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2024-2025 学年江苏省南京市协同体九校高二下学期期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 = (1,3, 2), = ( 2, , 4)，且 // ，则 =( )
A. 5 B. 3 C. 4 D. 6
2.已知 = 1,0,1 ， = 1,1,2 ，则向量 与 的夹角为( )
A. 4 B.

6 C. D.

3
3.已知 = ( 3,2,5), = (1,5, 1)，则( + ) ( ) =( )
A. 11 B. 13 C. 45 D. 3
4.乘积( 1 + 2 + 3)( 1 + 2 + 3 + 4 + 5)( 1 + 2 + 3)展开后共有( )项．
A. 10 B. 24 C. 30 D. 45
5.已知空间向量 = 1,2,4 ，则向量 在坐标平面 上的投影向量是( )
A. 1, 2, 4 B. 1,0,4 C. 0,2,4 D. 0,3,5
6.已知 = 2,1, 3 ， = 1,2,3 ， = , 6, 9 ，若 ， ， ， 四点共面，则 =( )
A. 3 B. 3 C. 7 D. 7
7.甲乙丙等 5 人站在一排，且甲不在两端，乙和丙中间恰好有两人，则不同排法共有( )
A. 24 种 B. 16 种 C. 12 种 D. 8 种
8.正方体 1 1 1 1的棱长为 2，空间中的动点 满足| + | = 6，则 1 1 1的取值范围为
( )
A. [2,6] B. [1,3]
C. [4 2 3, 4 + 2 3] D. [4 2 6, 4 + 2 6]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A.已知向量 = (6,3,6), = (1, 2,2)，则向量 在 上的投影向量为(2, 2,4)
B.若对空间中任意一点 ，有 = 2 + 3 4 ，则 , , , 四点共面
C.若{ , , }是空间的一组基底，若 = + ，则{ , , }也是空间的一组基底
D.若直线 的方向向量为 = (0,1,2)，平面 的法向量 = (3, 4,2)，则直线 ⊥
10.已知 ( ) = (2 1)7 = + + 2 + 3 + 40 1 2 3 4 + 5 5 + 6 6 + 77 ，则下列描述正确的是( )
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A. 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 1
B. 3 > 4
C. | 0| + | 1| + | 2| + | 3| + | 4| + | 5| + | 6| + | 7| = 37 + 1
D. 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5 + 6 6 + 7 7 = 14
11.下列说法正确的是( )
A. 4 个不同的小球，放入 3 个不同的盒中，共有 81 种不同的放法
B. 4 个不同的小球，放入 3 个不同的盒中，不能有空盒，共有 12 种不同的放法
C. 6 个相同的小球，放入 3 个不同的盒中，不能有空盒，共有 10 种不同的放法
D. 6 个相同的小球，放入 3 个不同的盒中，共有 28 种不同的放法
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.从 0，1，2，3，4 这 5 个数中任选 3 个数，组成没有重复数字的三位数的个数为 ．
2
13. 2 + 7 的展开式中含
4 4项的系数为 ．

14.如图，在平行六面体 1 1 1 1中， 为 的中点， = 2 1， 1交平面 为 ，则 的值1
为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2
如图，在三棱锥 中，点 为 的中点， = ，设 = , = , 3 =
(1)试用向量 , , 表示向量 ;
(2)若 = = ，且∠ = ∠ = ∠ = 90 ，求证： ⊥平面 ．
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16.(本小题 15 分)
在二项式( 1 + )
的展开式中．
(1)若展开式后三项的二项式系数的和等于 46，求展开式中二项式系数最大的项；
(2)若 为满足 8 < < 12 的整数，且展开式中有常数项，试求 的值和常数项．
17.(本小题 15 分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中， = = 1 = 2，∠ = 90°， ， 分别为 1， 的中点．
(1)求异面直线 1 与 所成角的余弦值；
(2)求点 1到平面 的距离；
(3)求平面 与平面 1 夹角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
直四棱柱 1 1 1 1中，底面 为平行四边形，若 , 分别为 , 1 的中点．
(1)证明： //平面 1 1；
(2)若 1 = 1 , = = 2，且平面 1
3
与平面 1 所成角的余弦值为4，求 1 ．
19.(本小题 17 分)
我们曾用“算两次”的方法发现了组合恒等式，例如， = , = + 1 +1 ，请继续使用“算两
次”的方法完成下面的探究．
(1)计算：( 0)2 + ( 1)2 + ( 2)2, ( 0)2 + ( 1)2 + ( 2)2 + ( 3 22 2 2 3 3 3 3) 并与 24, 36比较，你有什么发现
(2)写出(1)的一般性结论并证明；
(3)证明：2 2 =0 ( 1) ( 2 ) = ( 1) 2
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.48
13. 7
14.29
15.(1) ∵ 为 中点，
∴ = 1 2 (
+ )，
∵ = + = 2 = 2 + 3 3 ，
∴ = 13
+ 2 13 = 3
+ 2 [ 13 2 (
+ )] = 1 + 1 3 3
+ 13 ；
(2) ∵ = = 且∠ = ∠ = ∠ = 90 ，
∴ 为等边三角形且 ⊥ , ⊥ ，
∵ ∩ = , , 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，
∴ ⊥ ，
∵ = 2 3 ，
∴ 为 重心，
同理可证 ⊥ ，
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∵ ∩ = , , 平面 ，
∴ ⊥平面 ．
16.(1) 2 + 1 + = 2 + 1 + 0 = ( 1)由 2 + + 1 = 46，
得 2 + 90 = 0，显然 = 9．
二项式系数中最大的项是第 5 项与第 6 项，
1 3
其中 4 5 4 3 55 = 9( ) ( ) = 126 , 6 = 9(
1 )4 ( )
5 = 126 2；
3
(2) 1依题意， = 3 +1 ( ) ( ) = 2 ,展开式中有常数项，则2 = 且 8 < < 12，
则 = 9，常数项为 69 = 84
17.解：(1)由题意可知 、 、 1两两垂直，
如图所示建立空间直角坐标系，
则 1(0,0,2)， (2,0,0)， (0,2,1)， (1,1,0)，
即 1 = (2,0, 2), = (1, 1, 1)，

