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第3课时　点面距与线面距及直线与平面所成的角
(教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学)
[课时目标]
1.了解点到平面的距离,直线和平面的距离的概念.
2.了解直线和平面所成角的概念,能利用线面关系寻找直线与平面所成的角,会求直线与平面所成的角.
1.两种距离
(1)点到平面的距离:从平面外一点引平面的垂线,这个　　　　　　的距离,叫作这个点到这个平面的距离.
(2)直线和平面的距离:一条直线和一个平面平行,这条直线上　　　　　　　　　　,叫作这条直线和这个平面的距离.
2.直线与平面所成的角
(1)相关概念:
①斜线:一条直线与一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫作这个平面的　　　.
②斜足:斜线与平面的　　　叫作斜足.
③斜线段:斜线上一点与斜足间的　　　叫作这个点到平面的斜线段.
(2)定义:平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的　　　,叫作这条直线与这个平面所成的角.
(3)规定:如果一条直线垂直于平面,那么称它们所成的角是　　　;如果一条直线与平面平行,或在平面内,
那么称它们所成的角是　　　.
(4)取值范围:设直线与平面所成的角为θ,则　　　　.
题型(一)　距离问题
[例1]　如图,在三棱锥P ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.
(1)证明:PO⊥平面ABC;
(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.
听课记录:
　　|思|维|建|模|
(1)从平面外一点作一个平面的垂线,这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离.当该点到已知平面的垂线不易作出时,可利用线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面等距离的点作垂线,然后计算.
(2)利用中点转化:如果条件中具有中点条件,将一个点到平面的距离,借助中点(等分点),转化为另一点到平面的距离.
(3)通过换底转化:一是直接换底,以方便求空间图形的高;二是将底面扩展(分割),以方便求底面积和高.
　　[针对训练]
1.已知在长方体ABCD A1B1C1D1中,棱AA1=12,AB=5.
(1)求点B1到平面A1BCD1的距离;
(2)求B1C1到平面A1BCD1的距离.
题型(二)　直线与平面所成的角
[例2]　如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中.
(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角;
(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角.
听课记录:
　　|思|维|建|模|
求解直线和平面所成角的一般步骤
　　求直线和平面所成角的关键在于找出直线在平面内的射影,基本步骤为
(1)作:即在斜线上选取恰当的点向平面引垂线,准确确定垂足的位置是关键;几何图形的特征是确定垂足的依据,垂足一般都是一些特殊的点,比如线段的中点、平面图形的中心、重心、垂心等.
(2)证:即证明所找到的角为直线和平面所成的角,也就是证明选取的点与垂足的连线和平面垂直,依据就是直线和平面所成角的定义.
(3)求:将所求角转化为垂线段、斜线段与射影所构成的直角三角形中进行计算.
　　[针对训练]　
2.三棱锥S ABC的所有棱长都相等且为a,求SA与底面ABC所成角的余弦值.
题型(三)　直线与平面位置关系的综合问题
[例3]　如图,PA⊥矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点.
(1)求证:MN∥平面PAD;
(2)若PD与平面ABCD所成的角为45°,求证:MN⊥平面PCD.
听课记录:
　　|思|维|建|模|
　　解决线面位置关系的综合问题一定要掌握线线平行与垂直的转化关系.
(1)直线与平面平行问题,常常转化为直线与直线平行问题,而直线与直线平行问题也可以转化为直线与平面平行的问题,要做出正确的命题转化,就必须熟记线面平行的定义、判定定理和性质定理.
(2)线线垂直常常转化为线面垂直,即证明其中一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可.证明转化途径是线线垂直→线面垂直→线线垂直.
　　[针对训练]
3.如图,在三棱柱A1B1C1 ABC中,侧棱与底面垂直,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=,D是A1B1的中点.
(1)求证:C1D⊥平面AA1B1B;
(2)当点F在BB1上的什么位置时,会使得AB1⊥平面C1DF 并证明你的结论.
第3课时　点面距与线面距及直线与平面所成的角
1.(1)点和垂足间　(2)任意一点到这个平面的距离　2.(1)斜线　交点　线段　(2)锐角　(3)直角　0°角　
(4)0°≤θ≤90°
[例1]　解:(1)证明:∵PA=PC=AC=4,O为AC的中点,
∴OP⊥AC,且OP=2.
连接OB,如图,
∵AB=BC=AC,
∴△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,
∴OB=AC=2,
∵OP2+OB2=PB2,∴OP⊥OB.
又∵OP⊥AC,OB∩AC=O,OB 平面ABC,AC 平面ABC,∴PO⊥平面ABC.
(2)作CH⊥OM,垂足为H,
由(1)可得OP⊥CH,
又OM∩OP=O,OM 平面POM,OP 平面POM,∴CH⊥平面POM,∴CH的长即为点C到平面POM的距离.
