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第2课时　与球有关的组合体问题 (教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学)
[课时目标]
理解球的大、小圆,直线与球相切的意义.掌握球的表面积与体积公式,并能解决与球有关的组合体的相关计算问题.
1.球的截面
球面被经过球心的平面截得的圆叫作球的　　　　,被不经过球心的平面截得的圆叫作球的　　　　.
2.球的切线
(1)当直线与球有　　　　时,称直线与球相切,这一交点称为直线与球的　　　.
(2)过球外一点的所有切线的切线长都　　　,这些切点的集合是一个　　,该圆面及所有切线围成了一个　　　.
3.球的表面积和体积
S球面=　　　,V球=　　　(其中R为球的半径).
题型(一)　球的截面问题
[例1]　平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为,则此球的体积为 (　　)
A.π B.4π
C.4π D.6π
听课记录:
　　|思|维|建|模|
(1)有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的有关问题解决.
(2)注意一个直角三角形,即由球心距(球心到截面圆心的距离)、截面圆的半径、球的半径围成一个直角三角形,满足勾股定理.
　　[针对训练]
1.已知过球面上三点A,B,C的截面到球心的距离等于球半径的倍,且AC=8,BC=6,AB=10,则球的表面积是　　　,体积是　　　.
题型(二)　与球有关的切、接问题
角度(一)　球与正(长)方体的切接问题
　　处理与球有关的相接、相切问题时,关键是根据“接点”和“切点”作一适当的截面,将空间问题转化为平面问题.
(1)球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径.
(2)球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.
[例2]　有三个球,第一个球内切于正方体的六个面,第二个球与这个正方体的各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.
听课记录:
角度(二)　球与其他多面体的切接问题
　　特殊多面体的内切球或外接球问题,要注意球心的位置与几何体的关系.一般情况下,由于球的对称性,球心总在特殊位置,比如几何体的中心,对角线的中点等,还需熟记棱长为a的正四面体的外接球的半径R=a,内切球的半径r=.
[例3]　设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a,顶点在一个球面上,则该球的表面积为 (　　)
A.πa2 B.πa2
C.πa2 D.5πa2
听课记录:
角度(三)　球与旋转体的切接问题
　　球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面圆的直径.
[例4]　(1)若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r,R,则球的表面积为 (　　)
A.4π(r+R)2 B.4πr2R2
C.4πRr D.π(R+r)2
(2)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是　　　　.
听课记录:
　　[针对训练]
2.已知一个圆锥底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内切球的表面积为 (　　)
A.π B.
C.2π D.3π
3.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为　　　　.
4.若圆柱内接于球,圆柱的底面半径为3,高为8,则球的表面积为　　　　.
第2课时　与球有关的组合体问题
1.大圆　小圆　2.(1)唯一交点　切点
(2)相等　圆　圆锥　3.4πR2　πR3
[例1]　 选B　如图,设截面圆的圆心为O',M为截面圆上任一点,
则OO'=,O'M=1.
∴OM==,
即球的半径为.
∴V=π()3=4π.
[针对训练]
1.解析:如图,设球的半径为R,球心为O,截面圆心为O1,则OO1=R.
在△ABC中,∵AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°.∴O1是AB的中点,即O1A=5.又O+O1A2=OA2,
∴+52=R2.∴R2=100,R=10.∴球的表面积S球=4πR2=4π×102=400π,球的体积V球=πR3=π×103=π.
答案:400π　π
[例2]　解:设正方体的棱长为a,设三个球的半径分别为r1,r2,r3.
①正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面(正方形)的中心,经过在一个平面上的四个切点及球心作截面,如图(1)所示.
所以2r1=a,r1=,S1=4π=πa2.
②球与正方体各棱的切点为每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面,如图(2).
所以2r2=a,r2=a,所以S2=4π=2πa2.
③正方体的各个顶点都在球面上,过球心作正方体的对角面得截面,如图(3)所示.
则2r3=a,∴r3=a,S3=4π=3πa2.
因此三个球的表面积之比为S1∶S2∶S3=1∶2∶3.
[例3]　 选B　如图所示,设O1,O分别为上、下底面的中心,连接OO1,则球心O2为OO1的中点,连接AO并延长交BC于D点,连接AO2.
∵AD=a,AO=AD=a,OO2=,∴A=a2+a2=a2.
故该球的表面积S球=4π×a2=πa2.