所以 cos < 1 , >=
1
=
4
8× 3 =
6
3 ，| 1 || |
即异面直线 1 与 所成角的余弦值为
6；
3
(2)由(1)知： 1 = (2,0,2), = (0,2,1), = (1,1,0)，
设面 的一个法向量为 = ( , , )，
= 2 + = 0
则由 ⊥ ， ⊥ ，有 ， = + = 0
取 = 1，可得 = 1， = 2，即 = (1, 1,2)，
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| = 1 | 6所以点 1到平面 的距离为 | | = 6 = 6；
(3)由(1)知： 1 = (2,0, 2), 1 = (0,2, 1)，
设面 1 的一个法向量为 = ( , , )，

则由 ⊥ 1

， ⊥ ，有 1
= 2 2 = 0
1 ， 1 = 2 = 0
取 = 2，可得 = 1， = 2，即 = (2,1,2)，
设平面 与平面 1 夹角为 ，
= |cos < , > | = | | 5 5 6则 | | | | = 3 6 = 18 ，
即平面 与平面 1 夹角的余弦值
5 6．
18
18.(1)取 1中点 ，连接 ,
∵ , , 为中点，
∴ // 1 1, =
1
2 1 1, // , =
1
1 1 2 1 1,
∴ // , = ，即四边形 为平行四边形，
∴ // ，
∵ 平面 1 1， 平面 1 1，
∴ //平面 1 1．
(2)
在直四棱柱 1 1 1 1中， 1 ⊥平面 ，则 1 ⊥ , 1 ⊥ ，
又 1 = 1 ，则 = ，所以平行四边形 是菱形，
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连接 交 于点 ，由 = = 2，则 = 3， = 1，
以点 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设 1 = ，
则 (0, 3, 0), (1,0,0), 1( 1,0, )， = ( 1, 3, 0), 1 = ( 1, 3, )，
设平面 1 的一个法向量为 1 = ( 1, 1, 1)
1 = 1 + 3 1 = 0则 ，令 = 3，得 = 1, = 2 3，
= 3 + = 0 1 1 1 1 1 1 1 1
∴ 1 = 3, 1,
2 3
，
又 (0, 3, 0), = (1, 3, 0), 1 = ( 2,0, )
设平面 1 的一个法向量为 2 = ( 2, 2, 2)，
2 = 2 + 3 2 = 0则 = ( 3, 1, 2 3 )
，解得 ，
1 2 = 2 2 +
2
2 = 0
2+12
∴ cos , = 1 2 2 31 2 = = ，1 2 3+1+12 12 4
2
× 3+1+
2
解得 = 3，故 1 = 3．
19.(1)( 0)2 + ( 1)22 2 + ( 2 22) = 1 + 4 + 1 = 6，( 0 2 1 2 2 2 3 23) + ( 3) + ( 3) + ( 3) = 1 + 9 + 9 + 1 = 20，
从而( 0)2 + ( 12 2)2 + ( 2)2 = 22 4，( 0 23) + ( 1 2 2 2 33) + ( 3) + ( 3)2 = 36；
(2)( 0)2 + ( 1)2 + + ( 1 2 ) + ( )2 = 2 ，证明如下：
(1 + )2 = (1 + ) (1 + ) ，等式左侧 的系数为 2 ，
等式右侧 的系数为( 0 1 ) + ( 1 ) + + ( 1 1) + ( 0 ) = ( 0 2 ) + ( 1 2 ) + + ( 1)2 + ( )2 ，
而等式恒成立可得左右的 的系数相等，即( 0 )2 + ( 1 2 1 2 ) + + ( ) + ( )2 = 2 ；
(3)(1 2)2 = (1 )2 (1 + )2 ，等式左侧 2 的系数为( 1) 2 ，
等式右侧 2 的系数为( 1)0( 0 2 12 2 ) + ( 1) ( 1 2 12 2 ) + + ( 1)2 1( 2 1 12 2 ) + (
1)2 ( 2 2 02 ) =
( 1)0( 0 )2 + ( 1)1( 1 )2 + + ( 1)2 1( 2 1)2 + ( 1)2 ( 2 )2 = 2 22 2 2 2 =0 ( 1) ( 2 ) ，
而等式恒成立可得左右的 2 的系数相等，即2 =0 ( 1)
( 2 )2 = ( 1) 2 得证．
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