由题设可知,OC=AC=2,CM=BC=,∠ACB=45°,
由余弦定理得OM2=OC2+CM2-2OC·CM·cos 45°=4+-2×2××=,
即OM=,
∴CH==,
∴点C到平面POM的距离为.
[针对训练]
1.解:(1)如图,过点B1作B1E⊥A1B于点E.
由题意知BC⊥平面A1ABB1,且B1E 平面A1ABB1,
∴BC⊥B1E.∵BC∩A1B=B,BC 平面A1BCD1,A1B 平面A1BCD1,∴B1E⊥平面A1BCD1,
∴线段B1E的长即为所求.
在Rt△A1B1B中,B1E===,
∴点B1到平面A1BCD1的距离为.
(2)∵B1C1∥BC,且B1C1 平面A1BCD1,
BC 平面A1BCD1,
∴B1C1∥平面A1BCD1.
∴点B1到平面A1BCD1的距离即为所求,
∴直线B1C1到平面A1BCD1的距离为.
[例2]　解:(1)∵AB⊥平面AA1D1D,
∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角,
在Rt△AA1B中,∠BAA1=90°,AB=AA1,
∴∠AA1B=45°,
∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.
(2)如图,连接A1C1交B1D1于点O,连接BO.
∵A1O⊥B1D1,BB1⊥A1O,BB1∩B1D1=B1,BB1 平面BB1D1D,B1D1 平面BB1D1D,
∴A1O⊥平面BB1D1D,
∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角.
设正方体的棱长为1,则A1B=,A1O=.
又∵∠A1OB=90°,
∴sin∠A1BO==,
又0°≤∠A1BO≤90°,∴∠A1BO=30°,
∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.
[针对训练]
2.解:如图,过S作SO⊥平面ABC于点O,连接AO,BO,CO.
则SO⊥AO,SO⊥BO,SO⊥CO.
∵SA=SB=SC=a,
∴△SOA≌△SOB≌△SOC,
∴AO=BO=CO,
∴O为△ABC的外心.
∵△ABC为正三角形,
∴O为△ABC的中心.∵SO⊥平面ABC,
∴∠SAO即为SA与平面ABC所成的角.
在Rt△SAO中,SA=a,AO=×a=a,∴cos∠SAO==,
∴SA与底面ABC所成角的余弦值为.
[例3]　证明:(1)取PD的中点E,连接NE,AE,
又∵N是PC的中点,
∴NE∥DC且NE=DC.
又∵DC∥AB且DC=AB,AM=AB,
∴AM∥CD且AM=CD,
∴NE∥AM,且NE=AM,
∴四边形AMNE是平行四边形,∴MN∥AE.
∵AE 平面PAD,MN 平面PAD,
∴MN∥平面PAD.
(2)∵PA⊥平面ABCD,
∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角,
∴∠PDA=45°,
∴AP=AD,∴AE⊥PD.
又∵MN∥AE,∴MN⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD,CD 平面ABCD,
∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD,PA∩AD=A,PA 平面PAD,AD 平面PAD,∴CD⊥平面PAD.
∵AE 平面PAD,
∴CD⊥AE,∴CD⊥MN.
又CD∩PD=D,CD 平面PCD,PD 平面PCD,∴MN⊥平面PCD.
[针对训练]
3.解:(1)证明:∵三棱柱A1B1C1 ABC的侧棱与底面垂直,AC=BC=1,∠ACB=90°,
∴A1C1=B1C1=1,
且∠A1C1B1=90°,AA1⊥平面A1B1C1.
∵C1D 平面A1B1C1,∴AA1⊥C1D.
∵D是A1B1的中点,∴C1D⊥A1B1.
又A1B1∩AA1=A1,A1B1,AA1 平面AA1B1B,∴C1D⊥平面AA1B1B.
(2)当F为BB1的中点时,AB1⊥平面C1DF.
证明:如图,作DE⊥AB1于点E,延长DE交BB1于点F,连接C1F.
由(1)知C1D⊥平面AA1B1B,AB1 平面AA1B1B,∴C1D⊥AB1.
又AB1⊥DF,DF∩C1D=D,DF,C1D 平面C1DF,∴AB1⊥平面C1DF.
易知AA1=A1B1=,∴四边形AA1B1B为正方形.
又D为A1B1的中点,DF⊥AB1,∴F为BB1的中点.∴当F为BB1的中点时,AB1⊥平面C1DF.(共62张PPT)
点面距与线面距及直线与平面所成的角
(教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学)
第3课时
课时目标
1.了解点到平面的距离,直线和平面的距离的概念.
2.了解直线和平面所成角的概念,能利用线面关系寻找直线与平面所成的角,会求直线与平面所成的角.
1.两种距离
(1)点到平面的距离:从平面外一点引平面的垂线,这个____________的距离,叫作这个点到这个平面的距离.
(2)直线和平面的距离:一条直线和一个平面平行,这条直线上_________
__________________,叫作这条直线和这个平面的距离.
点和垂足间
任意一点
到这个平面的距离
2.直线与平面所成的角
(1)相关概念:
①斜线:一条直线与一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫作这个平面的_____.②斜足:斜线与平面的_____叫作斜足.