[例4]　解析:(1)如图,BE=BO2=r,
AE=AO1=R,
又OE⊥AB且BO⊥OA,
∴△AEO∽△OEB.
∴OE2=AE·BE=Rr.
∴球的表面积为4πOE2=4πRr.
(2)设球O的半径为r,则圆柱的底面半径为r,高为2r.所以==.
答案:(1)C　(2)
[针对训练]
2.选C　依题意,作出圆锥与球的轴截面,如图所示,设球的半径为r,易知轴截面三角形边AB上的高为2,因此=,
解得r=,所以圆锥内切球的表面积为4π×=2π,故选C.
3. 解析:如图所示,设球半径为R,底面中心为O'且球心为O,
∵正四棱锥P ABCD中AB=2,∴AO'=.∵PO'=4,
∴在Rt△AOO'中,AO2=AO'2+OO'2,
∴R2=()2+(4-R)2,解得R=,
∴该球的表面积为4πR2=4π×=.
答案:
4.解析:如图,由条件知,O1A=3,OO1=4,所以OA=5,所以球的表面积为100π.
答案:100π(共42张PPT)
与球有关的组合体问题
(教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学)
第2课时
课时目标
理解球的大、小圆,直线与球相切的意义.掌握球的表面积与体积公式,并能解决与球有关的组合体的相关计算问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一)　球的截面问题
题型(二)　与球有关的切、接问题
课时跟踪检测
1.球的截面
球面被经过球心的平面截得的圆叫作球的_____,被不经过球心的平面截得的圆叫作球的_____.
2.球的切线
(1)当直线与球有__________时,称直线与球相切,这一交点称为直线与球的______.
(2)过球外一点的所有切线的切线长都_____,这些切点的集合是一个_____,该圆面及所有切线围成了一个______.
3.球的表面积和体积
S球面= ______,V球= ______(其中R为球的半径).
大圆
小圆
唯一交点
切点
相等
圆
圆锥
4πR2
πR3
题型(一)　球的截面问题
01
[例1]　平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为,则此球的体积为(　　)
A.π B.4π C.4π D.6π
解析:如图,设截面圆的圆心为O',M为截面圆上任一点,
则OO'=,O'M=1.
∴OM==,
即球的半径为.
∴V=π()3=4π.
√
|思|维|建|模|
(1)有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的有关问题解决.
(2)注意一个直角三角形,即由球心距(球心到截面圆心的距离)、截面圆的半径、球的半径围成一个直角三角形,满足勾股定理.
针对训练
1.已知过球面上三点A,B,C的截面到球心的距离等于球半径的倍,
且AC=8,BC=6,AB=10,则球的表面积是　　 　,体积是　 　　.
400π
π
解析:如图,设球的半径为R,球心为O,截面圆心为O1,
则OO1=R.
在△ABC中,∵AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°.
∴O1是AB的中点,即O1A=5.又O+O1A2=OA2,
∴+52=R2.∴R2=100,R=10.∴球的表面积S球=4πR2=4π×102=400π,球的体积V球=πR3=π×103=π.
题型(二)　与球有关的切、接问题
02
角度(一)　球与正(长)方体的切接问题
　　处理与球有关的相接、相切问题时,关键是根据“接点”和“切点”作一适当的截面,将空间问题转化为平面问题.
(1)球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径.
(2)球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.
[例2]　有三个球,第一个球内切于正方体的六个面,第二个球与这个正方体的各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.
解:设正方体的棱长为a,设三个球的半径分别为r1,r2,r3.
①正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面(正方形)的中心,经过在一个平面上的四个切点及球心作截面,如图(1)所示.
所以2r1=a,r1=,S1=4π=πa2.
②球与正方体各棱的切点为每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面,如图(2).
所以2r2=a,r2=a,所以S2=4π=2πa2.
③正方体的各个顶点都在球面上,过球心作正方体的对角面得截面,如图(3)所示.
则2r3=a,∴r3=a,S3=4π=3πa2.
因此三个球的表面积之比为S1∶S2∶S3=1∶2∶3.
角度(二)　球与其他多面体的切接问题
　特殊多面体的内切球或外接球问题,要注意球心的位置与几何体的关系.一般情况下,由于球的对称性,球心总在特殊位置,比如几何体的中心,对角线的中点等,还需熟记棱长为a的正四面体的外接球的半径R=a,内切球的半径r=.
