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2024-2025 学年河北省保定市高中高二下学期期末调研考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = ( 3)( + 8) < 0 ， = ∈ ，则 ∩ =( )
A. ( 3,3) B. ( ∞, 3) ∪ (3, + ∞)
C. ( 8,8) D. ( ∞, 8) ∪ (8, + ∞)
2.已知随机变量 17, 2 ，且 ( 19) = 0.65，则 ( < 15) =( )
A. 0.25 B. 0.45 C. 0.15 D. 0.35
4
3. 2 3 2 的展开式中 的系数为( )
A. 216 B. 216 C. 96 D. 96
4.已知 = 0.90.1， = log1.11.2， = 2，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
5.某校当天的新增感冒人数 与温差 (单位：℃)的 5 组数据如下表：
57 89 11
9 1720
由于保存不善，有两个数据模糊不清，用 ， 代替，已知 关于 的经验回归方程为 = 1.8 + 0.6，则
+ =( )
A. 28 B. 29 C. 30 D. 31
6 .若函数 ( ) = 2cos 2 + 6 在 上单调递减，则 的取值范围为( )
A. [4, + ∞) B. [ 4, + ∞) C. [2, + ∞) D. [ 2, + ∞)
2 2
7.已知 0 < < 1 < ，且 + = 2 + +2，则 1 的最小值为( )
A. 8 B. 4 + 2 2 C. 5 + 2 2 D. 6 + 2 2
8 4π.若要用铁皮制作一个容积为 33 m 的无盖圆锥形容器，则所需铁皮的面积的最小值为( )
A. 2 2πm2 B. 2 3πm2 C. 4πm2 D. 2 5πm2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量 的分布列为
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1 2 4 5
0.20.35 0.3
下列结论正确的是( )
A. = 0.15 B. ( ) = 2.5 C. (2 ) = 6 D. ( ) = 2
10.已知(5 1)9 = 0 + 1 + 2 2 + + 99 ，则( )
A. 0 = 1
B. 2 = 900
C. (5 1)9的展开式的二项式系数之和为49
9 9
D. 0 + 2 + + =
4 6
8 2
ln , > 0,
11.已知函数 ( ) = 1 ( ) = 2 + 2| | + 3, ( ) = ( ) , 0, ，则下列结论正确的是( )2
A.当 = 0 时， ( )有 1 个零点
B.当 0 < < 1 时， ( )有 4 个零点
C. ( )可能有 6 个零点
D.当 ( )的零点个数最多时， 的取值范围为 ln3, ln4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.某校举办运动会，甲参加跑步比赛、跳绳比赛(这两个比赛不能同时参加)的概率分别为 0.6，0.4，若甲
参加跑步比赛获奖的概率为 0.7，参加跳绳比赛获奖的概率为 0.6，则甲获奖的概率为 ．
13 1 5.已知函数 ( ) = 2 3 23 2 + 6 的极小值点为 1，则 = ．
14.在由数字 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成的三位数(数字可以重复)中，能被 3 整除的三位数的个
数为 ，能被 3 整除且不含数字 0 的三位数的个数为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
为了研究高二学生的性别与身高是否大于 165cm 的关联性，现随机调查了某中学的 80 名高二学生，整理
得到如下列联表：
男女合计
不低于 165cm302555
低于 165cm 101525
合计 404080
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(1)依据 = 0.1 的独立性检验，能否认为该中学高二学生的性别与身高是否大于 165cm 有关联？
(2)从身高不低于 165cm 的 55 名学生中任选 2 人，求这 2 人性别不同的概率．
( )2
附： 2 = ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
0.1 0.05 0.01
2.7063.8416.635
16.(本小题 15 分)
3 名数学小组成员(包括甲、乙)和 4 名语文小组成员站成两排拍照，第一排站 3 人，第二排站 4 人．
(1)若数学小组成员站在第一排，语文小组成员站在第二排，求不同的排法种数；
(2)若甲、乙站在同一排且不相邻，求不同的排法种数；