③斜线段:斜线上一点与斜足间的_____叫作这个点到平面的斜线段.
(2)定义:平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的_____,叫作这条直线与这个平面所成的角.
(3)规定:如果一条直线垂直于平面,那么称它们所成的角是_____;如果一条直线与平面平行,或在平面内,那么称它们所成的角是_______.
(4)取值范围:设直线与平面所成的角为θ,则_______________.
斜线
交点
线段
锐角
直角
0°角
0°≤θ≤90°
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一)　距离问题
题型(二)　直线与平面所成的角
题型(三)　直线与平面位置关系
的综合问题
4
课时跟踪检测
题型(一)　距离问题
01
[例1]　如图,在三棱锥P ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,
O为AC的中点.
(1)证明:PO⊥平面ABC;
解:证明:∵PA=PC=AC=4,O为AC的中点,
∴OP⊥AC,且OP=2.
连接OB,如图,
∵AB=BC=AC,
∴△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,
∴OB=AC=2,
∵OP2+OB2=PB2,
∴OP⊥OB.
又∵OP⊥AC,OB∩AC=O,OB 平面ABC,AC 平面ABC,
∴PO⊥平面ABC.
(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.
解:作CH⊥OM,垂足为H,
由(1)可得OP⊥CH,
又OM∩OP=O,OM 平面POM,OP 平面POM,∴CH⊥平面POM,
∴CH的长即为点C到平面POM的距离.
由题设可知,OC=AC=2,CM=BC=,∠ACB=45°,
由余弦定理得OM2=OC2+CM2-2OC·CM·cos 45°=4+-2×2××=,
即OM=,
∴CH==,
∴点C到平面POM的距离为.
|思|维|建|模|
(1)从平面外一点作一个平面的垂线,这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离.当该点到已知平面的垂线不易作出时,可利用线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面等距离的点作垂线,然后计算.
(2)利用中点转化:如果条件中具有中点条件,将一个点到平面的距离,借助中点(等分点),转化为另一点到平面的距离.
(3)通过换底转化:一是直接换底,以方便求空间图形的高;二是将底面扩展(分割),以方便求底面积和高.
针对训练
1.已知在长方体ABCD A1B1C1D1中,棱AA1=12,AB=5.
(1)求点B1到平面A1BCD1的距离;
解:如图,过点B1作B1E⊥A1B于点E.
由题意知BC⊥平面A1ABB1,且B1E 平面A1ABB1,
∴BC⊥B1E.∵BC∩A1B=B,BC 平面A1BCD1,
A1B 平面A1BCD1,
∴B1E⊥平面A1BCD1,
∴线段B1E的长即为所求.
在Rt△A1B1B中,B1E===,
∴点B1到平面A1BCD1的距离为.
(2)求B1C1到平面A1BCD1的距离.
解:∵B1C1∥BC,且B1C1 平面A1BCD1,
BC 平面A1BCD1,
∴B1C1∥平面A1BCD1.
∴点B1到平面A1BCD1的距离即为所求,
∴直线B1C1到平面A1BCD1的距离为.
题型(二)　直线与平面所成的角
02
[例2]　如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中.
(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角;
解:∵AB⊥平面AA1D1D,
∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角,
在Rt△AA1B中,∠BAA1=90°,AB=AA1,
∴∠AA1B=45°,
∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.
(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角.
解:如图,连接A1C1交B1D1于点O,连接BO.
∵A1O⊥B1D1,BB1⊥A1O,BB1∩B1D1=B1,
BB1 平面BB1D1D,B1D1 平面BB1D1D,
∴A1O⊥平面BB1D1D,
∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角.
设正方体的棱长为1,则A1B=,A1O=.
又∵∠A1OB=90°,
∴sin∠A1BO==,
又0°≤∠A1BO≤90°,
∴∠A1BO=30°,
∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.
|思|维|建|模|
求解直线和平面所成角的一般步骤
　求直线和平面所成角的关键在于找出直线在平面内的射影,基本步骤为
(1)作:即在斜线上选取恰当的点向平面引垂线,准确确定垂足的位置是关键;几何图形的特征是确定垂足的依据,垂足一般都是一些特殊的点,比如线段的中点、平面图形的中心、重心、垂心等.
(2)证:即证明所找到的角为直线和平面所成的角,也就是证明选取的点与垂足的连线和平面垂直,依据就是直线和平面所成角的定义.
(3)求:将所求角转化为垂线段、斜线段与射影所构成的直角三角形中进行计算.
针对训练
2.三棱锥S ABC的所有棱长都相等且为a,求SA与底面ABC所成角的余弦值.
解:如图,过S作SO⊥平面ABC于点O,连接AO,BO,CO.
则SO⊥AO,SO⊥BO,SO⊥CO.