[例3]　设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a,顶点在一个球面上,则该球的表面积为(　　)
A.πa2 B.πa2 C.πa2 D.5πa2
√
解析:如图所示,设O1,O分别为上、下底面的中心,连接OO1,则球心O2为OO1的中点,连接AO并延长交BC于D点,连接AO2.
∵AD=a,AO=AD=a,OO2=,
∴A=a2+a2=a2.
故该球的表面积S球=4π×a2=πa2.
角度(三)　球与旋转体的切接问题
　　球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面圆的直径.
[例4]　(1)若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r,R,则球的表面积为(　　)
A.4π(r+R)2 B.4πr2R2
C.4πRr D.π(R+r)2
√
解析:如图,BE=BO2=r,
AE=AO1=R,
又OE⊥AB且BO⊥OA,
∴△AEO∽△OEB.
∴OE2=AE·BE=Rr.
∴球的表面积为4πOE2=4πRr.
(2)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是　　　　.
解析:设球O的半径为r,则圆柱的底面半径为r,高为2r.所以==.
针对训练
2.已知一个圆锥底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内切球的表面积为 (　　)
A.π B. C.2π D.3π
解析:依题意,作出圆锥与球的轴截面,如图所示,设球的
半径为r,易知轴截面三角形边AB上的高为2,因此=,
解得r=,所以圆锥内切球的表面积为4π×=2π,故选C.
√
3.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为　　　　.
解析:如图所示,设球半径为R,底面中心为O'且球心为O,
∵正四棱锥P ABCD中AB=2,∴AO'=.∵PO'=4,
∴在Rt△AOO'中,AO2=AO'2+OO'2,
∴R2=()2+(4-R)2,解得R=,
∴该球的表面积为4πR2=4π×=.
4.若圆柱内接于球,圆柱的底面半径为3,高为8,则球的表面积为　　　.
解析:如图,由条件知,O1A=3,OO1=4,所以OA=5,所以球的表面积为100π.
100π
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.如果两个球的半径之比为1∶3,那么这两个球的表面积之比为(　　)
A.1∶9 B.1∶27
C.1∶3 D.1∶1
解析:设两球的半径分别为r,3r,则表面积之比为=.
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2.若用与球心距离为1的平面去截球,所得截面圆的面积为π,则球的表面积为 (　　)
A.8π B. C. D.
解析:作轴截面如图所示,则OO1=1.设截面圆的半径为r,球的半径为R.由已知可得πr2=π,所以r=1,R=.故S球=4πR2=8π.
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3.如果三个球的半径之比是1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两个球的体积和的 (　　)
A.1倍 B.2倍
C.3倍 D.4倍
解析:设三个球的半径分别为x,2x,3x,则最大球的体积V大=×(3x)3=
36πx3,另两球的体积之和V和=x3+×(2x)3=12πx3,所以V大=3V和.
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4.体积为8的正方体的顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为 (　　)
A.8π B.12π
C.16π D.π
解析:因为正方体的体积为8,则其棱长为2,体对角线长为2,因此其外接球直径为2,半径为,所以其外接球的表面积为4π×()2=12π.
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5.如图,所有棱长都等于2的三棱柱ABC A1B1C1的所有顶点都在球O上,球O的体积为(　　)
A.27π B. C.28π D.π
解析:如图,三棱柱外接球的球心在上、下底面三角形中心连线的中点处(O1,O2分别是等边三角形A1B1C1和ABC的中心,点O是线段O1O2的中点,即外接球的球心),
C1O1=A1B1=×2=2,C1O==,
所以球O的体积V=πr3=π×()3=π.故选D.
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6.半球内有一个内接正方体,若正方体的棱长为,则这个半球的体积为　　　　.
解析:过正方体对角面作截面如图所示,设半球的半径为R,
因为正方体的棱长为,
所以CC'=,OC=×=.
连接OC',在Rt△C'CO中,
由勾股定理,得
CC'2+OC2=OC'2,即()2+()2=R2,
所以R=3.
故V半球=×πR3=18π.
18π
7.若一个四面体的四个面中,有两个面都是直角边长为1的等腰直角三角形,另两个面都是直角边长分别为1和的直角三角形,则该四面体的外接球的表面积为　　　　　.
解析:满足题意的四面体为如图所示的正方体中的三棱锥V ABC,
所以VA=AB=BC=1,VB=AC=,
其外接球即为该正方体的外接球,故其半径为R=.
