资源简介

第2课时　异面直线 (教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.理解并掌握异面直线的判定定理,及掌握异面直线的判断方法.
2.借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线的垂直关系.
3.理解异面直线所成的角,并掌握两异面直线所成角的求法.
1.异面直线的判定定理
文字 语言 　　　　　　　　　　　　　　　　,和这个平面内不经过该点的直线是异面直线
图形 语言
符号 语言 若l α,A α,B∈α,B l,则直线AB与l是异面直线
2.异面直线所成的角
定义 前提 两条异面直线a,b
作法 经过空间任意一点O,作直线a'∥a,b'∥b
结论 我们把直线a'和b'所成的　　　　　叫作异面直线a,b所成的角或夹角
范围 记异面直线a与b所成的角为θ,则　　　
图例
特殊 情况 若异面直线a,b所成的角是直角,则称异面直线a,b互相垂直,记作　　
|微|点|助|解|
　　对异面直线所成角的认识
(1)任意性与无关性:在定义中,空间一点O是任取的,根据等角定理,可以断定异面直线所成的角与a',b'所成的锐角(或直角)相等,而与点O的位置无关.
(2)转化求角:异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量,通过转化为相交直线所成的角,将空间角转化为平面角来计算.
(3)异面直线所成角的大小不能是0°,若两条直线所成的角是0°,则这两条直线平行,不可能异面.
(4)两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直.
基础落实训练
1.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c (　　)
A.一定平行 B.一定垂直
C.一定是异面直线 D.一定相交
2.若∠AOB=120°,直线a∥OA,a与OB为异面直线,则a和OB所成的角的大小为　　　　.
3.已知正方体ABCD EFGH,则AH与FG所成的角是　　　　.
题型(一)　异面直线的判定
[例1]　已知正方体ABCD A1B1C1D1,E,F分别为BB1,CC1的中点,求证:直线AE与直线BF是异面直线.
听课记录:
　　[针对训练]
1.已知不共面的三条直线a,b,c相交于点P,A∈a,B∈a,C∈b,D∈c,求证:AD与BC是异面直线.
题型(二)　求异面直线所成的角
[例2]　正四棱柱ABCD A1B1C1D1中,AA1=3AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 (　　)
A. B. C. D.
听课记录:
　　|思|维|建|模|
求异面直线所成角的一般步骤
(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且直线对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线.
(2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.
(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ为所求.
　　[针对训练]
2.如图,三棱柱ABC A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是 (　　)
A.CC1与B1E是异面直线
B.C1C与AE共面
C.AE与B1C1是异面直线
D.AE与B1C1所成的角为60°
3.正方体ABCD A'B'C'D'中,E,F分别为平面A'B'C'D'与平面AA'D'D的中心,则EF与CD所成角的度数是　　　　.
题型(三)　证明两条直线垂直
[例3]　如图,空间四边形ABCD中,E,F,G分别是BC,AD,DC的中点,FG=2,GE=,EF=3.求证:AC⊥BD.
听课记录:
　　|思|维|建|模|
证明两条直线垂直的策略
(1)对于共面垂直的两条直线的证明,可根据勾股定理证明.
(2)对于异面垂直的两条直线的证明,可转化为求两条异面直线所成的角为90°来证明.
　　[针对训练]
4.在正方体AC1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求证:DB1⊥EF.
第2课时　异面直线
课前预知教材
1.过平面内一点与平面外一点的直线
2.锐角(或直角)　0°<θ≤90°　a⊥b
[基础落实训练]
1.B
2.解析:因为a∥OA,根据等角定理,又因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以a与OB所成的角为60°.
答案:60°
3.解析:连接BG,则BG∥AH,所以∠BGF为异面直线AH与FG所成的角.因为四边形BCGF为正方形,
所以∠BGF=45°.
答案:45°
课堂题点研究
[例1]　证明:因为BF 平面BCC1B1,E∈平面BCC1B1,E BF,A 平面BCC1B1,所以由异面直线的判定定理可知,直线AE与直线BF是异面直线.