∵SA=SB=SC=a,
∴△SOA≌△SOB≌△SOC,
∴AO=BO=CO,∴O为△ABC的外心.
∵△ABC为正三角形,
∴O为△ABC的中心.∵SO⊥平面ABC,
∴∠SAO即为SA与平面ABC所成的角.
在Rt△SAO中,SA=a,AO=×a=a,
∴cos∠SAO==,
∴SA与底面ABC所成角的余弦值为.
题型(三)　直线与平面位置关系
的综合问题
03
[例3]　如图,PA⊥矩形ABCD所在的平面
M,N分别是AB,PC的中点.
(1)求证:MN∥平面PAD;
证明:取PD的中点E,连接NE,AE,
又∵N是PC的中点,
∴NE∥DC且NE=DC.
又∵DC∥AB且DC=AB,AM=AB,
∴AM∥CD且AM=CD,
∴NE∥AM,且NE=AM,
∴四边形AMNE是平行四边形,
∴MN∥AE.
∵AE 平面PAD,MN 平面PAD,
∴MN∥平面PAD.
(2)若PD与平面ABCD所成的角为45°,求证:MN⊥平面PCD.
证明:∵PA⊥平面ABCD,
∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角,
∴∠PDA=45°,
∴AP=AD,
∴AE⊥PD.
又∵MN∥AE,
∴MN⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD,CD 平面ABCD,
∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD,PA∩AD=A,PA 平面PAD,AD 平面PAD,
∴CD⊥平面PAD.
∵AE 平面PAD,
∴CD⊥AE,
∴CD⊥MN.
又CD∩PD=D,CD 平面PCD,PD 平面PCD,∴MN⊥平面PCD.
|思|维|建|模|
解决线面位置关系的综合问题一定要掌握线线平行与垂直的转化关系.
(1)直线与平面平行问题,常常转化为直线与直线平行问题,而直线与直线平行问题也可以转化为直线与平面平行的问题,要做出正确的命题转化,就必须熟记线面平行的定义、判定定理和性质定理.
(2)线线垂直常常转化为线面垂直,即证明其中一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可.证明转化途径是线线垂直→线面垂直→线线垂直.
针对训练
3.如图,在三棱柱A1B1C1 ABC中,侧棱与底面垂直,AC=BC=1,
∠ACB=90°,AA1=,D是A1B1的中点.
(1)求证:C1D⊥平面AA1B1B;
解:证明:∵三棱柱A1B1C1 ABC的侧棱与底面垂直,AC=BC=1,
∠ACB=90°,
∴A1C1=B1C1=1,
且∠A1C1B1=90°,AA1⊥平面A1B1C1.
∵C1D 平面A1B1C1,
∴AA1⊥C1D.
∵D是A1B1的中点,∴C1D⊥A1B1.
又A1B1∩AA1=A1,A1B1,AA1 平面AA1B1B,
∴C1D⊥平面AA1B1B.
(2)当点F在BB1上的什么位置时,会使得AB1⊥平面C1DF 并证明你的结论.
解:当F为BB1的中点时,AB1⊥平面C1DF.
证明:如图,作DE⊥AB1于点E,延长DE交BB1于点F,
连接C1F.
由(1)知C1D⊥平面AA1B1B,AB1 平面AA1B1B,
∴C1D⊥AB1.
又AB1⊥DF,DF∩C1D=D,DF,C1D 平面C1DF,
∴AB1⊥平面C1DF.
易知AA1=A1B1=,
∴四边形AA1B1B为正方形.
又D为A1B1的中点,DF⊥AB1,
∴F为BB1的中点.
∴当F为BB1的中点时,AB1⊥平面C1DF.
课时跟踪检测
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2
A级——达标评价
1.如图所示,在三棱锥P ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,
则直线PB和平面ABC所成的角是(　　)
A.∠BPA B.∠PBA
C.∠PBC D.以上都不对
解析:由PA⊥AB,PA⊥BC,AB∩BC=B,得PA⊥平面ABC,所以∠PBA为BP与平面ABC所成的角.
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2.(多选)下列说法正确的是 (　　)
A.平面的斜线与平面所成的角的取值范围是 0°<θ<90°
B.直线与平面所成的角的取值范围是0°<θ≤90°
C.若两条直线与一个平面所成的角相等,则这两条直线互相平行
D.若两条直线互相平行,则这两条直线与一个平面所成的角相等
解析:B中应为0°≤θ≤90°;C中这两条直线可能平行,也可能相交或异面.
√
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3.在正三棱柱(侧棱与底面垂直,底面为正三角形的三棱柱)
ABC A1B1C1中,已知AB=1,D在棱BB1上,且BD=1,则AD与
平面AA1C1C所成角的正弦值为 (　　)
A. B. C. D.
√
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解析:如图,取C1A1,CA的中点E,F,连接B1E,
BF,EF,则B1E⊥平面CAA1C1,过D作DH∥B1E,
则DH⊥平面CAA1C1,连接AH,则∠DAH即为
所求的线面角.DH=B1E=,DA=.
