．
【解答】解：三角形、正方形是平面图形，正方体和球是立体图形，因此平面图形有2个，故B正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了生活中的几何图形，解题的关键是熟练掌握立体图形和平面图形的定义
3．（2023秋 洪江市期末）下面几种几何图形中，属于平面图形的是（　　）
①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤四棱锥；⑥圆柱．
A．①②④ B．①②③ C．①②⑥ D．④⑤⑥
【分析】根据立体图形和平面图形定义分别进行判断．
【解答】解：①三角形；②长方形；④圆，它们的各部分都在同一个平面内，属于平面图形；
③正方体；⑤四棱锥；⑥圆柱属于立体图形．
故选：A．
【点评】本题考查了认识平面图形．有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
4．（2024秋 桥西区校级期中）下面的四个几何图形中，表示平面图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】几何体和平面图形的甄别．
【解答】解：A． 是几何体，不符合题意；
B． 是几何体，不符合题意；
C． 是几何体，不符合题意；
D． 是平面图形，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了几何体和平面图形，熟练掌握几何体是解题的关键．
题型三 直线、射线、线段的表示方法
1．（2023秋 孝南区期末）如图，下列说法不正确的是（　　）
A．直线AB与直线BA是同一条直线
B．线段AB与线段BA是同一条线段
C．射线OA与射线OB是同一条射线
D．射线OA与射线AB是同一条射线
【分析】根据直线的表示方法可对选项A进行判断；根据线段的表示方法对选项B进行判断；根据射线的表示方法可对选项C，D进行判断，综上所述可得出答案．
【解答】解：∵直线AB与直线BA是同一条直线，
∴选项A正确，不符合题意；
∵线段AB与线段BA是同一条线段，
∴选项B正确，不符合题意；
∵射线OA与射线是同一条射线，
∴选项C正确，不符合题意；
∵射线OA与射线AB不是同一条射线，
∴选项D不正确，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要线段、射线、直线，准确识图，熟练掌握线段、射线、直线的概念及其表示方法是解决问题的关键．
2．（2024秋 辽阳月考）下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　）
A．如图1，延长线段AB到点C
B．如图2，点B在射线CA上
C．如图3，直线AB的延长线与直线CD的延长线相交于点P
D．如图4，射线CD和线段AB没有交点
【分析】根据直线、射线和线段的性质逐项进行判定即可．
【解答】解：A．延长线段BA到点C，故该选项不正确，不符合题意；
B．点B在直线CA上，故该选项不正确，不符合题意；
C．直线AB与直线CD相交于点P，故该选项不正确，不符合题意；
D．射线CD和线段AB没有交点，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了直线、射线和线段的性质，掌握直线、射线和线段性质定理的应用是关键．
3．（2024秋 裕华区期中）如图所示，下列说法不正确的是（　　）
A．点A在直线BD外
B．点A到点C的距离是线段AC的长度
C．射线AC与射线BC是同一条
D．直线AC和直线BD相交于点B
【分析】根据直线、射线与线段的定义，结合图形解答．
【解答】解：选项A．点A在直线BD外，正确，故不符合题意；
选项B．点A到点C的距离是线段AC的长度，正确，故不符合题意；
选项C．射线AC与射线BC不是同一条，不正确，故符合题意；
选项D．直线AC和直线BD相交于点B，正确，故不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了直线、射线、线段．解题的关键是掌握直线、射线、线段的定义，要注意：直线没有端点．
4．（2024春 威海期末）如图，有下列结论：
①以点A为端点的射线共有5条；
②以点D为端点的线段共有4条；
③射线CD和射线DC是同一条射线；
④直线BC和直线EF是同一条直线；
以上结论正确的是（　　）
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
【分析】根据直线、射线、线段的定义，结合具体的图形逐个进行判断即可．
【解答】解：①以点A为端点的射线有射线AB，射线AC，射线AD，射线AE，射线AF，共有5条，因此①正确；
②以点D为端点的线段有DA，DB，DC，DE，DF，共有5条，因此②不正确；
③射线CD和射线DC不是同一条射线，因此③不正确；
④直线BC和直线EF是同一条直线，因此④正确；
综上所述，正确的结论有①④，
故选：B．
【点评】本题考查直线、射线、线段，掌握直线、射线、线段的定义是正确解答的关键．
5．（2023秋 罗庄区期末）如图，由临沂始发终点至淄博的某一次高铁列车，运行途中停靠的车站依次是：临沂﹣曲阜﹣泰安﹣济南﹣淄博，那么要为这次列车制作的单程火车票（　　）种．
A．4 B．6 C．10 D．12
【分析】根据线段条数的计算方法进行计算即可．
【解答】解：高铁列车在运行途中，停靠的车站依次是临沂﹣曲阜﹣泰安﹣济南﹣淄博，要为这次列车制作的单程火车票的种类为1+2+3+4＝10（种），
故选：C．
【点评】本题考查直线、射线、线段，掌握线段的性质以及线段条数的计算方法是正确解答的关键．
题型四 直线、线段的基本事实的应用
1．（2023秋 澧县期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（　　）
A．钟表的秒针旋转一周，形成一个圆面
B．把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线
C．把弯曲的公路改直，就能缩短路程
D．木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两个点弹出一条墨线
【分析】根据两点确定一条直线解答即可．
【解答】解：A、钟表的秒针旋转一周，形成一个圆面，说明线动成面，不符合题意；
B、把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，说明点动成线，不符合题意；
C、把弯曲的公路改直，就能缩短路程，说明两点之间，线段最短，不符合题意；
D、木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两个点弹出一条墨线，说明两点确定一条直线，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是两点确定一条直线，熟知经过两点有且只有一条直线是解题的关键．
2．（2023秋 济南期末）如图，建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上，这样做的依据是（　　）
A．直线比曲线短 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【分析】由直线公理可直接得出答案．
【解答】解：建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上，
这样做的依据是：两点确定一条直线．
故选：C．
【点评】此题主要考查了考查了直线的性质，要想确定一条直线，至少要知道两点．
3．（2024秋 郑州期中）在下列现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由直线的性质：两点确定一条直线，即可得到答案．
【解答】解：可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧；