所以该四面体外接球的表面积为4π×=3π.
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8.圆柱形玻璃容器内盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是　　　cm.
解析:设球的半径为r cm,则由题意可得3V球+V水=V圆柱,即3×πr3+πr2×8=πr2×6r,解得r=4.故球的半径是4 cm.
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9.(10分)如图,某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成的.已知半球的直径是6 cm,圆柱高为2 cm.
(1)这种“浮球”的体积是多少
解:因为半球的直径是6 cm,
所以半径R=3 cm.
所以两个半球的体积之和为V球=πR3=36π(cm3).
又V圆柱=πR2×2=18π(cm3),
所以这种“浮球”的体积V=V球+V圆柱=36π+18π=54π(cm3).
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(2)要在2 500个这种“浮球”的表面涂一层胶,如果每平方米需要涂胶100克,那么共需胶多少克
解:根据题意,上、下两个半球的表面积之和是S球=4πR2=36π(cm2),
又S圆柱侧=2πR×2=12π(cm2),所以1个“浮球”的表面积S=S球+S圆柱侧=36π+12π=48π(cm2).
所以2 500个“浮球”的表面积为2 500S=2 500×48π=120 000π(cm2)=12π(m2).
所以共需胶100×12π=1 200π(克).
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B级——重点培优
10.(多选)已知A,B,C三点均在球O的表面上,AB=BC=CA=2,且球心O到平面ABC的距离等于球半径的,则下列结论正确的是(　　)
A.球O的表面积为6π
B.球O的内接正方体的棱长为1
C.球O的外切正方体的棱长为
D.球O的内接正四面体的棱长为2
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解析:设球的半径为R,由已知可得ABC外接圆半径为r==,
∵球心O到平面ABC的距离等于球半径的,
∴R2-R2=,得R2=.球O的表面积为 4π×=6π,故A正确;
设球O的内接正方体的棱长为a,
∵正方体的体对角线即球O的直径,∴a=2R,解得a=,故B错误;
设球O的外切正方体的棱长为b,∵正方体的棱长即球O的直径长,
∴b=2R=,故C错误;
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设球O的内接正四面体的棱长为c,则正四面体的高为=c,由+=,
解得c=2,故D正确.故选AD.
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11.(2023·全国甲卷)在正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别为AB,C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有　　　　个公共点.
12
解析:如图,线段EF过正方体的中心,所以以EF为直径的球的球心即正方体的中心,球的半径为.而正方体的中心到每一条棱的距离均为,
所以以EF为直径的球与每一条棱均相切.所以共有12个公共点.
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12.已知Rt△ABC的斜边AC=2,∠ACB=,现将△ABC绕AB边旋转至△ABD的位置,使∠CBD=,则所得四面体A BCD外接球的表面积为　 .
解析:如图,取CD的中点M,连接BM,∠ACB=∠ADB=,
∠CBD=,AC=AD=2,
AB=2sin=,BC=BD=2cos=1,CD=,
所以△BCD是等腰直角三角形,则斜边CD的中点M为△BCD外接圆的圆心.
因为AB⊥BC,AB⊥BD,BC∩BD=B,BC,BD 平面BCD,
5π
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所以AB⊥平面BCD.过M作平面BCD的垂线,过AB的中点N作BM的平行线,
两直线的交点为O,点O即为四面体A BCD外接球的球心.
连接OB,因为BM=CD=,OM=NB=AB=,
所以四面体A BCD外接球的半径R=OB===,
故所求外接球的表面积为S=4πR2=5π.
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13.(15分)唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示,它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2),当这种酒杯内壁的表面积(假设内壁表面光滑,表面积为S平方厘米,半球的半径为R厘米)固定时,若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍,求R的取值范围.
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解:设圆柱的高为h,
酒杯的容积为V,则S=2πR2+2πRh,
所以πRh=-πR2.
所以V=πR3+πR2h=πR3+R=-R3+R≤πR3,
解得R≥.
又h>0,所以-πR2>0,解得R<.
所以≤R<,
即R的取值范围为.
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14.(17分)如图一个半球,挖掉一个内接直三棱柱ABC A1B1C1(棱柱各顶点均在半球面上),AB=AC,棱柱侧面BB1C1C是一个长为4的正方形.