所以sin∠DAH==.
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4.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则P到BC的距离是
(　　)
A. B.2 C.3 D.4
√
解析:如图所示,作PD⊥BC于D,连接AD.∵PA⊥平面ABC,
∴PA⊥BC.又PA∩PD=P,∴BC⊥平面PAD,∴AD⊥BC.
在△ACD中,AC=5,CD=3,∴AD=4.在Rt△PAD中,PA=8,
AD=4,∴PD==4.
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5.(多选)在正方体ABCD A1B1C1D1中,P,Q分别是BC1和CD1的中点,则下列判断正确的是 (　　)
A.PQ⊥CC1 B.PQ⊥平面A1ACC1
C.PQ∥BD D.PQ∥平面ABD1
解析:取CC1的中点E,连接PE,QE,∵P,Q分别是BC1和
CD1的中点,易得CC1⊥PE,CC1⊥QE.又PE∩QE=E,
∴CC1⊥平面PQE.∵PQ 平面PQE,∴CC1⊥PQ,
故A正确.
√
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分别取CD,BC的中点F,G,连接QF,FG,PG,易得PG∥QF且PG=QF,
∴四边形PQFG为平行四边形.∴PQ∥FG.又FG∥BD,∴PQ∥BD,
故C正确.
∵BD⊥AC,∴PQ⊥AC.又PQ⊥CC1,AC∩CC1=C,∴PQ⊥平面A1ACC1,故B正确.
平面ABD1即为平面ABC1D1,显然PQ∩平面ABC1D1=P,故D错误.故选ABC.
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6.如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,直线A1B与平面ABCD所成的角是　　　　.
45°
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7.已知平面α外两点A,B到平面α的距离分别是2和4,则AB的中点P到平面α的距离是　　　　.
解析:若A,B在α同侧,如图①,则P到α的距离为3;若A,B在α异侧,如图②,则P到α的距离为PO'-OO'=3-2=1.
3或1
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8.在长方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别为C1D1,AB的中点,AB=4,则MN到平面BCC1B1的距离为　　　　.
解析:连接BC1(图略),易知MN∥BC1,∵BC1 平面BCC1B1,MN 平面BCC1B1,∴MN∥平面BCC1B1.∴MN与平面BCC1B1的距离等于N到平面BCC1B1的距离,又N到平面BCC1B1的距离为NB=AB=2,∴MN到平面BCC1B1的距离为2.
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9.(10分)如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中:
(1)求证:A1A∥平面BB1D1D;
解:证明:在长方体ABCD A1B1C1D1中,AA1∥BB1,
又BB1 平面BB1D1D,AA1 平面BB1D1D,
所以A1A∥平面BB1D1D.
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(2)若AB=4,AD=3,求A1A到平面BB1D1D的距离.
解:由(1)知A1A∥平面BB1D1D,
则直线A1A上任意一点到平面BB1D1D的距离都相等.
如图,过点A作AH⊥BD交BD于H,
易知BB1⊥平面ABCD,
因为AH 平面ABCD,
所以BB1⊥AH.
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因为BB1∩BD=B,
所以AH⊥平面BB1D1D,
即AH的长为直线A1A到平面BB1D1D的距离.
在△ABD中,AB=4,AD=3,
则BD=5.
由等面积法得AH===,
所以A1A到平面BB1D1D的距离为.
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10.(12分)如图,在三棱锥O ABC中,∠OAB=
∠OAC=60°,AB=AC=AO=a,BC=a,
D为BC的中点.
解:证明:连接AD,
∵AB=AC=AO=a,∠OAB=∠OAC=60°,
∴△OAB,△OAC为正三角形,
∴OB=OC=a,
∵BC=a,
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∴OB2+OC2=BC2,AB2+AC2=BC2,
∴△OBC,△ABC为等腰直角三角形,
则OD⊥BC,AD⊥BC,
且AD=a,OD=a,
又OA=a,
∴AD2+OD2=OA2,OD⊥AD.
又AD∩BC=D,
∴OD⊥平面ABC.
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(2)求OA与平面ABC所成的角.
解:由(1)知,∠OAD为OA与平面ABC所成的角.在Rt△OAD中,
OD=a,OA=a,
∴sin∠OAD==.
又0°≤∠OAD≤90°,
∴∠OAD=45°,即OA与平面ABC所成的角为45°.
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B级——重点培优
11.(多选)如图,四棱锥S ABCD的底面为正方形,
SD⊥底面ABCD,则下列结论中正确的是(　　)
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
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解析:A正确,因为SD⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,所以AC⊥SD.因为四边形ABCD为正方形,所以AC⊥BD,因为BD∩SD=D,BD,SD 平面SBD,所以AC⊥平面SBD,因为SB 平面SBD,所以AC⊥SB.