[针对训练]
1.证明:法一:反证法　假设AD和BC共面,所确定的平面为α,那么点P,A,B,C,D都在平面α内,∴直线a,b,c都在平面α内,与已知条件a,b,c不共面矛盾,假设不成立.∴AD和BC是异面直线.
法二:直接证法　∵a∩c=P,∴它们确定一个平面,设为α.由题意得C 平面α,B∈平面α,BC 平面α,AD 平面α,B AD,∴AD和BC是异面直线.
[例2]　选C　依题意,不妨设AB=1,则AA1=3AB=3,因为在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中,AB∥C1D1,AB=C1D1,所以四边形ABC1D1是平行四边形,则AD1∥BC1.所以∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角.在△A1BC1中,A1C1=AB=,A1B==,则BC1=,由余弦定理得cos∠A1BC1==.
[针对训练]
2.选C　由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E是共面的,所以A错误;由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于E点,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B错误;同理AE与B1C1是异面直线,C正确;因为AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,E为BC中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,D错误.
3.解析:连接B'D',则E为B'D'的中点,连接AB',则EF∥AB'.又CD∥AB,所以∠B'AB为异面直线EF与CD所成的角,即∠B'AB=45°.
答案:45°
[例3]　证明:∵点G,E分别是CD,BC的中点,
∴GE∥BD,同理GF∥AC.
∴∠FGE或其补角是异面直线AC与BD所成的角.
在△EFG中,∵FG=2,GE=,EF=3,
满足FG2+GE2=EF2,
∴∠FGE=90°,
即异面直线AC与BD所成的角是90°.
∴AC⊥BD.
[针对训练]
4.证明:如图,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,A1G,C1G.
则OG∥B1D,
EF∥A1C1.
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.
∵GA1=GC1,O为A1C1的中点,∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°,即DB1⊥EF.(共46张PPT)
异面直线
(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
第2课时
课时目标
1.理解并掌握异面直线的判定定理,及掌握异面直线的判断方法.
2.借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线的垂直关系.
3.理解异面直线所成的角,并掌握两异面直线所成角的求法.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.异面直线的判定定理
文字 语言 _________________________________,和这个平面内不经过该点的直线是异面直线
图形 语言
符号 语言 若l α,A α,B∈α,B l,则直线AB与l是异面直线
过平面内一点与平面外一点的直线
2.异面直线所成的角
定义 前提 两条异面直线a,b
作法 经过空间任意一点O,作直线a'∥a,b'∥b
结论 我们把直线a'和b'所成的_____________叫作异面直线a,b所成的角或夹角
范围 记异面直线a与b所成的角为θ,则______________ 图例 特殊情况 若异面直线a,b所成的角是直角,则称异面直线a,b互相垂直,记作_____ 锐角(或直角)
0°<θ≤90°
a⊥b
|微|点|助|解|
　　对异面直线所成角的认识
(1)任意性与无关性:在定义中,空间一点O是任取的,根据等角定理,可以断定异面直线所成的角与a',b'所成的锐角(或直角)相等,而与点O的位置无关.
(2)转化求角:异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量,通过转化为相交直线所成的角,将空间角转化为平面角来计算.
(3)异面直线所成角的大小不能是0°,若两条直线所成的角是0°,则这两条直线平行,不可能异面.
(4)两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直.
基础落实训练
1.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c (　　)
A.一定平行 B.一定垂直
C.一定是异面直线 D.一定相交
√
2.若∠AOB=120°,直线a∥OA,a与OB为异面直线,则a和OB所成的角的大小为　　　　.
解析:因为a∥OA,根据等角定理,又因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以a与OB所成的角为60°.
60°
3.已知正方体ABCD EFGH,则AH与FG所成的角是　　　　.
解析:连接BG,则BG∥AH,所以∠BGF为异面直线AH与FG所成的角.因为四边形BCGF为正方形,所以∠BGF=45°.
45°
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一)　异面直线的判定
[例1]　已知正方体ABCD A1B1C1D1,E,F分别为BB1,CC1的中点,求证:直线AE与直线BF是异面直线.
证明:因为BF 平面BCC1B1,E∈平面BCC1B1,E BF,A 平面BCC1B1,所以由异面直线的判定定理可知,直线AE与直线BF是异面直线.