“弯曲公路改值”，可以用“两点之间线段最短”来解释，不能用基本事实“两点确定一条直线”来解释．
∴这些现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有1个．
故选：A．
【点评】本题考查直线的性质：两点确定一条直线，关键是掌握直线的性质．
4．（2024 前郭县一模）如图，A地到B地有三条路线，由上至下依次记为路线b，c，a，则从A地到B地的最短路线是c，其依据是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．两点之间，直线最短 D．直线比曲线短
【分析】根据线段的性质，可得答案．
【解答】解：从A地到B地的最短路线是c，其中蕴含的数学道理是两点之间线段最短，
故选：A．
【点评】本题考查了线段的性质，熟记两点之间，线段最短是解题关键．
5．（2023秋 青原区期末）工人师傅在给小明家安装晾衣架时，一般先在阳台天花板上选取两个点，然后再进行安装．这样做依据的数学原理是 　 　．
【分析】直接利用直线的性质分析得出答案．
【解答】解：工人师傅在给小明家安装晾衣架时，一般先在阳台天花板上选取两个点，然后再进行安装．
这样做的数学原理是：两点确定一条直线．
故答案为：两点确定一条直线．
【点评】此题主要考查了直线的性质，正确把握直线的性质是解题的关键．
6．（2023秋 银川校级期末）某同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分（如图），发现剩下的树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是 　 　．
【分析】由线段的性质：两点之间线段最短，即可得到答案．
【解答】解：用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分（如图），发现剩下的树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
【点评】本题考查线段的性质，关键是掌握两点之间线段最短．
题型五 线段长度的计算
1．（2023秋 新城区期末）如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点，若AB＝15，CE＝4.5，求出线段AD的长度．
【分析】根据中点的性质，可得BC的长，根据线段的和差，可得BE的长，AE的长，根据中点的性质，可得答案．
【解答】解：∵点C为线段AB的中点，AB＝15，
∴ACAB＝7.5，
∴AE＝AC+CE＝7.5+4.5＝12，
∵点D为线段AE的中点，
∴．
【点评】本题考查了两点间的距离，线段的中点分线段相等是解题关键．
2．（2023秋 城厢区校级期末）如图，O是线段AB的中点，C是线段OB的中点．
（1）若AB＝6，求线段AC的长；
（2）若AC＝a，则AB＝　 　（用含a的代数式表示）．
【分析】（1）根据线段中点的定义得AO＝OBAB，OC＝CBOB，则AC＝AO+OC；
（2）由AC＝AO+OCABOBABABAB，以此即可求解．
【解答】解：（1）∵AB＝6，O是线段AB的中点，
∴AO＝OBAB＝3，
∵C是线段OB的中点，
∴OC＝CBOB＝1.5，
∴AC＝AO+OC＝3+1.5＝4.5；
故答案为：4.5；
（2）∵AC＝AO+OCABOBABABAB，
∴ABACa．
故答案为：a．
【点评】本题主要考查线段的和差以及线段中点的定义，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解题关键．
3．（2023秋 河东区校级期末）如图，线段AB＝20，BC＝14，点M是AC的中点．
（1）求线段AM的长度；
（2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝3：4．求MN的长．
【分析】（1）根据图示知AMAC，AC＝AB﹣BC；
（2）根据已知条件求得CN＝6，然后根据图示知MN＝MC+NC．
【解答】解：（1）线段AB＝20，BC＝14，
∴AC＝AB﹣BC＝20﹣14＝6．
又∵点M是AC的中点．
∴AMAC6＝3，即线段AM的长度是3．
（2）∵BC＝14，CN：NB＝3：4，
∴CNBC14＝6．
又∵点M是AC的中点，AC＝6，
∴MCAC＝3，
∴MN＝MC+NC＝9，即MN的长度是9．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的性质．
4．（2023秋 夏津县期末）如图，已知点C是线段AB上一点，且AC＝2BC，点D是AB的中点，且AD＝12．
（1）求线段BC和CD的长度；
（2）若点F是线段AB上一点，当时，请直接写出AF的长度．
【分析】（1）根据AB＝2AD求出AB，结合AC＝2BC求出AC，BC即可求解；
（2）根据题意画出满足条件的两种情况，即可求解．
【解答】解：（1）∵点D是AB的中点，且AD＝12．
∴AB＝2AD＝24，
∵AC＝2BC，
∴，
∴CD＝AC﹣AD＝4；
（2）
如图所示：，
则AF＝AC﹣CF＝15；
如图所示：，
则AF＝AC+CF＝17；
∴AF＝15或17．
【点评】本题考查了线段的和差关系，根据几何图确定线段的关系是解题关键．
5．（2023秋 虞城县期末）已知线段AB＝60，C为直线AB上一点，．
（1）求线段BC的长；
（2）E为线段AC上一点，，F为线段BC上一点，CF＝2FB，求线段EF的长．
【分析】（1）已知AB＝60，ABBC，可得BC的长．
（2）分点C在线段AB上、点C在线段AB的延长线上两种情况讨论．
【解答】解：（1）∵AB＝60，ABBC，
∴BC＝48；
（2）①点C在线段AB上时，
，
∵AB＝60，BC＝48，
∴AC＝12，
∵AEAC，
∴AE＝3，CE＝9，
∵CF＝2FB，BC＝BF+CF，
∴BF＝16，CF＝32，
∵EF＝EC+CF，
∴EF＝41，
②点C在线段AB的延长线上时，
，
∵AB＝60，BC＝48，
∴AC＝108，
∵AEAC，
∴AE＝27，BE＝33，
∵CF＝2FB，BC＝BF+CF，
∴BF＝16，CF＝32，
∵EF＝EB+BF，
∴EF＝49，
∴EF＝41或EF＝49．
【点评】本题考查了两点间的距离，关键是注意分类讨论．
6．如图，点C在线段AB上，点M，N分别是线段AC，BC的中点．
（1）若CNAB＝2cm，求线段MN的长度；
（2）若AC+BC＝a cm，其他条件不变，请猜想线段MN的长度，并说明理由；
（3）若点C在线段AB的延长线上，AC＝p，BC＝q，其他条件不变，求线段MN的长度．
【分析】（1）由中点的性质得MCAC，CNBC，根据MN＝MC+CNACBC（AC+BC）可得答案；
（2）与（1）同理；
（3）根据中点的性质得MCAC，CNBC，结合图形依据MN＝MC﹣CNACBC（AC﹣BC）可得答案．
【解答】解：（1）∵CNAB＝2cm，
∴AB＝10（cm），
∵点M，N分别是AC，BC的中点，
∴MCAC，CNBC，
∴MN＝MC+CNACBC（AC+BC）AB＝5（cm）；
（2）∵M、N分别是AC、BC的中点，
∴MCAC，CNBC，
∵AC+CB＝a cm，
∴MN＝MC+CN（AC+CB）a（cm）；
（3）如图，
∵M，N分别是AC，BC的中点，
∴MCAC，CNBC，
∵AC＝p，BC＝q，
∴MN＝MC﹣CNACBC（AC﹣BC）AB．
【点评】本题主要考查的是线段的和差，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键．
题型六 角的概念及表示方法
1．（2024秋 杏花岭区校级月考）下列图形中，能用∠AOB，∠O，∠α三种表示方法表示同一个角的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据角的表示方法，结合图形进行判断即可．
【解答】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项不符合题意；