B正确,因为AB∥CD,CD 平面SCD,AB 平面SCD,所以AB∥平面SCD.
C正确,设AC与BD的交点为O,连接SO,如图,由AC⊥平面SBD得SA与平面SBD所成的角为∠ASO,SC与平面SBD所成的角为∠CSO,易知∠ASO=
∠CSO,故SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角.
D不正确,AB与SC所成的角是∠SCD(或其补角),而DC与SA所成的角是∠SAB(或其补角),易知∠SCD≠∠SAB.故选ABC.
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12.如图所示,AB是☉O的直径,PA⊥平面ABC,
C为圆周上一点,AB=5 cm,AC=2 cm,则B到平面PAC的距离为　　　　 cm.
解析:因为PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,所以PA⊥BC,又由AB是☉O的直径,C为圆周上一点,可得AC⊥BC,因为PA∩AC=A,且AC,PA 平面PAC,所以BC⊥平面PAC,所以BC的长为点B到平面PAC的距离.
在Rt△ABC中,AB=5 cm,AC=2 cm,可得BC==(cm).
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13.在长方体ABCD A1B1C1D1中,AB=,BC=AA1=1,则BD1与平面A1B1C1D1所成角的大小为　　　　.
30°
解析:如图所示,连接B1D1.则B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影,则∠BD1B1是BD1与平面A1B1C1D1所成的角.在Rt△BD1B1中,
tan∠BD1B1===,则∠BD1B1=30°.
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14.(13分)如图,在四棱锥P ABCD中,
底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=2,
PA=1,PA⊥平面ABCD,点E是PC的中点,
F是AB的中点.
(1)求证:BE∥平面PDF;
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解:证明:取PD中点为M,连接ME,MF.∵E是PC的中点,
∴ME是△PCD的中位线,
∴ME CD.
∵F是AB中点且ABCD是菱形,AB CD,
∴ME AB.∴ME FB.
∴四边形MEBF是平行四边形.从而BE∥MF,
∵BE 平面PDF,MF 平面PDF,
∴BE∥平面PDF.
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(2)求直线BE与平面PAD所成角的正弦值.
解:由(1)得BE∥MF,∴直线BE与平面PAD所成角就是直线MF与平面PAD所成角.
取AD的中点G,连接BD,BG.
∵底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,
∴△ABD是正三角形,∴BG⊥AD,
∵PA⊥平面ABCD,PA 平面PAD,
∴平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,
BG⊥AD,∴BG⊥平面PAD,
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过F作FH∥BG,交AD于H,则FH⊥平面PAD,连接MH,
则∠FMH就是MF与平面PAD所成的角.
又F是AB的中点,∴H是AG的中点.
连接MG,又M是PD的中点,∴MG PA.
在Rt△MGH中,MG=PA=,GH=AD=,∴MH=.
在正三角形ABD中,BG=,∴FH=BG=.在Rt△MHF中,
MF==,
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∴sin∠FMH===,
∴直线BE与平面PAD所成角的正弦值为.
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15.(17分)如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD为梯形,O,M分别是AD,PB的中点,AD∥BC,AB=BC=CD=OP=1,DA=2,OP⊥平面ABD.
(1)求证:PD∥平面OCM;
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解:证明:如图,连接OB,设OC∩BD=E,连接EM,
∵AD∥BC且AD=2BC,O为AD的中点,
∴BC∥OD且BC=OD,
∴四边形OBCD为平行四边形.
∵OC∩BD=E,∴E为BD的中点.
又∵M为PB的中点,∴EM∥PD.
∵PD 平面OCM,EM 平面OCM,
∴PD∥平面OCM.
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(2)求CP与平面PAD所成角的余弦值.
解:取OD的中点F,连接CF,PF,
由(1)可知,OB=CD=1,
∵AD∥BC且AD=2BC,O为AD的中点,
∴BC∥OA且BC=OA,
∴四边形OABC为平行四边形,
∴OC=AB=1.∴OC=OD=CD=1,
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∴△OCD为等边三角形.
∵F为OD的中点,∴CF⊥OD.
∵PO⊥平面ABD,CF 平面ABD,
∴CF⊥PO.
∵PO∩OD=O,PO,OD 平面PAD,
∴CF⊥平面PAD,
∴CP与平面PAD所成的角为∠CPF.