针对训练
1.已知不共面的三条直线a,b,c相交于点P,A∈a,B∈a,C∈b,D∈c,
求证:AD与BC是异面直线.
证明:法一:反证法　假设AD和BC共面,所确定的平面为α,那么点P,A,
B,C,D都在平面α内,∴直线a,b,c都在平面α内,与已知条件a,b,c不共面矛盾,假设不成立.∴AD和BC是异面直线.
法二:直接证法　∵a∩c=P,∴它们确定一个平面,设为α.由题意得C 平面α,B∈平面α,BC 平面α,AD 平面α,B AD,∴AD和BC是异面直线.
题型(二)　求异面直线所成的角
[例2]　正四棱柱ABCD A1B1C1D1中,AA1=3AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 (　　)
A. B.
C. D.
√
解析:依题意,不妨设AB=1,则AA1=3AB=3,因为在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中,AB∥C1D1,AB=C1D1,所以四边形ABC1D1是平行四边形,则AD1∥BC1.所以∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角.在△A1BC1中,A1C1=AB=,A1B==
,则BC1=,由余弦定理得cos∠A1BC1=
=.
|思|维|建|模|
求异面直线所成角的一般步骤
(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且直线对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线.
(2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.
(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ为所求.
针对训练
2.如图,三棱柱ABC A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是 (　　)
A.CC1与B1E是异面直线
B.C1C与AE共面
C.AE与B1C1是异面直线
D.AE与B1C1所成的角为60°
√
解析:由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E是共面的,所以A错误;
由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于E点,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B错误;
同理AE与B1C1是异面直线,C正确;
因为AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,E为BC中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,D错误.
3.正方体ABCD A'B'C'D'中,E,F分别为平面A'B'C'D'与平面AA'D'D的中心,则EF与CD所成角的度数是　　　　.
45°
解析:连接B'D',则E为B'D'的中点,连接AB',则EF∥AB'.又CD∥AB,所以∠B'AB为异面直线EF与CD所成的角,即∠B'AB=45°.
题型(三)　证明两条直线垂直
[例3]　如图,空间四边形ABCD中,E,F,G分别是BC,AD,DC的中点,
FG=2,GE=,EF=3.求证:AC⊥BD.
证明:∵点G,E分别是CD,BC的中点,
∴GE∥BD,同理GF∥AC.
∴∠FGE或其补角是异面直线AC与BD所成的角.
在△EFG中,∵FG=2,GE=,EF=3,
满足FG2+GE2=EF2,
∴∠FGE=90°,
即异面直线AC与BD所成的角是90°.
∴AC⊥BD.
|思|维|建|模|
证明两条直线垂直的策略
(1)对于共面垂直的两条直线的证明,可根据勾股定理证明.
(2)对于异面垂直的两条直线的证明,可转化为求两条异面直线所成的角为90°来证明.
针对训练
4.在正方体AC1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求证:DB1⊥EF.
证明:如图,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,A1G,C1G.
则OG∥B1D,EF∥A1C1.
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.
∵GA1=GC1,O为A1C1的中点,∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°,即DB1⊥EF.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.在正方体ABCD A1B1C1D1中,与直线AA1垂直的棱有(　　)
A.2条 B.4条
C.6条 D.8条
解析:在正方体AC1中,与AA1垂直的棱为A1B1,B1C1,C1D1,D1A1,
AB,BC,CD,DA,共8条.故选D.
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2.教室内有一根直尺,无论怎样放置,在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线 (　　)
A.异面 B.相交
C.平行 D.垂直
解析:若直尺与地面相交,则C不正确;
若直尺平行于地面,则B不正确;
若直尺放在地面上,则A不正确.故选D.
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3.已知空间三条直线l,m,n,若l与m垂直,l与n垂直,则 (　　)
A.m与n异面
B.m与n相交
C.m与n平行
D.m与n平行、相交、异面均有可能
解析:∵m⊥l,n⊥l,∴m与n既可以相交,也可以异面,还可以平行.