B、图中的∠AOB不能用∠O和∠α表示，故本选项不符合题意；
C、图中能用∠AOB，∠O，∠α表示同一个角，故本选项符合题意；
D、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了角的概念，角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示，其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．
2．（2024春 淄川区期末）下列图中的∠1也可以用∠O表示的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据顶点只有一个角时可用一个大写字母表示角，所以可判定答案．
【解答】解：选项A：∠1的顶点处只有一个角（小于平角），可用∠O表示，符合题意；
选项B：∠1顶点处有三个角（小于平角），不能用∠O表示，不符合题意；
选项C：∠1顶点处有2个角（小于平角），不能用∠O表示，不符合题意；
选项D：∠1顶点处有4个角（小于平角），不能用∠O表示，不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法．
3．（2024春 栖霞市期末）如图，在∠AOC内部作了一条射线，下列说法错误的是（　　）
A．∠AOC不可以用∠O表示 B．这条射线记作射线BO
C．∠1与∠AOB是同一个角 D．∠AOC＝∠AOB+∠2
【分析】根据射线和角的表示方法即可判断求解．
【解答】解：A、∠AOC不可以用∠O表示，该选项正确，不合题意；
B、这条射线记作射线OB，该选项错误，符合题意；
C、∠1与∠AOB是同一个角，该选项正确，不合题意；
D、∠AOC＝∠AOB+∠2，该选项正确，不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了射线和角的表示方法，掌握射线和角的表示方法是解题的关键．
4．（2023秋 湘潭县期末）如图，下列说法错误的是（　　）
A．∠ECA是一个平角 B．∠ADE也可以表示为∠D
C．∠BCA也可以表示为∠1 D．∠ABC也可以表示为∠B
【分析】角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况下，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．
【解答】解：A、∠ECA是一个平角，故正确，不符合题意；
B、∠ADE也可以表示为∠D，故正确，不符合题意；
C、∠BCA也可以表示为∠1，故正确，不符合题意；
D、∠ABC也不可以表示为∠B，故错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了角的表示，解题时注意：在顶点处只有一个角的情况下，才可用顶点处的一个字母来记这个角．
5．（2023秋 安次区期末）如图，下列表示角的方法，错误的是（　　）
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．∠AOC也可用∠O来表示
C．图中共有三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC
D．∠β表示的是∠BOC
【分析】A：根据角的表示方法判断即可．
B：只有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，所以∠AOC不能∠O来表示，据此判断即可．
C：根据角的概念，判断出图中一共有多少个角即可．
D：根据角的表示方法判断即可．
【解答】解：∵∠1与∠AOB表示同一个角，
∴选项A正确．
∵只有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，
∴∠AOC不能∠O来表示，
∴选项B错误．
∵图中共有三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，
∴选项C正确．
∵∠β表示的是∠BOC，
∴选项D正确．
故选：B．
【点评】此题主要考查了角的表示方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．
6．（2023秋 隆化县期末）如图，从点O出发的五条射线，可以组成的角有（　　）
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
【分析】利用角的意义分别找出各角即可得出结论．
【解答】解：从点O出发的五条射线，可以组成的角有：∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠COD，∠COE，∠DOE，共10个，
故选：D．
【点评】本题主要考查了交点概念，利用角的定义找出各角是解题的关键．
题型七 角的度量及角度的计算
1．（2024秋 万柏林区校级月考）47.32°用度、分、秒表示为（　　）
A．47°20′12′′ B．47°30′2′′
C．47°19′12′′ D．47°21′
【分析】根据度分秒的进制进行计算，即可解答．
【解答】解：∵1°＝60′，
∴0.32°＝19.2′，
∵1′＝60″，
∴0.2′＝12″，
∴47.32°＝47°19′12″，
故选：C．
【点评】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
2．（2024 灞桥区校级二模）如图，将一个三角板的60°角的顶点，与另一个三角板的直角顶点重合，已知∠1＝28°40'，则∠2的大小是（　　）
A．31°20' B．58°40' C．57°20' D．62°40'
【分析】根据∠BAC＝60°，∠1＝28°40′，求出∠EAC的度数，再根据∠2＝90°﹣∠EAC，即可求出∠2的度数．
【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠1＝28°40′，
∴∠EAC＝31°20′，
∵∠EAD＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠EAC＝90°﹣31°20′＝58°40′；
故选：B．
【点评】本题主要考查了度分秒的换算，关键是求出∠EAC的度数，是一道基础题．
3．（2023秋 永年区期末）下面等式成立的是（　　）
A．83.5°＝83°50' B．90°﹣57°23'27″＝32°37'33″
C．15°48'36″+37°27'59″＝52°16'35″ D．41.25°＝41°15'
【分析】根据1°＝60′，1′＝60″进行换算即可．
【解答】解：A、83.5°＝83°30'，故本选项不符合题意；
B、90°﹣57°23'27″＝32°36'33″，故本选项不符合题意；
C、15°48'36″+37°27'59″＝53°16'35″，故本选项不符合题意；
D、41.25°＝41°15'，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了度、分、秒的计算，角的度量单位度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．
4．（2024秋 裕华区校级期中）列竖式计算：
（1）80°35'25″+79°24'35″；
（2）51°37'﹣32°55'39″．
【分析】利用度分秒之间的进率计算即可．
【解答】解：（1）原式＝159°59′60″
＝160°；
（2）原式＝50°96′60″﹣32°55'39″
＝18°41′21″．
【点评】本题考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒之间的进率是解题的关键．
5．（2023秋 罗山县校级月考）计算：
①180°﹣18°15'×6；
②90°﹣（78°36'﹣13°10'÷4）．
【分析】①先计算乘法，再计算减法即可；
②先计算除法和括号内的减法，再计算减法即可．
【解答】解：①180°﹣18°15'×6