∵PO⊥平面ABD,OC 平面ABD,
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∴PO⊥OC,∴PC==,
CF=CDsin 60°=,
在Rt△PFC中,PF==,
故cos∠CPF==.课时跟踪检测(三十九)　点面距与线面距及直线与平面所成的角
(满分110分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.如图所示,在三棱锥P ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,则直线PB和平面ABC所成的角是 (　　)
A.∠BPA B.∠PBA
C.∠PBC D.以上都不对
2.(多选)下列说法正确的是 (　　)
A.平面的斜线与平面所成的角的取值范围是 0°<θ<90°
B.直线与平面所成的角的取值范围是0°<θ≤90°
C.若两条直线与一个平面所成的角相等,则这两条直线互相平行
D.若两条直线互相平行,则这两条直线与一个平面所成的角相等
3.在正三棱柱(侧棱与底面垂直,底面为正三角形的三棱柱)ABC A1B1C1中,已知AB=1,D在棱BB1上,
且BD=1,则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为 (　　)
A. B. C. D.
4.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则P到BC的距离是 (　　)
A. B.2
C.3 D.4
5.(多选)在正方体ABCD A1B1C1D1中,P,Q分别是BC1和CD1的中点,则下列判断正确的是 (　　)
A.PQ⊥CC1
B.PQ⊥平面A1ACC1
C.PQ∥BD
D.PQ∥平面ABD1
6.如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,直线A1B与平面ABCD所成的角是　　　　.
7.已知平面α外两点A,B到平面α的距离分别是2和4,则AB的中点P到平面α的距离是　　　　.
8.在长方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别为C1D1,AB的中点,AB=4,则MN到平面BCC1B1的距离为　　　　.
9.(10分)如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中:
(1)求证:A1A∥平面BB1D1D;
(2)若AB=4,AD=3,求A1A到平面BB1D1D的距离.
10.(12分)如图,在三棱锥O ABC中,∠OAB=∠OAC=60°,AB=AC=AO=a,BC=a,D为BC的中点.
(1)求证:OD⊥平面ABC;
(2)求OA与平面ABC所成的角.
B级——重点培优
11.(多选)如图,四棱锥S ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中正确的是(　　)
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
12.如图所示,AB是☉O的直径,PA⊥平面ABC,C为圆周上一点,AB=5 cm,AC=2 cm,则B到平面PAC的距离为　　　　 cm.
13.在长方体ABCD A1B1C1D1中,AB=,BC=AA1=1,则BD1与平面A1B1C1D1所成角的大小为　　　　.
14.(13分)如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PA=1,PA⊥平面ABCD,点E是PC的中点,F是AB的中点.
(1)求证:BE∥平面PDF;
(2)求直线BE与平面PAD所成角的正弦值.
15.(17分)如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD为梯形,O,M分别是AD,PB的中点,AD∥BC,
AB=BC=CD=OP=1,DA=2,OP⊥平面ABD.
(1)求证:PD∥平面OCM;
(2)求CP与平面PAD所成角的余弦值.
课时跟踪检测(三十九)
1．选B　由PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，
得PA⊥平面ABC，所以∠PBA为BP与平面ABC所成的角．
2．选AD　B中应为0°≤θ≤90°；C中这两条直线可能平行，也可能相交或异面．
3．选A　如图，取C1A1，CA的中点E，F，连接B1E，BF，EF，则B1E⊥平面CAA1C1，过D作DH∥B1E，则DH⊥平面CAA1C1，连接AH，则∠DAH即为所求的线面角．DH＝B1E＝，DA＝.所以sin∠DAH＝＝.
4．选D　如图所示，作PD⊥BC于D，连接AD.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又PA∩PD＝P，∴BC⊥平面PAD，∴AD⊥BC.在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，∴PD＝＝4.
5.选ABC　取CC1的中点E，连接PE，QE，∵P，Q分别是BC1和CD1的中点，易得CC1⊥PE，CC1⊥QE.又PE∩QE＝E，∴CC1⊥平面PQE.∵PQ 平面PQE，∴CC1⊥PQ，故A正确．分别取CD，BC的中点F，G，连接QF，FG，PG，易得PG∥QF且PG＝QF，∴四边形PQFG为平行四边形．∴PQ∥FG.又FG∥BD，∴PQ∥BD，故C正确．∵BD⊥AC，∴PQ⊥AC.又PQ⊥CC1，AC∩CC1＝C，∴PQ⊥平面A1ACC1，故B正确．平面ABD1即为平面ABC1D1，显然PQ∩平面ABC1D1＝P，故D错误．故选ABC.
6．45°
7．解析：若A，B在α同侧，如图①，则P到α的距离为3；若A，B在α异侧，如图②，则P到α的距离为PO′－OO′＝3－2＝1.
答案：3或1
8．解析：连接BC1(图略)，易知MN∥BC1，∵BC1 平面BCC1B1，MN 平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1.∴MN与平面BCC1B1的距离等于N到平面BCC1B1的距离，又N到平面BCC1B1的距离为NB＝AB＝2，∴MN到平面BCC1B1的距离为2.
答案：2
9．解：(1)证明：在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1∥BB1，又BB1 平面BB1D1D，AA1 平面BB1D1D，所以A1A∥平面BB1D1D.
(2)由(1)知A1A∥平面BB1D1D，
则直线A1A上任意一点到平面BB1D1D的距离都相等．
如图，过点A作AH⊥BD交BD于H，
易知BB1⊥平面ABCD，
因为AH 平面ABCD，所以BB1⊥AH.