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4.如图所示,在等边三角形ABC中,D,E,F分别为各边中点,G,H,I,J分别为AF,AD,BE,DE的中点.将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥后,GH与IJ所成角的度数为 (　　)
A.90° B.60°
C.45° D.0°
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解析:将三角形折成三棱锥.如图所示,GH与
IJ为异面直线.在三棱锥A DEF中,IJ∥AD,
GH∥DF,所以∠ADF即为所求,因此GH与IJ所成的角为60°.
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5.(多选)如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,
l 平面A1B1C1D1,且l与B1C1不平行,则下列结论能成立的是 (　　)
A.l与AD平行 　　B.l与AB异面
C.l与CD所成的角为30° 　　D.l与BD垂直
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解析:假设l∥AD,则由AD∥BC∥B1C1可得l∥B1C1,与“l与B1C1不平行”矛盾,所以l与AD不平行,A错误;
取l为A1C1所在直线,满足l与AB异面,B正确;
取l⊥B1D1,B1D1∥BD,所以l⊥BD,D正确;
取l与C1D1成30°角,因为C1D1∥CD,所以此时l与CD所成的角为30°,
C正确.
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6.如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有　 条.
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解析:与AD1异面的面对角线分别为A1C1,B1C,
BD,BA1,C1D,其中只有B1C和AD1所成的角为90°.
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7.如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,
M,N分别为AB,CD的中点,并且异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN=　　　　.
解析:取AD的中点P,连接PM,PN,则BD∥PM,
AC∥PN,∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角,
∴∠MPN=90°.∵PN=AC=4,PM=BD=3,∴MN=5.
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8.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:
①AB⊥EF;
②AB与CM所成的角为60°;
③EF与MN是异面直线;
④MN∥CD.
以上结论正确的为　　　　.(填序号)
解析:把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知,AB⊥EF,
EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确.
①③
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9.(10分)如图,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,
F分别是AB,CD的中点,若EF=,求异面直线AD,
BC所成角的大小.
解:如图,取AC的中点G,连接EG,FG.
因为E,F,G分别是AB,CD,AC的中点,
所以GF∥AD,且GF=AD,EG∥BC,且EG=BC,则∠EGF或其补角就是异面直线AD,BC所成的角.
因为AD=BC=2,所以EG=GF=1.
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单独看△GEF的平面图,可得
在等腰△GEF中,过点G作GH⊥EF于点H,
在Rt△GHE中,EG=1,EH=EF=,
则sin∠EGH=,
所以∠EGH=60°,则∠EGF=2∠EGH=120°.
所以异面直线AD,BC所成的角为∠EGF的补角,即异面直线AD,BC所成的角为60°.
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10.(12分)如图所示,在空间四边形ABCD中,
AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点.
若EF=,求证:AD⊥BC.
证明:取BD的中点H,连接EH,FH.
因为E是AB的中点,且AD=2,
所以EH∥AD,EH=1.同理FH∥BC,FH=1.
所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD,BC所成的角.
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又因为EF=,所以EH2+FH2=EF2.
所以△EFH是等腰直角三角形,EF是斜边.
所以∠EHF=90°,即AD,BC所成的角是90°.
故AD⊥BC.
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B级——重点培优
11.设P是直线l外一定点,过点P且与l成30°角的异面直线(　　)
A.有无数条 B.有两条
C.至多有两条 D.有一条
解析:如图所示,过点P作直线l'∥l,以l'为轴,与l'成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角,除去两条与l共面的母线,其余都符合要求.
√
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12.(多选)如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则下列结论成立的是 (　　)
A.EF与BB1垂直 B.EF与BD垂直
C.EF与CD异面 D.EF与A1C1异面
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解析:如图所示,连接A1B,易知点E为A1B的中点,由三角形中位线定理可得EF∥A1C1,所以EF,A1C1确定一个平面.显然EF与CD异面.因为A1C1⊥AA1,AA1∥BB1,所以A1C1⊥BB1.又EF∥A1C1,所以EF⊥BB1.
连接B1D1,则A1C1⊥B1D1.易知BD∥B1D1,所以A1C1⊥BD.
又知EF∥A1C1,所以EF⊥BD.故只有选项D中的结论不成立.