＝180°﹣109°30'
＝70°30'；
②90°﹣（78°36'﹣13°10'÷4）
＝90°﹣（78°36'﹣3°17'30″）
＝90°﹣75°18'30″
＝14°41'30″．
【点评】此类题考查了度、分、秒的换算，是角度计算中的一个难点，注意以60为进制即可．
题型八 钟表中的角度问题
（2023秋 攸县期末）如图所示，钟表上显示的时刻是10点10分，再过20分钟，时针与分针所成的角是（　　）
A．75° B．120° C．135° D．150°
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【解答】解：10点10分，再过20分钟就是10点30分，
30°×（4）＝135°，
故选：C．
【点评】本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的份数是解题关键．
2．（2024秋 碑林区校级月考）某校为了缓解上午放学餐厅拥挤，同时给学生们营造轻松的就餐环境，特实施分年级错时放学，初一年级上午11：35放学，此时钟表上时针与分针的夹角是（　　）
A．120° B．130.5° C．135° D．137.5°
【分析】根据1分钟时针针转0.5°，1大格是30°进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：4×30°+35×0.5°
＝120°+17.5°
＝137.5°，
故选：D．
【点评】本题考查了钟面角，熟练掌握1大格是30°，1分钟时针针转0.5°是解题的关键．
3．（2023秋 宿松县期末）某同学晚上6点多钟开始做作业，他家墙上时钟的时针和分针的夹角是120°，他做完作业后还是6点多钟，且时针和分针的夹角还是120°，此同学做作业大约用了（　　）
A．40分钟 B．42分钟 C．44分钟 D．46分钟
【分析】根据分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，可列方程求解．
【解答】解：设开始做作业时的时间是6点x分，
∴6x﹣0.5x＝180﹣120，
解得x≈11；
再设做完作业后的时间是6点y分，
∴6y﹣0.5y＝180+120，
解得y≈55，
∴此同学做作业大约用了55﹣11＝44分钟．
故选：C．
【点评】本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
4．（2023秋 雅安期末）钟表上的时间是3时30分，此时时针与分针所成的夹角是　 度．
【分析】3点30分时，时针与分针的夹角分两种情况，根据每相邻两个时间点的夹角为30°，较小夹角是2.5个大格，从而可以求出较小夹角．
【解答】解：3点30分时，时针与分针的较小夹角是2.5个大格，
一个大格的度数是30°，所以30°×2.5＝75°；
故答案为：75．
【点评】本题主要考查钟面角的大小，熟知钟面上每相邻两个时间的夹角是30度是解题的关键．
5．（2024秋 黄岛区月考）2024年10月30日4时27分神舟十九号载人飞船在洒泉卫星发射中心发射成功．此时分针与时针夹角的度数是 　 　．
【分析】根据时针每分钟转0.5°，分针每分钟转6°进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：7×6°﹣27×0.5°
＝42°﹣13.5°
＝28.5°，
∴分针与时针夹角的度数是28.5°，
故答案为：28.5°．
【点评】本题考查了钟面角，熟练掌握时针每分钟转0.5°，分针每分钟转6°是解题的关键．
题型九 角度的计算
1．（2024秋 裕华区校级期中）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O，∠AOC+∠DOB＝（　　）
A．135° B．170° C．180° D．145°
【分析】由三角板的特征得出∠AOB＝∠COD＝90°，即可表示出∠AOD，再根据∠AOC＝∠AOD+∠COD即可求出∠AOC+∠DOB的度数．
【解答】解：由题意得，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠DOB＝90°﹣∠DOB，
∵∠AOC＝∠AOD+∠COD，
∴∠AOC＝90°﹣∠DOB+90°＝180°﹣∠DOB，
∴∠AOC+∠DOB＝180°，
故选：C．
【点评】本题考查了角的计算，根据图形得出角之间的关系是解题的关键．
2．如图，，∠COD＝∠AOD＝3∠AOB，则∠COD的度数是（　　）
A．160° B．150° C．120° D．100°
【分析】根据平面各角和为360°，又因为各角与∠AOB有关系，用∠AOB表示其余角，设∠AOB＝x°故有3x+3x+2x+x＝360，解之可得X，又因为∠COD＝3∠AOB，即可得解．
【解答】解：设∠AOB＝x°，由题意3x+3x+2x+x＝360，
可得x＝40，即∠AOB＝40°，
又因为∠COD＝3∠AOB，即∠COD＝120°．
故选：C．
【点评】此题简单的考查了周角为360°的知识点，要求学生灵活掌握运用．
3．（2023秋 东辽县期末）如图所示，已知点O在直线AB上，∠AOE：∠EOD＝1：3，OC是∠BOD的平分线，∠EOC＝115°，求∠AOE和∠BOC．
【分析】设∠AOE＝x，根据题意得到∠EOD＝3x，根据角平分线的定义、结合图形列出方程，解方程即可．
【解答】解：∵∠AOE：∠EOD＝1：3，
∴设∠AOE＝x，则∠EOD＝3x，
又∵∠EOC＝115°，
∴∠COD＝115°﹣3x，
∵OC是∠BOD的平分线，
∴∠COB＝∠COD＝115°﹣3x，
又∵点O在直线AB上，
∴∠AOE+∠EOD+∠COD+∠COB＝180°，
∴x+3x+2（115﹣3x）＝180°，
解得，x＝25°，
∴∠AOE＝25°，
∴∠BOC＝115°﹣3×25°＝40°．
【点评】本题考查的是角平分线的定义、角的计算，掌握角平分线的定义是解题的关键．
4．（2023秋 砚山县期末）如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线，∠AOB＝130°．
（1）求∠COE的度数是多少？
（2）如果∠COD＝20°，求∠BOE的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠COD∠AOD，∠DOE∠BOD，那么∠COE＝∠COD+∠DOE∠AOB＝65°；
（2）先根据∠COD＝20°求出∠AOD的度数，再根据∠AOB＝130°求出∠BOD的度数，根据角平分线的定义即可得出结论．
【解答】解：（1）∵OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线，
∴∠COD∠AOD，∠DOE∠BOD，
∴∠COE＝∠COD+∠DOE
∠AOD∠BOD
（∠AOD+∠BOD）
∠AOB
＝65°；
（2）∵OC是∠AOD的平分线，∠COD＝20°，
∴∠AOD＝2∠COD＝2×20°＝40°，
∵∠AOB＝130°，
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝130°﹣40°＝90°，
∵OE是∠BOD的平分线，
∴∠BOE∠BOD90°＝45°．
【点评】本题考查的是角平分线的定义，熟知各角之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
5．（2024春 市南区校级期末）若∠α和∠β均为大于0°小于180°的角，且|∠α﹣∠β|＝60°，则称∠α和∠β互为“伙伴角”．根据这个约定，解答下列问题：
（1）若∠α和∠β互为“伙伴角”，当∠α＝130°时，求∠β的度数；
（2）如图，将一长方形纸片沿着EP对折（点P在线段BC上，点E在线段AB上）使点B落在点B'，若∠1与∠2互为“伙伴角”，求∠3的度数．
【分析】（1）根据互为“伙伴角”定义得|∠α﹣∠β|＝60°，则∠β＝∠α﹣60°或∠β＝∠α+60°，将∠α＝130°代入得∠β的度数；