因为BB1∩BD＝B，
所以AH⊥平面BB1D1D，即AH的长为直线A1A到平面BB1D1D的距离．
在△ABD中，AB＝4，AD＝3，则BD＝5.
由等面积法得AH＝＝＝，
所以A1A到平面BB1D1D的距离为.
10．解：(1)证明：连接AD，
∵AB＝AC＝AO＝a，
∠OAB＝∠OAC＝60°，
∴△OAB，△OAC为正三角形，∴OB＝OC＝a，∵BC＝a，∴OB2＋OC2＝BC2，AB2＋AC2＝BC2，
∴△OBC，△ABC为等腰直角三角形，
则OD⊥BC，AD⊥BC，
且AD＝a，OD＝a，又OA＝a，
∴AD2＋OD2＝OA2，OD⊥AD.
又AD∩BC＝D，∴OD⊥平面ABC.
(2)由(1)知，∠OAD为OA与平面ABC所成的角．在Rt△OAD中，OD＝a，OA＝a，
∴sin∠OAD＝＝.又0°≤∠OAD≤90°，
∴∠OAD＝45°，即OA与平面ABC所成的角为45°.
11.选ABC　A正确，因为SD⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以AC⊥SD.因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，因为BD∩SD＝D，BD，SD 平面SBD，所以AC⊥平面SBD，因为SB 平面SBD，所以AC⊥SB.B正确，因为AB∥CD，CD 平面SCD，AB 平面SCD，所以AB∥平面SCD.C正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，如图，由AC⊥平面SBD得SA与平面SBD所成的角为∠ASO，SC与平面SBD所成的角为∠CSO，易知∠ASO＝∠CSO，故SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角．D不正确，AB与SC所成的角是∠SCD(或其补角)，而DC与SA所成的角是∠SAB(或其补角)，易知∠SCD≠∠SAB.故选ABC.
12．解析：因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC，又由AB是⊙O的直径，C为圆周上一点，可得AC⊥BC，因为PA∩AC＝A，且AC，PA 平面PAC，所以BC⊥平面PAC，所以BC的长为点B到平面PAC的距离．在Rt△ABC中，AB＝5 cm，AC＝2 cm，可得BC＝＝(cm)．
答案：
13．解析：如图所示，连接B1D1.则B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影，则∠BD1B1是BD1与平面A1B1C1D1所成的角．在Rt△BD1B1中，tan∠BD1B1＝＝＝，则∠BD1B1＝30°.
答案：30°
14．解：(1)证明：取PD中点为M，连接ME，MF.∵E是PC的中点，∴ME是△PCD的中位线，∴ME綊CD.
∵F是AB中点且ABCD是菱形，AB綊CD，
∴ME綊AB.∴ME綊FB.
∴四边形MEBF是平行四边形．从而BE∥MF，
∵BE 平面PDF，MF 平面PDF，
∴BE∥平面PDF.
(2)由(1)得BE∥MF，∴直线BE与平面PAD所成角就是直线MF与平面PAD所成角．
取AD的中点G，连接BD，BG.
∵底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，PA 平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG⊥AD，∴BG⊥平面PAD，
过F作FH∥BG，交AD于H，则FH⊥平面PAD，连接MH，则∠FMH就是MF与平面PAD所成的角．
又F是AB的中点，∴H是AG的中点．
连接MG，又M是PD的中点，∴MG綊PA.在Rt△MGH中，MG＝PA＝，GH＝AD＝，∴MH＝.
在正三角形ABD中，BG＝，∴FH＝BG＝.在Rt△MHF中，MF＝＝，∴sin∠FMH＝＝＝，∴直线BE与平面PAD所成角的正弦值为.
15．解：(1)证明：如图，连接OB，设OC∩BD＝E，连接EM，
∵AD∥BC且AD＝2BC，O为AD的中点，∴BC∥OD且BC＝OD，∴四边形OBCD为平行四边形．∵OC∩BD＝E，∴E为BD的中点．又∵M为PB的中点，∴EM∥PD.
∵PD 平面OCM，EM 平面OCM，
∴PD∥平面OCM.
(2)取OD的中点F，连接CF，PF，
由(1)可知，OB＝CD＝1，
∵AD∥BC且AD＝2BC，O为AD的中点，
∴BC∥OA且BC＝OA，
∴四边形OABC为平行四边形，
∴OC＝AB＝1.∴OC＝OD＝CD＝1，
∴△OCD为等边三角形．
∵F为OD的中点，∴CF⊥OD.
∵PO⊥平面ABD，CF 平面ABD，
∴CF⊥PO.
∵PO∩OD＝O，PO，OD 平面PAD，
∴CF⊥平面PAD，
∴CP与平面PAD所成的角为∠CPF.
∵PO⊥平面ABD，OC 平面ABD，
∴PO⊥OC，∴PC＝＝，
CF＝CDsin 60°＝，
在Rt△PFC中，PF＝＝，
故cos∠CPF＝＝.

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