(1)求挖掉的直三棱柱的体积;
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解:记球心为O,BC中点为E,连接AO,OE,AE,
由球的性质知BC是△ABC所在小圆直径,
又BB1C1C是一个长为4的正方形,
因此OE=AE=2,
球半径为R=AO==2,
挖掉的直三棱柱的体积V=S△ABC·BB1=×4×2×4=16.
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(2)求剩余几何体的表面积.
解:由(1)知AC==2,==2×4=8,
S△ABC=×4×2=4,=16,S半球=2π×(2)2+π×(2)2=24π,
所以剩余几何体表面积为S=S半球-+++2S△ABC=24π-16+2×8+2×4=24π+16-8.课时跟踪检测(四十四)　与球有关的组合体问题
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.如果两个球的半径之比为1∶3,那么这两个球的表面积之比为 (　　)
A.1∶9 B.1∶27
C.1∶3 D.1∶1
2.若用与球心距离为1的平面去截球,所得截面圆的面积为π,则球的表面积为 (　　)
A.8π B.
C. D.
3.如果三个球的半径之比是1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两个球的体积和的 (　　)
A.1倍 B.2倍
C.3倍 D.4倍
4.体积为8的正方体的顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为 (　　)
A.8π B.12π
C.16π D.π
5.如图,所有棱长都等于2的三棱柱ABC A1B1C1的所有顶点都在球O上,球O的体积为 (　　)
A.27π B.
C.28π D.π
6.半球内有一个内接正方体,若正方体的棱长为,则这个半球的体积为　　　　.
7.若一个四面体的四个面中,有两个面都是直角边长为1的等腰直角三角形,另两个面都是直角边长分别为1和的直角三角形,则该四面体的外接球的表面积为　　　　　.
8.圆柱形玻璃容器内盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,
水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是　　　cm.
9.(10分)如图,某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成的.已知半球的直径是6 cm,圆柱高为2 cm.
(1)这种“浮球”的体积是多少
(2)要在2 500个这种“浮球”的表面涂一层胶,如果每平方米需要涂胶100克,那么共需胶多少克
B级——重点培优
10.(多选)已知A,B,C三点均在球O的表面上,AB=BC=CA=2,且球心O到平面ABC的距离等于球半径的,则下列结论正确的是 (　　)
A.球O的表面积为6π
B.球O的内接正方体的棱长为1
C.球O的外切正方体的棱长为
D.球O的内接正四面体的棱长为2
11.(2023·全国甲卷)在正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别为AB,C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有　　　　个公共点.
12.已知Rt△ABC的斜边AC=2,∠ACB=,现将△ABC绕AB边旋转至△ABD的位置,使∠CBD=,则所得四面体A BCD外接球的表面积为　　　　　.
13.(15分)唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示,它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2),当这种酒杯内壁的表面积(假设内壁表面光滑,表面积为S平方厘米,半球的半径为R厘米)固定时,若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍,求R的取值范围.
14.(17分)如图一个半球,挖掉一个内接直三棱柱ABC A1B1C1(棱柱各顶点均在半球面上),AB=AC,棱柱侧面BB1C1C是一个长为4的正方形.
(1)求挖掉的直三棱柱的体积;
(2)求剩余几何体的表面积.
课时跟踪检测(四十四)
1．选A　设两球的半径分别为r,3r，则表面积之比为＝.
2．选A　作轴截面如图所示，则OO1＝1.设截面圆的半径为r，球的半径为R.由已知可得πr2＝π，所以r＝1，R＝.故S球＝4πR2＝8π.
3．选C　设三个球的半径分别为x,2x,3x，则最大球的体积V大＝×(3x)3＝36πx3，另两球的体积之和V和＝x3＋×(2x)3＝12πx3，所以V大＝3V和．
4．选B　因为正方体的体积为8，则其棱长为2，体对角线长为2，因此其外接球直径为2，半径为，所以其外接球的表面积为4π×()2＝12π.
5．选D　如图，三棱柱外接球的球心在上、下底面三角形中心连线的中点处(O1，O2分别是等边三角形A1B1C1和ABC的中心，点O是线段O1O2的中点，即外接球的球心)，C1O1＝A1B1＝×2＝2，C1O＝＝，所以球O的体积V＝πr3＝π×()3＝π.故选D.