（2）由折叠的性质得∠1＝∠3，根据∠1与∠2互为“伙伴角”得|∠1﹣∠2|＝60°，则∠2＝∠2﹣60°或∠2＝∠1+60°，再根据∠1+∠2+∠3＝180°得2∠3+∠3﹣60°＝180°或2∠3+∠3+60°＝180°，由此可得∠3的度数．
【解答】解：（1）∵∠α和∠β互为“伙伴角”，
∴|∠α﹣∠β|＝60°，
∴∠α﹣∠β＝60°或∠β﹣∠α＝60°，
∴∠β＝∠α﹣60°或∠β＝∠α+60°，
∵∠α＝130°，
∴∠β＝70°或∠β＝190°，
∵∠α和∠β均为大于0°小于180°的角，
∴∠β＝70°；
（2）由折叠的性质得：∠1＝∠3，
∵∠1与∠2互为“伙伴角”，
∴|∠1﹣∠2|＝60°，
∴∠1﹣∠2＝60°或∠2﹣∠1＝60°，
∴∠2＝∠2﹣60°或∠2＝∠1+60°，
∵∠1+∠2+∠3＝180°，∠1＝∠3，
∴2∠3+∠2＝180°，
∴2∠3+∠3﹣60°＝180°或2∠3+∠3+60°＝180°，
由2∠3+∠3﹣60°＝180°，解得：∠3＝80°，
由2∠3+∠3+60°＝180°，解得：∠3＝40°，
综上所述：∠3的度数为80°或40°．
【点评】此题主要考查了角的计算，绝对值的意义，准确识图，理解绝对值的意义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键．
6．（2023秋 朝阳区期末）已知∠AOB与∠COD共顶点O，∠AOB＝α，∠COD＝β．
（1）如图1，点A，O，C在一条直线上，若α＝60°，β＝30°，OM为∠AOD的平分线，ON为∠COB的平分线，求∠MON的度数；
（2）若α＝2β，∠AOB，∠COD绕点O运动到如图2所示的位置，OE为∠BOD的平分线，用等式表示∠AOD与∠COE之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由邻补角的性质得到∠AOD＝150°，∠BOC＝120°，由角平分线定义求出∠AOM，∠CON的度数，由平角定义即可得到∠MON的度数；
（2）由角平分线定义得到∠DOEβ∠AOC，求出∠COE＝∠DOE﹣∠COD（β﹣∠AOC），∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝β﹣∠AOC，即可得到∠AOD＝2∠COE．
【解答】解：（1）∵∠COD＝30°，
∴∠AOD＝180°﹣30°＝150°，
∵OM为∠AOD的平分线，
∴∠AOM∠AOD＝75°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOB＝120°，
∵ON为∠COB的平分线，
∴∠CON∠BOC＝60°，
∴∠MON＝180°﹣∠AOM﹣∠CON＝45°；
（2）∠AOD＝2∠COE，理由如下：
∵OE为∠BOD的平分线，
∴∠DOE∠BOD，
∵∠BOD＝∠AOB+∠AOD＝∠AOB+∠COD﹣∠AOC＝2β+β﹣∠AOC＝3β﹣∠AOC，
∴∠DOEβ∠AOC，
∴∠COE＝∠DOE﹣∠CODβ∠AOC﹣β（β﹣∠AOC），
∵∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝3β﹣∠AOC﹣2β＝β﹣∠AOC，
∴∠AOD＝2∠COE．
【点评】本题考查角平分线定义，关键是由角平分线定义求出∠AOM，∠CON的度数；由角平分线定义得到∠DOEβ∠AOC．
题型十 线段（或角）的规律探究问题
1．（2023秋 绥棱县期末）往返于甲、乙两市的列车，中途需停靠4个站，如果每两站的路程都不相同，这两地之间有多少种不同的票价（　　）
A．15 B．30 C．20 D．10
【分析】可以借助线段图来分析，有多少条线段，就有多少中不同的票价．
【解答】解：如图所示：
A，F代表甲，乙两市，B，C，D，E代表四个停靠站，
图中共有线段：AB，AC，AD，AE，AF．BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，总共15条，
所以共有15种不同的票价，
故选：A．
【点评】本题考查了直线，射线，线段，借助线段图来解决是解题的关键．
2．已知线段MN，在MN上逐一画点（所画点与M、N不重合），当线段上有1个点时，共有3条线段，当线段上有2个点时，共有6条线段，则当线段上有20个点时，共有线段（　　）条．
A．171 B．190 C．210 D．231
【分析】根据题意在MN上1个点有1+2＝3条线段，2个点可组成1+2+3＝6条线段，进而可得答案．
【解答】解：由题意可知：
如果线段上有3个点时，线段共有1+2＝3条，
如果线段上有4个点时，线段共有1+2+3＝6条，
如果线段上有5个点时，线段共有1+2+3+4＝10条，
由以此类推可以得出：当在MN上有20个点时，共有线段：1+2+3+…+20+21（1+21）×21＝231．
故选：D．
【点评】本题考查了直线、射线、线段，任意两点有一条线段，根据规律是解题的关键．
3．（2023秋 乾安县期末）在∠AOB的内部引一条射线，图中共有3个角；若引两条射线，图中共有6个角；若引n条射线，图中共有 　 　个角．
【分析】每两条射线组成一个角，一条射线与其他射线都能组成一个角，当引出n条射线时，此时共有（n+2）条射线，其中每一条射线与剩余（n+1）条射线都组成一个角，可组成（n+1）个角，（n+2）条射线可组成的角（n+2）（n+1）个角，但每个角都算了两次，则引出n条射线能组成个角．
【解答】解：在∠AOB的内部引一条射线，图中共有1+2＝3个角；
若引两条射线，图中共有1+2+3＝6个角；
…
若引n条射线，图中共有个角；
故答案是：．
【点评】本题主要考查图形变化类的规律题，能够根据题意找出规律是解题的关键．
4．在线段AB上选取3种点，第1种是将AB线段10等分的点；第2种是将AB线段12等分的点；第3种是将AB线段15等分的点，这些点连同AB线段的端点可组成线段的条数是（　　）
A．350 B．595 C．666 D．406
【分析】先找出重复的点，再求出所有的点的个数，利用组合即可求出线段的条数．
【解答】解：10，12，15的最小公倍数为60，重复的点的个数＝（1）+（1）＝7；
除端点外的点的个数为：（15﹣1）+（12﹣1）+（10﹣1）﹣7＝27，
∴连同AB线段的端点共27+2＝29个端点，
∴29个点任取2个的组合有C（29，2）29×14＝406（条）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了直线，射线及线段，解题的关键是找出所有的端点个数．
5．（2023秋 威县期末）（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C，D，分别以点A，B，C，D为端点的线段共有 　 条．
（2）模型构建：若线段上有m个点（包括端点），则共有 　 条线段．
（3）拓展应用：若有8位同学参加班级的演讲比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），根据上述模型，求一共要进行多少场比赛．
【分析】【观察思考】从左向右依次固定一个端点A，C，D找出线段，最后求和即可；
【模型构建】根据数线段的特点列出式子化简即可；
【拓展应用】将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论．
【解答】解：（1）【观察思考】∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，
以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，
以点D为左端点的线段有线段DB，
∴共有3+2+1＝6（条）．
故答案为：6；
（2）【模型构建】设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，
则x＝（m﹣1）+（m﹣2）+（m﹣3）+…+3+2+1，
∴倒序排列有x＝1+2+3+…+（m﹣3）+（m﹣2）+（m﹣1），
