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2024-2025 学年湖南省娄底市部分普通高中高二下学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = ，集合 = {0,1,2,3}， = { 2, 1,0,1}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. { 2, 1,0,1,2,3} B. {0,1}
C. {2,3} D. { 2, 1}
2.命题 ： 0 ∈ ，使方程 2 + 0 + 1 = 0 有实数根，则非 形式的命题是( )
A. 20 ∈ ，使得方程 + 0 + 1 = 0 无实根
B.对 ∈ ，方程 2 + + 1 = 0 无实根
C.对 ∈ ，方程 2 + + 1 = 0 有实根
D.至多有一个实数 ，使得方程 2 + + 1 = 0 有实根
3 1 .若 sin( ) = 3，且2 < < ，则 2 的值为( )
A. 4 2 2 2 2 2 4 29 B. 9 C. 9 D. 9
4.如图， ， 分别是正方体 1 1 1 1的棱 1 1与 1的中点，则下列判
断正确的是( )
A.直线 与 是相交直线 B.直线 1 与 互相平行
C.直线 与 互相垂直 D.直线 1 与 是异面直线
5.函数 ( )的大致图像如图所示，则它的解析式是( )
A. ( ) = ( 1 2 ) 1 B. ( ) = log2( + 1)
C. ( ) = 2 D. ( ) = | |
6.如图所示的方格纸中有定点 、 、 、 、 、 、 ，则 + =( )
A. B. C. D.
7.已知 > 0， > 0 且 + = 1，则 = + 1 + +
1
的最小值为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 9
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8.已知实数 , , 1满足 lg = 10 = ,则下列关系式中不可能成立的是( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数 = 3 i，则下列说法错误的是( )．
A. 在复平面内对应的点位于第二象 B. | | = 4
C. 2 = 4 2 3i D. 的共轭复数 = 3 + i
10.已知向量 = (2,1)， = ( 3,1)，则( )
A. + ⊥ B. + 2 = 5
C.向量 在向量 2 2 5 5方向上的投影是 2 D.向量 的单位向量是 5 , 5
11.如图，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中
A. 与 的夹角为60 1
B. 1二面角 1 1的正弦值为3
C. 1与平面 1所成角的正切值为 2
D.点 1到平面 1的距离为
2 3
3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
6
12 2.二项式 的展开式中， 4 项的系数是 . (用数字填写答案)
13 ln(1 ).函数 ( ) = 的定义域为 ．
2 + 4, ≤
14.已知函数 ( ) = 2 + 1, > 在 R 上单调递增，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某校高一年级设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球 定点高远球 吊球 杀球以
及半场计时往返跑)考核，满分 100 分.参加考核的学生有 40 人，考核得分的频率分布直方图如图所示．
(1)由频率分布直方图，求出图中 的值，并估计考核得分的第 60 百分位数；
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(2)为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，
从得分在[70,90)内的学生中抽取 5 人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自[70,80)和[80,90)
的概率；
16.(本小题 15 分)
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若平面向量 ⊥ ，其中 = 3 , sin ， = cos , ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 3 ，求 + 的最大值．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，△ 是边长为 4 的等边三角形，底面 为直角梯形， // ， ⊥ ，
= = 2， 为 的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)当平面 ⊥平面 时，求直线 与平面 所成角的正弦值．
18.(本小题 17 分)
2 2
已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的一条渐近线方程为 = 3 ，且点 2, 3 在双曲线 上.
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知双曲线 的右焦点为 ，点 (0,1)，斜率为 1 的直线 与双曲线 交于不同的两点 ， ，且 为线段
的中点，若 ⊥ ，求直线 的方程．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln ( , ∈ )．
(1)若 = 0， = 1，求曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线方程；
(2)若 = 1 是 ( )的极大值点，求 的取值范围
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 12
13.(0,1)
14.[3, + ∞)
15.【详解】(1)由题意得：10 × (0.01 + 0.015 + 0.02 + + 0.025) = 1，解得 = 0.03，
因为 0.01 × 10 + 0.015 × 10 + 0.02 × 10 = 0.45，
0.01 × 10 + 0.015 × 10 + 0.02 × 10 + 0.03 × 10 = 0.75，
设第 60 百分位数为 ，则 0.01 × 10 + 0.015 × 10 + 0.02 × 10 + 0.03 × ( 80) = 0.6，
解得 = 85，即第 60 百分位数为 85．
(2) 0.2由题意知，抽出的 5 位同学中，得分在[70,80)的有 5 × 0.3+0.2 = 2 人，设为 , ，
在[80,90) 5 × 0.3的有 0.3+0.2 = 3 人，设为 , , ．
则“从中挑出两人进行试课”这个试验的样本空间为：
Ω = ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) ， Ω = 10，
设事件 =“两人得分分别来自[70,80)和[80,90)”，
则 = ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) , ( ) = 6，
( ) 6 3
因此 ( ) = Ω = 10 = 5 ,
3
所以两人得分分别来自[70,80)和[80,90)的概率为5．
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16.【详解】(1)因为 ⊥ ，则 = 0，又 = 3 , sin ， = cos , ，
所以 = 3 cos sin = 0，由正弦定理得 3sin cos sin sin = 0，
即 3sin cos = sin sin ，又 是 内角，则 sin ≠ 0，
所以 3cos = sin ，即 tan = 3，
又 ∈ (0, ) ，所以 = 3；
(2)由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos ，即 2 + 2 = ( + )2 3 = 9，
所以( + )2 9 = 3 ≤ 34 ( + )
2(当且仅当 = = 3 时取等号)，
所以 + ≤ 6，
又 + > = 3，所以 3 < + ≤ 6，
( + )2 9
+
所以 3 + = + = 3
3
+ ，
令 = + ∈ (3,6], ( ) = 3
3
,
∈ (3,6]，则 ( )在(3,6]上单调递增，
所以 (3) < ( ) ≤ (6) 3 3，即 0 < ( ) ≤ 2，即 0 < + ≤ 2，
3
所以 + 的最大值为2．
17.解：(1)证明：取 的中点 ，连接 ， ，
∵ 为 的中点，∴ / / = 1且 2 ，
又 = 12 ， // ，∴ // 且 = ，
∴四边形 是平行四边形，∴ // ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ / /平面 ；
(2)取 的中点为 ，连接 ，
∵ = ，∴ ⊥ ，
又∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
∵ = ， / / ， ⊥ ，∴ ⊥ ，
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∴ ， ， 两两垂直，
以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由△ 是边长为 4 的等边三角形，得 = 2 3，
∴ (2, 2,0)， (0,0,2 3)， (0,2,0)， (2,0,0)， (0,1, 3)，
∴ = ( 2,3, 3)， = ( 2,0,2 3)， = ( 2,2,0)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 2 + 2 3 = 0
则
,
= 2 + 2 = 0
令 = 3，得 = 3， = 1，
故平面 的一个法向量为 = ( 3, 3, 1)，