(3)若语文小组成员分成两排站(每排至少站 1 人)，求不同的排法种数．
17.(本小题 15 分)
1
已知函数 ( ) = e2 2 + (3 )e
3 ， ( ) = 2 2 2 ．
(1) = ( ) 0, 7若曲线 在点 2 处的切线与曲线 = ( )在点(0,0)处的切线平行，求 的值；
(2)若 ( )有最小值，且 ( )的最小值大于 ( )的最小值，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
某商场设置了两种促销方案：方案一，直接赠送消费金额 5％的代金券(例如：消费 200 元，则赠送 200 ×
5％ = 10 元的代金券)；方案二，消费每满 100 元可进行一次抽奖(例如：消费 370 元可进行三次抽奖)，
每次抽奖抽到 10 元代金券的概率为 (0 < < 1)，抽到 4 元代金券的概率为 1 ，每次抽奖结果互不影
响．每人只能选择一种方案．
(1) 3若甲的消费金额为 210 元，他选择方案二且抽到 14 元代金券的概率为8，求 ；
(2)若乙消费了一定的金额并选择方案二，设他抽到的代金券总额为 元，当 ( ) + ( )最大时，求 ；
(3)若 = 13，请你根据顾客消费金额(消费金额大于 0)的不同，以代金券的数学期望为决策依据，帮助顾客
选择方案．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( )与 ( )，若存在 , ∈ ，使得 ( ) + ( ) = 0，则称点 , 为 ( )与 ( )的一个“关键点”．
(1) 1请写出函数 ( ) = 2 与 ( ) = sin( 1) + 的一个“关键点”的坐标(不需要证明)．
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(2)判断函数 ( ) = 2与 ( ) = e ln 是否存在“关键点”.若存在，求出该“关键点”的坐标；若不
存在，请说明理由．
(3) ( ) = +1已知函数 +1 2e 和 ( ) = e 的一个“关键点”的坐标是 , ，且 + ∈ 0, 2 ，证明：e 1 <
< 2e
3+4
e3 1．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.66
13.3
14.300；243
15.(1) 2 × 2 2 = 80×(30×15 10×25)
2 16
解：由 的列联表中的数据，可得 40×40×25×55 = 11 ≈ 1.455 < 2.706，
所以不能认为该中学高二学生的性别与身高是否大于 165cm 有关联．
(2)解：从身高不低于 165cm 的 55 名学生中任选 2 人，
1 1
2 50若 人的性别不同，即 2 人中 1 男 1 女，则这 2 人性别不同的概率 = 30 25
2
= ．
55 99
16.(1)数学组 3 人站在第一排，排法共有：A33，
语文组 4 人站第二排，排法共有：A44，
那么总排法为：A3 A43 4 = 6 × 24 = 144．
(2)根据题意，分甲、乙站在第一排和第二排两种情况：
①甲、乙站在第一排：
选 1 人在甲、乙中间：C15，
甲、乙二人插空排法：A22，
第二排 4 人全排：A44，
C15 A2 A42 4 = 5 × 2 × 24 = 240，
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②甲、乙站在第二排：
选 2 人与甲、乙站在第二排：C25，
甲、乙二人插空排法：A23，
第一排 3 人全排：A33，
C2 2 2 35 A2 A3 A3 = 10 × 2 × 6 × 6 = 720，
所以总共排法为：240 + 720 = 960．
(3)利用间接法：语文小组成员分成两排站(每排至少站 1 人) =总排法 语文小组成员全在第二排．
即A7 A37 3 A44 = 5040 144 = 4896．
17.(1) ′( ) = e2 + (3 )e 3 ， ′(0) = 1 + 3 3 = 4 4 ， ′( ) = 4 2 , ′(0) = 2 ，
由题可知： ′(0) = ′(0)，所以 4 4 = 2 = 2
(2)函数 ( ), ( )的定义域均为 R，
由(1)可知： ′( ) = e2 + (3 )e 3 = e + 3 e ，
当 ≤ 0 时， ′( ) > 0 在 R 上恒成立，所以函数 ( )在 R 上单调递增，没有最值；
当 > 0 时，令 ′( ) > 0，则 > ln ；令令 ′( ) < 0，则 < ln ，
所以函数 ( )在 ∞, ln 单调递减，在 ln , + ∞ 单调递增，有最小值 ln ．
因为 ( )有最小值，所以 > 0，
1 2
所以 ( ) 2ln min = ln = 2 e + (3 )e
ln 3 ln = 3 3 ln 2，
2
( ) = = 2 2 ×
2
min 2 2 2 =

2，
2 2
则 3 3 ln 2 >

2 0 < < e
> 0
18.(1)甲的消费金额为 210 元，选择方案二可进行两次抽奖，