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13.在三棱锥A BCD中,AB,BC,BD两两互相垂直,AB=BC=BD,
E为CD的中点,则异面直线AC与BE所成的角的大小为　　　　.
解析:如图补全A BCD,假设AB=2,平移BE于FC的位置,连接BF,则异面直线AC与BE所成的角即是直线AC与FC所成的角,AC=2,BE=BF=
FC=,AF==,根据余弦定理得cos∠ACF===,故直线AC与FC所成的角∠ACF=60°.
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14.如图,在四棱柱ABCD A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面四边形ABCD是菱形,且AB=BC=2,∠ABC=120°,若异面直线A1B和AD1所成的角是90°,则AA1的长度是　　　　.
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解析:连接CD1,AC.在四棱柱ABCD A1B1C1D1中,
A1D1 BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形.
所以A1B∥CD1.所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角.因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°,所以∠AD1C=90°.因为四棱柱ABCD
A1B1C1D1中,AB=BC=2,∠ABC=120°,
所以AC=2sin 60°×2=6.所以AD1=AC=3.所以AA1=
= =.
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15.(14分)如图,在空间四边形ABCD中,AB=CD=8,
M,N分别是BC,AD的中点.若异面直线AB与CD
所成的角为60°,求MN的长.
解:如图所示,取BD的中点E,连接ME,NE.因为M,N分别是BC,AD的中点,
所以ME∥CD且ME=CD=4,NE∥AB且NE=AB=4,
从而∠MEN(或其补角)即为AB与CD所成的角.
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又异面直线AB与CD所成的角为60°,所以∠MEN=60°或120°.
当∠MEN=60°时,由余弦定理可知
MN= =4.
当∠MEN=120°时,由余弦定理可知
MN= =4.课时跟踪检测(三十六)　异面直线
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.在正方体ABCD A1B1C1D1中,与直线AA1垂直的棱有 (　　)
A.2条 B.4条
C.6条 D.8条
2.教室内有一根直尺,无论怎样放置,在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线 (　　)
A.异面 B.相交
C.平行 D.垂直
3.已知空间三条直线l,m,n,若l与m垂直,l与n垂直,则 (　　)
A.m与n异面
B.m与n相交
C.m与n平行
D.m与n平行、相交、异面均有可能
4.如图所示,在等边三角形ABC中,D,E,F分别为各边中点,G,H,I,J分别为AF,AD,BE,DE的中点.
将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥后,GH与IJ所成角的度数为 (　　)
A.90° B.60°
C.45° D.0°
5.(多选)如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,l 平面A1B1C1D1,且l与B1C1不平行,则下列结论能成立的是 (　　)
A.l与AD平行 B.l与AB异面
C.l与CD所成的角为30° D.l与BD垂直
6.如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有　　　　条.
7.如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,并且异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN=　　　　.
8.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:
①AB⊥EF;
②AB与CM所成的角为60°;
③EF与MN是异面直线;
④MN∥CD.
以上结论正确的为　　　　.(填序号)
9.(10分)如图,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,若EF=,求异面直线AD,BC所成角的大小.
10.(12分)如图所示,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点.若EF=,
求证:AD⊥BC.
B级——重点培优
11.设P是直线l外一定点,过点P且与l成30°角的异面直线 (　　)
A.有无数条 B.有两条
C.至多有两条 D.有一条
12.(多选)如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则下列结论成立的是 (　　)
A.EF与BB1垂直
B.EF与BD垂直
C.EF与CD异面
D.EF与A1C1异面
13.在三棱锥A BCD中,AB,BC,BD两两互相垂直,AB=BC=BD,E为CD的中点,则异面直线AC与BE所成的角的大小为　　　　.
14.如图,在四棱柱ABCD A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面四边形ABCD是菱形,且AB=BC=2,
∠ABC=120°,若异面直线A1B和AD1所成的角是90°,则AA1的长度是　　　　.
15.(14分)如图,在空间四边形ABCD中,AB=CD=8,M,N分别是BC,AD的中点.若异面直线AB与CD所成的角为60°,求MN的长.