∴2x＝m+m+m+…+m＝m（m﹣1），
∴xm（m﹣1）．
故答案为：m（m﹣1）．
（3）【拓展应用】把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作一条线段，
由题知，当m＝8时，28．
答：一共要进行28场比赛．
【点评】此题主要考查了线段的计数问题，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意．
6．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点．
（1）如图1，过点A在角的内部作1条射线，那么图中一共有 　 个角．
（2）如图2，过点A在角的内部作2条射线，那么图中一共有 　 个角．
（3）如图3，过点A在角的内部作3条射线，那么图中一共有 　　 个角．
（4）在角的内部作n条射线，那么图中一共有 　 　个角．
【分析】（1）根据角的定义解决此题．
（2）根据角的定义解决此题．
（3）根据角的定义解决此题．
（4）根据角的定义以及特殊到一般的数学思想解决此题．
【解答】解：（1）由图可得，过点A在角的内部作1条射线，那么图中一共有的角的个数为2+1＝3（个）．
故答案为：3．
（2）由图可得，过点A在角的内部作2条射线，那么图中一共有的角的个数为3+2+1＝6（个）．
故答案为：6．
（3）由图可得，过点A在角的内部作3条射线，那么图中一共有的角的个数为4+3+2+1＝10（个）．
故答案为：10．
（4）由（1）（2）（3），以此类推，在角的内部作n条射线，那么图中一共有的角的个数为n+1+n+n﹣1+…+2+1（个）
故答案为：．
【点评】本题主要考查角，熟练掌握角的定义以及特殊到一般的数学思想是解决本题的关键．
题型十一 余角和补角
1．（2023秋 商南县校级期末）已知一个角是53°17′28″，则它的补角是（　　）
A．126°42′32″ B．126°43′42″
C．126°32′42″ D．136°42′32″
【分析】用180°减53°17′28″，即可求解．
【解答】解：180°﹣53°17′28″＝179°59′60″﹣53°17′28″＝126°42′32″，
故选：A．
【点评】本题考查了求一个角的补角，角度的计算．关键是明白1°＝60′＝3600″．
2．（2023秋 沙坪坝区校级期末）如果一个角的补角是这个角的余角的5倍，则这个角的度数为（　　）
A．45° B．52.5° C．60° D．67.5°
【分析】设这个角为x°，依据题意列方程求解．
【解答】解：设这个角为x°，则它的余角为（90﹣x）°，补角为（180﹣x）°
据题意得方程：180﹣x＝5（90﹣x）；
解得x＝67.5°；
故选：D．
【点评】本题考查补角、余角的概念，运用补角、余角概念列方程是解决问题的关键．
3．（2024春 东昌府区期末）如果∠α和∠β互余，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的补角的式子中：①180°﹣∠β；②∠α+90°；③2（∠α+∠β）；④2∠α﹣∠β；⑤2∠α+∠β．正确的有（　　）
A．①② B．③④ C．①②⑤ D．②③④
【分析】根据余角和补角的定义进行判断即可．
【解答】解：∵∠α和∠β互余，
∴∠α+∠β＝90°，
∴∠β＝90°﹣∠α，
∵∠β的补角为180°﹣∠β，
∴其补角还可以表示为180°﹣（90°﹣∠α）＝∠α+90°，
∵∠α+∠β＝90°，
∴2∠α+2∠β＝180°，
∴∠β的补角还可以表示为2∠α+2∠β﹣∠β＝2∠α+∠β，
则正确的有①②⑤，
故选：C．
【点评】本题主要考查余角和补角，熟练掌握其定义是解题的关键．
4．（2023秋 重庆期末）如图，在同一平面内，∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，点F为OE反向延长线上一点（图中所有角均指小于180°的角）．下列结论：①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④若OA绕点O顺时针旋转一周，其它条件都不变，若∠FOD：∠EOC＝1：6，则∠FOD＝18°或15°，其中结论一定正确的有（　　）个
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】由∠AOB＝∠COD＝90°，根据等角的余角相等得到∠AOC＝∠BOD，结合∠COE＝∠BOE即可判断①正确；
由∠AOD+∠BOC＝∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD，结合∠AOB＝∠COD＝90°即可判断②正确；
由∠BOC﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，而不能判断∠AOD＝∠AOC，即可判断③不正确；
设∠AOF＝∠FOD＝α，利用周角等于360°列方程求解，从而可判断④不正确．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD，
而∠COE＝∠BOE，
∴∠AOE＝∠DOE，
所以①正确；
∠AOD+∠BOC＝∠AOD+∠AOC+∠AOB＝∠COD+∠AOB＝180°，
所以②正确；
∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，
而∠AOC≠∠AOD，所以③不正确；
∵E、O、F三点共线，由①知，∠AOE＝∠DOE，
∴∠EOF﹣∠AOE＝∠EOF﹣∠DOE，
∴∠AOF＝∠FOD，∠AOD＝2∠AOF．
设∠AOF＝∠FOD＝α，
∵∠FOD：∠EOC＝1：6，
∴∠EOC＝6α，
∴∠EOC＝∠EOC＝6α，∠AOD＝2α，∠AOC＝∠BOD＝90°﹣2α，
∴∠AOD+∠AOC+∠BOD+∠COE+∠BOE
＝2α+2（90°﹣2α）+2α+2α
＝360°，
∴α＝18°，
∴∠FOD＝α＝18°，所以④不正确；
所以，正确的结论有2个．
故选：C．
【点评】本题考查了余角和补角、角度的计算、余角的性质以及角平分线的定义等知识，掌握余角和补角、角度的计算、余角的性质以及角平分线的定义是关键．
5．（2023秋 东丰县期末）如图，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC＝70°，∠AOC＝50°．
（1）求出∠AOB及其补角的度数；
（2）请求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由．
【分析】（1）∠AOB的度数等于已知两角的和，再根据补角的定义求解；
（2）根据角平分线把角分成两个相等的角，求出度数后即可判断．
【解答】解：（1）∠AOB＝∠BOC+∠AOC＝70°+50°＝120°，
其补角为180°﹣∠AOB＝180°﹣120°＝60°；
（2）∠DOC∠BOC70°＝35°
∠AOE∠AOC50°＝25°．
∠DOE与∠AOB互补，
理由：∵∠DOE＝∠DOC+∠COE＝35°+25°＝60°，
∴∠DOE+∠AOB＝60°+120°＝180°，
故∠DOE与∠AOB互补．
【点评】本题主要考查角平分线的定义和补角的定义，需要熟练掌握．
6．（2023秋 太康县期末）【实践操作】三角尺中的数学问题．
（1）如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，∠ACB＝∠DCH＝90°；
①若∠BCH＝34°，则∠ACD＝　 　°；若∠ACD＝132°，则∠BCH＝　 　；
②猜想∠ACD与∠BCH之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若是两个同样的直角三角尺，将它们60°的锐角顶点A重合在一起，∠ACB＝∠AEF＝90°，直接写出∠CAF与∠EAB之间的数量关系．
【分析】（1）①已知∠ACB＝∠DCH＝90°，根据角的和差即可求出∠ACD和∠BCH的度数；