∴ cos , = 2 3+3 3+ 3 2 3 21
|
= = = ，
|| | 4+9+3× 3+3+1 4 7 14
∴直线 与平面 所成角的正弦值为 21．
14
2 2
18.解：(1) 双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的一个渐近线方程为 = 3 ，

得 = 3，即 = 3 ，
因为点 2, 3 2 3在双曲线 上，所以 2 2 = 1
2 3
，即 2 3 2 = 1，
解得 2 = 1， 2 = 3，
2
所以双曲线 的方程为 2 3 = 1；
(2)由(1)，得 (2,0)，
设直线 的方程为 = + ， 1, 1 ， ( 2, 2)，
2
2 联立 3 = 1消去 ，得 2 2 2 2 3 = 0， = 4 2 8( 2 3) = 12 2 + 24 > 0，
= +
所以 1 + 2 = ， 1 + 2 = 1 + 2 + 2 = 3
3
，即 ( 2 , 2 )，
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→ →
因为 ⊥ ，所以 = 0，又 = (2, 1)， = (2 2 ,
3
2 )，

所以(2, 1) (2 2 ,
3
2 ) = 0，即 2(2

2 ) + ( 1)(
3
2 ) = 0，解得 = 8，
所以直线 的方程为 = 8，即 8 = 0．
19.【详解】(1)若 = 0， = 1，则 ( ) = ln ， ′( ) = 1 1 ( > 0)，
所以 (1) = 1， ′(1) = 0，
所以曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线方程为 = 1．
2
(2)由题意，得 ( )的定义域为(0, + ∞)， ′( ) = 1 + + 2 = 2 ，
则 ′(1) = 1 + = 0，即 = + 1，所以 ′( ) = ( 1)( ) 2 ．
当 > 1 时，在 ∈ (1, )时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
在 ∈ (0,1)和 ∈ ( , + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以 = 1 是 ( )的极大值点，满足条件．
= 1 ( 1)
2
当 时， ′( ) = 2 ≥ 0， ( )在区间(0, + ∞)上单调递增， ( )没有极值，不满足条件．
当 0 < < 1 时，在 ∈ ( , 1)时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
在 ∈ (0, )和 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以 = 1 是 ( )的极小值点，不满足条件．
当 ≤ 0 时，在 ∈ (0,1)时， ′( ) < 0， ( )单调递减；在 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以 = 1 是 ( )的极小值点，不满足条件．
综上， 的取值范围是(1, + ∞)．
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