6．解析：过正方体对角面作截面如图所示，设半球的半径为R，因为正方体的棱长为，所以CC′＝，OC＝×＝.连接OC′，在Rt△C′CO中，由勾股定理，得CC′2＋OC2＝OC′2，即()2＋()2＝R2，
所以R＝3.故V半球＝×πR3＝18π.
答案：18π
7．解析：满足题意的四面体为如图所示的正方体中的三棱锥V ABC，所以VA＝AB＝BC＝1，VB＝AC＝，其外接球即为该正方体的外接球，故其半径为R＝.所以该四面体外接球的表面积为4π×2＝3π.
答案：3π
8．解析：设球的半径为r cm，则由题意可得3V球＋V水＝V圆柱，即3×πr3＋πr2×8＝πr2×6r，解得r＝4.故球的半径是4 cm.
答案：4
9．解：(1)因为半球的直径是6 cm，所以半径R＝3 cm.
所以两个半球的体积之和为V球＝πR3＝36π(cm3)．
又V圆柱＝πR2×2＝18π(cm3)，所以这种“浮球”的体积V＝V球＋V圆柱＝36π＋18π＝54π(cm3)．
(2)根据题意，上、下两个半球的表面积之和是S球＝4πR2＝36π(cm2)，
又S圆柱侧＝2πR×2＝12π(cm2)，所以1个“浮球”的表面积S＝S球＋S圆柱侧＝36π＋12π＝48π(cm2)．
所以2 500个“浮球”的表面积为2 500S＝2 500×48π＝120 000π(cm2)＝12π(m2)．所以共需胶100×12π＝1 200π(克)．
10．选AD　设球的半径为R，由已知可得ABC外接圆半径为r＝＝，∵球心O到平面ABC的距离等于球半径的，∴R2－R2＝，得R2＝.球O的表面积为4π×＝6π，故A正确；设球O的内接正方体的棱长为a，∵正方体的体对角线即球O的直径，∴a＝2R，解得a＝，故B错误；设球O的外切正方体的棱长为b，∵正方体的棱长即球O的直径长，∴b＝2R＝，故C错误；设球O的内接正四面体的棱长为c，则正四面体的高为＝c，由2＋2＝2，解得c＝2，故D正确．故选AD.
11．解析：如图,线段EF过正方体的中心,所以以EF为直径的球的球心即正方体的中心,球的半径为.而正方体的中心到每一条棱的距离均为，所以以EF为直径的球与每一条棱均相切．所以共有12个公共点．
答案：12
12．解析：如图，取CD的中点M，连接BM，∠ACB＝∠ADB＝，∠CBD＝，AC＝AD＝2，
AB＝2sin ＝，BC＝BD＝2cos ＝1，CD＝，
所以△BCD是等腰直角三角形，则斜边CD的中点M为△BCD外接圆的圆心．
因为AB⊥BC，AB⊥BD，BC∩BD＝B，BC，BD 平面BCD，
所以AB⊥平面BCD.过M作平面BCD的垂线，过AB的中点N作BM的平行线，
两直线的交点为O，点O即为四面体A BCD外接球的球心．
连接OB，因为BM＝CD＝，OM＝NB＝AB＝，
所以四面体A BCD外接球的半径R＝OB＝＝＝，
故所求外接球的表面积为S＝4πR2＝5π.
答案：5π
13．解：设圆柱的高为h，
酒杯的容积为V，则S＝2πR2＋2πRh，
所以πRh＝－πR2.
所以V＝πR3＋πR2h＝πR3＋R＝－R3＋R≤πR3，
解得R≥ .
又h>0，所以－πR2>0，解得R＜ .
所以≤R＜，
即R的取值范围为.
14．解：(1)记球心为O，BC中点为E，连接AO，OE，AE，
由球的性质知BC是△ABC所在小圆直径，又BB1C1C是一个长为4的正方形，
因此OE＝AE＝2，球半径为R＝AO＝＝2，
挖掉的直三棱柱的体积V＝S△ABC·BB1＝×4×2×4＝16.
(2)由(1)知AC＝＝2，SACC1A1＝SABB1A1＝2×4＝8，
S△ABC＝×4×2＝4，SBCC1B1＝16，S半球＝2π×(2)2＋π×(2)2＝24π，
所以剩余几何体表面积为S＝S半球－SBCC1B1＋SAA1C1C＋SABB1A1＋2S△ABC＝24π－16＋2×8＋2×4＝24π＋16－8.

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