②根据前两个小问的结论猜想∠ACD与∠BCH之间的数量关系，结合前两个小问的解题思路即可得出证明；
（2）根据（1）的解题思路确定∠CAF与∠EAB之间的数量关系并证明．
【解答】解：（1）①∵∠BCH＝34°，∠ACB＝∠DCH＝90°，
∴∠DCB＝∠DCH﹣∠BCH
＝90°﹣34°
＝56°，
∴∠ACD＝∠BCA+∠DCB
＝56°+90°
＝146°，
∵∠ACB＝∠DCH＝90°，∠ACD＝132°，
∴∠DCB＝∠ACD﹣∠ACB
＝132°﹣90°
＝42°，
∴∠BCH＝∠DCH﹣∠DCB
＝90°﹣42°
＝48°，
故答案为：146；48；
②猜想：∠ACD+∠BCH＝180°，
理由如下：∵∠ACB＝∠DCH＝90°，
∴∠ACB+∠DCH＝180°，
∴∠ACH+∠BCH+∠BCH+∠DCB＝180°，
∴∠ACH+∠BCH+∠DCB+∠BCH＝180°，
∴∠ACD+∠BCH＝180°；
（2）∠CAF+∠EAB＝120°，
理由如下：∵∠CAB＝∠EAF＝60°，
∴∠CAB+∠EAF＝180°﹣60°＝120°，
∴∠CAE+∠EAB+∠EAB+∠BAF＝120°，
∴∠CAE+∠EAB+∠BAF+∠EAB＝120°，
∴∠CAF+∠EAB＝120°．
【点评】本题考查了余角和补角，掌握角之间的关系是关键．
题型十二 线段动点与动角的探究问题
1．（2023秋 凉州区期末）如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动时间为t秒（0≤t≤10）．
（1）当t＝2时，①AB＝　 cm．②求线段CD的长度．
（2）用含t的代数式表示运动过程中AB的长．
（3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由．
【分析】（1）①根据AB＝2t即可得出结论；
②先求出BD的长，再根据C是线段BD的中点即可得出CD的长；
（2）分类讨论；
（3）直接根据中点公式即可得出结论．
【解答】解：（1）①∵B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动，
∴当t＝2时，AB＝2×2＝4cm．
故答案为：4；
②∵AD＝10cm，AB＝4cm，
∴BD＝10﹣4＝6cm，
∵C是线段BD的中点，
∴CDBD6＝3cm；
（2）∵B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动，
∴当0≤t≤5时，AB＝2t；
当5＜t≤10时，AB＝10﹣（2t﹣10）＝20﹣2t；
（3）不变．
∵AB中点为E，C是线段BD的中点，
∴EC（AB+BD）
AD
10
＝5cm．
【点评】本题考查了两点间的距离，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键．
2．（2023秋 巧家县期末）如图，数轴上点O为原点，A，B两点所表示的数分别为﹣2和8．
（1）线段AB的长为 　 　．
（2）动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
①当0＜t＜10时，PA＝　 　，PB＝　 　，点P表示的数为 　 .（用含t的式子表示）
②若M是线段PA的中点，N是线段PB的中点，试判断线段MN的长度是否与点P的运动时间t有关．若有关，请求出线段MN的长度与t的关系式；若无关，请说明理由，并求出线段MN的长度．
【分析】（1）利用两点间的距离公式求得线段AB的长；
（2）①根据路程＝速度×时间可求点P与点A之间的距离，进一步得到点P表示的数；
②先利用中点公式求得点M和点N表示的数，再计算MN的线段长度．
【解答】解：（1）线段AB的长为|8﹣（﹣2）|＝10；
故答案为：10；
（2）①当0＜t＜10时，PA＝t，PB＝10﹣t，点P表示的数为﹣2+t；
故答案为：t，10﹣t，﹣2+t；
②MN的长与点P的运动时间t无关．
当0＜t≤10时，PA＝t，PB＝10﹣t，因为M，N分别是PA，PB的中点，
所以，，
所以，
当t＞10时，PA＝t，PB＝t﹣10，
因为M，N分别是PA，PB的中点，所以，，
所以，
综上所述，MN的长与点P的运动时间t无关，MN的长度为5．
【点评】本题考查了数轴上的动点问题，解题的关键是弄清点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离．
3．（2023秋 寻乌县期末）已知：如图，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从点M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度在直线AB上运动，运动方向如图中箭头所示（点C在线段AM上，点D在线段BM上）
（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝　 　，DM＝　 ；（直接填空）
（2）当点C、D运动了t s时，求AC+MD的值；
（3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝　 （填空）；
（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．
【分析】（1）依据题意，根据运动速度和时间分别求得CM、BD的长，根据线段的和差计算可得；
（2）依据题意，当点C、D运动了t s时，有CM＝tcm，BD＝2tcm，从而由AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD可得答案；
（3）根据C、D的运动速度知BD＝2MC，再由已知条件MD＝2AC求得MB＝2AM，所以AMAB；
（4）分点N在线段AB上和点N在线段AB的延长线上分别求解可得．
【解答】解：（1）由题意得，CM＝2cm，BD＝4cm，
∵AB＝12cm，AM＝4cm，
∴BM＝8cm．
∴AC＝AM﹣CM＝2cm，DM＝BM﹣BD＝4cm．
故答案为：2cm，4cm．
（2）由题意，当点C、D运动了t s时，有CM＝t cm，BD＝2t cm．
∵AB＝12cm，
∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝12﹣t﹣2t＝（12﹣3t）cm．
（3）由题意，根据C、D的运动速度知：BD＝2MC，
∵MD＝2AC，
∴BD+MD＝2（MC+AC），即MB＝2AM．
∵AM+BM＝AB，
∴AM+2AM＝AB．
∴AMAB＝4cm．
故答案为：4cm．
（4）①当点N在线段AB上时，如图1，
∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣AM＝MN，
∴BN＝AM＝4，
∴MN＝AB﹣AM﹣BN＝12﹣4﹣4＝4，
∴．
②当点N在线段AB的延长线上时，如图2，
∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣BN＝AB，
∴MN＝AB＝12，
∴．
综上所述或1．
【点评】本题主要考查了两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．
4．（2023秋 罗定市期末）如图1，已知∠BOC＝120°，△MON是含30°角的直角三角板，其直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将三角板按图2位置放置，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，若∠AOD＝∠BON，问：此时直线ON是否平分∠AOC？请说明理由．
（2）将三角板按图3位置放置，此时发现，当ON在∠AOC的内部时，绕点O旋转三角板△MON，∠AOM与∠NOC的差值不变，请你写出这个差值，即∠AOM﹣∠NOC＝　 　°．
【分析】（1）利用OD求出∠COD的度数，和∠AOC的度数作比较得出关系即可；