课时跟踪检测(三十六)
1．选D　在正方体AC1中，与AA1垂直的棱为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，AB，BC，CD，DA，共8条．故选D.
2．选D　若直尺与地面相交，则C不正确；若直尺平行于地面，则B不正确；若直尺放在地面上，则A不正确．故选D.
3．选D　∵m⊥l，n⊥l，∴m与n既可以相交，也可以异面，还可以平行．
4.选B　将三角形折成三棱锥．如图所示，GH与IJ为异面直线．在三棱锥A DEF中，IJ∥AD，GH∥DF，所以∠ADF即为所求，因此GH与IJ所成的角为60°.
5．选BCD　假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1可得l∥B1C1，与“l与B1C1不平行”矛盾，所以l与AD不平行，A错误；取l为A1C1所在直线，满足l与AB异面，B正确；取l⊥B1D1，B1D1∥BD，所以l⊥BD，D正确；取l与C1D1成30°角，因为C1D1∥CD，所以此时l与CD所成的角为30°，C正确．
6．解析：与AD1异面的面对角线分别为A1C1，B1C，BD，BA1，C1D，其中只有B1C和AD1所成的角为90°.
答案：1
7．解析：取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°.∵PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，∴MN＝5.
答案：5
8．解析：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．
答案：①③
9．解：如图，取AC的中点G，连接EG，FG.因为E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，
所以GF∥AD，且GF＝AD，EG∥BC，且EG＝BC，则∠EGF或其补角就是异面直线AD，BC所成的角．因为AD＝BC＝2，所以EG＝GF＝1.
单独看△GEF的平面图，可得
在等腰△GEF中，过点G作GH⊥EF于点H，
在Rt△GHE中，EG＝1，EH＝EF＝，则sin∠EGH＝，所以∠EGH＝60°，则∠EGF＝2∠EGH＝120°.所以异面直线AD，BC所成的角为∠EGF的补角，即异面直线AD，BC所成的角为60°.
10．证明：取BD的中点H，连接EH，FH.
因为E是AB的中点，且AD＝2，
所以EH∥AD，EH＝1.同理FH∥BC，FH＝1.
所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角．
又因为EF＝，所以EH2＋FH2＝EF2.
所以△EFH是等腰直角三角形，EF是斜边．
所以∠EHF＝90°，即AD，BC所成的角是90°.故AD⊥BC.
11.选A　如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角，除去两条与l共面的母线，其余都符合要求．
12.选ABC　如图所示，连接A1B，易知点E为A1B的中点，由三角形中位线定理可得EF∥A1C1，所以EF，A1C1确定一个平面．显然EF与CD异面．因为A1C1⊥AA1，AA1∥BB1，所以A1C1⊥BB1.又EF∥A1C1，所以EF⊥BB1.连接B1D1，则A1C1⊥B1D1.易知BD∥B1D1，所以A1C1⊥BD.又知EF∥A1C1，所以EF⊥BD.故只有选项D中的结论不成立．
13．解析：如图补全A BCD，假设AB＝2，平移BE于FC的位置，连接BF，则异面直线AC与BE所成的角即是直线AC与FC所成的角，AC＝2，BE＝BF＝FC＝，AF＝＝，根据余弦定理得cos∠ACF＝＝＝，故直线AC与FC所成的角∠ACF＝60°.
答案：60°
14．解析：连接CD1，AC.在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，A1D1綊BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形．所以A1B∥CD1.所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角．因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°，所以∠AD1C＝90°.因为四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，所以AC＝2sin 60°×2＝6.所以AD1＝AC＝3.所以AA1＝＝＝.
答案：
15．解：如图所示，取BD的中点E，连接ME，NE.因为M，N分别是BC，AD的中点，
所以ME∥CD且ME＝CD＝4，NE∥AB且NE＝AB＝4，
从而∠MEN(或其补角)即为AB与CD所成的角．又异面直线AB与CD所成的角为60°，所以∠MEN＝60°或120°.
当∠MEN＝60°时，由余弦定理可知
MN＝＝4.
当∠MEN＝120°时，由余弦定理可知
MN＝＝4.

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