14 3 1 3则抽到 元代金券的概率为 2 (1 ) = 8，解得 = 4或4．
(2)设抽奖次数为 ∈ + ，抽到 10 元代金券的次数为 ，则 ～ ( , )，
得 ( ) = , ( ) = (1 )．
因为 = 10 + 4( ) = 6 + 4 ，
所以 ( ) = 6 ( ) + 4 = 6 + 4 , ( ) = 36 ( ) = 36 (1 )．
( ) + ( ) = 6 + 4 + 36 (1 ) = 36 2 + 42 + 4 ．
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当 = 42 = 72×( 36) 12时， ( ) + ( )
7
取得最大值，所以 = 12．
(3)①当消费金额(单位：元)在(0,100)内时，不能参与方案二，只能选择方案一．
由(2)可得，当 = 13时， ( ) = 6 ×
1
3 + 4 = 6 ．
设消费金额为 100 + ∈ +, 0 ≤ < 100 ，
方案一的代金券的数学期望为 5 + 0.05 ∈ +, 0 ≤ < 100 ．
②当消费金额(单位：元)在[100,120)或[200,240)或[300,360)或[400,480)或[500, + ∞)内时，
6 > 5 + 0.05 ∈ +, 0 ≤ < 100 ，选择方案二．
③当消费金额(单位：元)为 120 或 240 或 360 或 480 时，6 = 5 + 0.05 ∈ +, 0 ≤ < 100 ，选择方
案一、方案二都可以．
④当消费金额(单位：元)在(120,200)或(240,300)或(360,400)或(480,500)内时，6 < 5 + 0.05 ∈
+, 0 ≤ < 100 ，选择方案一．
综上，当消费金额(单位：元)在(0,100)或(120,200)或(240,300)或(360,400)或(480,500)内时，选择方案一；
当消费金额(单位：元)在[100,120)或[200,240)或[300,360)或[400,480)或[500, + ∞)内时，选择方案二；
当消费金额(单位：元)为 120 或 240 或 360 或 480 时，选择方案一、方案二都可以．
19.(1)设 ( ) + ( ) = 0 1，则有 2 + sin( 1) + = 0，
故满足 12 + sin( 1) + = 0 由的点 , 都是 ( )与 ( )的一个“关键点”，
对 4, 1 ，有 12 × 2 + sin0 + 1 = 0，故点 4, 1 符合要求；
(2)由题意得 ( )的值域为 0, + ∞ , ( )的定义域为 0, + ∞ ，
′( ) = ( + 1)e 1 1 = +1 e 1 ．
令 ( ) = e 1，则 ′( ) = ( + 1)e > 0，所以 ( )在 0, + ∞ 上单调递增．
因为 (0) = 1 < 0, (1) = e 1 > 0，
所以 ( )在 0, + ∞ 上存在唯一零点 0，且 0 ∈ 0, 1 ．
当 ∈ 0, 0 时， ( ) < 0， ( )在 0, 0 上单调递减，当 ∈ 0, + ∞ 时， ( ) > 0，
( )在 0, + ∞ 上单调递增，所以 ( ) ≥ 0 = 0e 0 ln 0 0，
由 0 = 0，得 e 0 0 1 = 0，得 0e 0 = 1，即 ln 0 + 0 = 0，
所以 0 = 0e 0 ln 0 0 = 1，得 ( ) ≥ 1．
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又 ( ) ≥ 0，所以不存在 , ∈ ，使得 ( ) + ( ) = 0，故 ( )与 ( )不存在“关键点”；
(3)设 ( ) = +1 +1e = ，则 ( ) = e = ，得 + 1 = e
①， = e 1②，
① +②得 + + 1 = e e 1 ，① ②得 + 1 = e + e 1 ，
1
由 + ∈ 0, 2 ，得 + + 1 ∈ 1, 3 +1 e +e，则 + +1 = e e 1，
+ 1 = e
+e 1 + +1
得 e e 1 ( + + 1) =
e +1
e + +1 1 ( + + 1)．
2
设 ( ) = e +1 e 1 , ∈ 1, 3
e 2 e 1
，则 ′( ) = e 1 2 ，
设 ( ) = e2 2 e 1，则 ′( ) = 2e2 2e 2 e = 2e e 1 ．
令函数 ( ) = e 1，因为 ′( ) = e 1 > 0，所以 ( )在(1,3)上单调递增．
由 ( ) > (1) > 0，得 ′( ) > 0，得 ( )在(1,3)上单调递增，
由 ( ) > (1) > 0，得 ( )在(1,3)上单调递增，
3 3
所以 (1) = e+1e 1 < ( ) < (3) <
3 e +1 e+1 3 e +1
e3 1 ，则e 1 < + 1 < e3 1 ．
2 2e3+4
故e 1 < < e3 1．
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