（2）利用角度的相加相减，根据图象进行角度的转化．
【解答】解：（1）直线ON平分∠AOC，理由如下：
∵∠AOD＝∠BON，
∴OD和ON在一条直线上，
又∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠MOB∠BOC120°＝60°，
∵∠MOD＝∠MON＝90°，
∴∠COD＝90°﹣∠MOC＝30°，
∵∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝60°，
∴∠COD∠AOC，
∴直线ON平分∠AOC；
（2）∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．
【点评】本题考查了角度的和差问题，解题关键是根据图象分析角度之间的关系，还需要注意补角、对顶角、周角等隐藏条件．
5．（2023秋 金湾区期末）综合探究
如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线l上，两个直角三角板分别在直线l的两侧，且∠ABC＝∠DCE＝90°，∠ACB＝45°，∠CED＝30°．
（1）如图1，∠ACD＝　 　°；
（2）如图2，把三角板CDE绕点C旋转，使CE刚好落在∠ACB的平分线上．此时，CD是否平分∠ACF？请说明理由；
（3）如图2，把三角板CDE绕点C旋转，使得CE落在∠ACB内部，
当∠ACE＝10°时，则∠BCD＝　 　°；
当∠BCD＝110°时，则∠ACE＝　 °；
设∠ACE＝α，∠BCD＝β，试猜想α与β的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）∠ACD＝∠ACB+∠BCD可得；
（2）证∠ACD是否等于∠DCF，即CD是否平分∠ACF；
（3）根据∠BCD＝∠ECD+∠ACB﹣∠ACE，∠ACE＝∠ACB﹣（∠BCD﹣∠ECD），∠ACE+∠BCD＝∠ACB+∠ECD可得．
【解答】解：（1）∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝135°，
故答案为：135；
（2）CD是∠ACF 的平分线，
∵CE落在∠ACB 的平分线上，
∴∠ACE＝∠BCE45°＝22.5°，
∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠DCF＝180°﹣∠ACB﹣∠ACD＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠ACD＝∠DCF，
∴CD平分∠ACF；
（3）当∠ACE＝10°时，
∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝35°，
∴∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝125°，
当∠BCD＝110°时，
∴∠BCE＝∠BCD﹣∠ECD＝20°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠BCE＝25°，
α+β＝135°，
∵∠BCD＝∠BCE+∠ECD，
又∵∠ACE+∠BCE＝∠ACB＝45°
∴α+β＝∠ACE+∠BCD
＝∠ACE+∠BCE+∠ECD
＝∠ACB+∠ECD
＝45°+90°
＝135°
故答案为：125，25．
【点评】本题考查了余角，角的计算，关键是正确计算度数．
6．（2023秋 长沙期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线OC，OD在∠AOB的内部，且∠COD+∠AOB＝90°，则∠COD是∠AOB的内余角．
根据以上信息，解决下面的问题：
（1）如图1，∠AOB＝72°，∠AOC＝20°，若∠COD是∠AOB的内余角，则∠BOD＝　 　；
（2）如图2．已知∠AOB＝60°将OA绕点O顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜60°）得到OC．同时将OB绕点O顺时针方向旋转一个角度得到OD．若∠COB是∠AOD的内余角，求α的值；
（3）把一块含有30°角的三角板COD按图3方式放置，使OC边与OA边重合，OD边与OB边重合，如图4将三角板COD绕顶点O以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，在旋转一周的时间内，当射线OA，OB，OC，OD构成内余角时，请求出t的值．
【分析】（1）根据内余角可求出∠COD的度数，再根据∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD即可求解；
（2）根据旋转的性质分别用含α的式子表示∠COB，∠BOD的度数，再根据∠COB是∠AOD的内余角列式求解即可；
（3）根据内余角的概念及计算方法，分类讨论，当OC在∠AOB内部时；当OC在射线OB下方时；当OD在OA上方时；当OD在∠AOB内部时；根据旋转的性质表示角的数量关系，列表求解即可．
【解答】解：（1）∵∠COD是∠AOB的内余角，
∴∠COD+∠AOB＝90°，
∵∠AOB＝72°，
∴∠COD＝90°﹣∠AOB＝90°﹣72°＝18°，
∵∠AOC＝20°，
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD
＝72°﹣20°﹣18°
＝34°，
故答案为：34°；
（2）已知∠AOB＝60°，OA绕点O顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜60°）得到OC，OB绕点O顺时针方向旋转一个角度得到OD，
∴∠AOC＝α，，
∴∠BOC＝∠AOB﹣α＝60°﹣α，，
∵∠COB是∠AOD的内余角，
∴∠COB+∠AOD＝90°，
∴，
解得α＝45°
∴α的值为45°；
（3）根据题意可得，∠AOB＝30°，三角板COD绕顶点O以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，
当OC在∠AOB内部时，如图所示，
∴∠AOC＝6t，∠BOD＝6t，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝30°﹣6t，∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝30°+6t，
若∠COB是∠AOD的内余角时，得∠COB+∠AOD＝90°，
∴30﹣6t+30+6t＝90°，无解，
∴当OC在∠AOB内部时，射线OA，OB，OC，OD不能构成内余角；
当OC在射线OB下方时，如图所示，
∴∠BOC＝6t﹣30°，∠AOD＝6t+30°，
若∠BOC是∠AOD的内余角，
∴6t﹣30°+6t+30°＝90°，
解得t＝7.5；
当OD在OA上方时，如图所示，
∴∠AOD＝360°﹣6t﹣30°＝330°﹣6t，∠BOC＝∠AOD+60°＝330°﹣6t+60°＝390°﹣6t，
若∠AOD是∠BOC的内余角，
∴330°﹣6t+390°﹣6t＝90°，
解得t＝52.5；
当OD在∠AOB内部时，如图所示，
∴∠AOC＝360°﹣6t，∠BOD＝360°﹣6t，∠AOD＝6t﹣∠AOC＝6t﹣（360°﹣6t）＝12t﹣360°，
∴∠BOC＝∠AOC+∠BOD＝360°﹣6t+360°﹣6t＝720°﹣12t，
若∠AOD是∠BOC的内余角，
∴12t﹣360+720﹣12t＝90°，无解，
∴当OD在∠AOB内部时，射线OA，OB，OC，OD不能构成内余角；
综上所述，当射线OA，OB，OC，OD构成内余角时，t的值为7.5秒或52.5秒．
【点评】本题主要考查角的和差的运算，掌握内余角的概念及计算方法是解题的关键．
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