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14.3.2　频率分布直方图(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表,画频率分布直方图、折线图.
2.学会应用频率分布直方图分析个体在总体中的分布位置,体会频率分布直方图的特点.
1.频率分布直方图
把横轴均分成若干段,每一段对应的长度称为　　　,然后以此段为底作矩形,它的高等于该组的　　　,这样得出一系列的矩形,每个矩形的面积恰好是该组的频率,这些矩形就构成了直方图.我们将这种直方图称为频率分布直方图.
2.频率折线图
将频率分布直方图中各个矩形的上底边的　　　　顺次连接起来,并将两边端点向外延伸半个　　　　,就得到频率折线图,简称折线图.
基础落实训练
1.从一群学生中抽取一个一定容量的样本对他们的学习成绩进行分析,前三组是不超过80分的频数之和为20,其频率之和为0.4,则抽取的样本的容量为 (　　)
A.100 B.80
C.20 D.50
2.将容量为n的样本中的数据分成6组,绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1,且前三组数据的频数之和等于27,则n的值为 (　　)
A.20 B.27 C.33 D.60
3.某高中随机选取100名学生一次数学统测测试成绩,分为6组:[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),
[90,95],绘制了频率分布直方图如图所示,则成绩在区间[70,85)内的学生有 (　　)
A.35名 B.50名
C.60名 D.65名
题型(一)　频数与频率的关系
[例1]　(多选)肥胖不仅影响了个人形象,还会增加各种疾病发生的机率,近几年,减肥行业风生水起.为了了解运动健身减肥的效果,某健身房跟踪调查了20名肥胖者,把健身前后他们的体重(单位:kg)制成如下表格.
调查日期 2022年9月1日
体重区间 [80,90) [90,100) [100,110) [110,120]
频率 0 30% 50% 20%
调查日期 2023年1月1日
体重区间 [80,90) [90,100) [100,110) [110,120]
频率 10% 40% 50% 0
对比健身前后,关于这20名肥胖者,下面结论正确的是 (　　)
A.健身后,体重在区间[90,100)内的频数增加值为2
B.健身后,原来体重在区间[110,120)内的肥胖者体重都有减少
C.原来体重在[80,90)和[90,100)内的人减肥失败
D.原来体重在区间[100,110)内的人减肥没有效果
听课记录:
　　|思|维|建|模|
　　频率反映了相对总数而言的相对强度,其携带的总体信息要超过频数,频数受总体数量影响较大,所以频率能客观地反映总体分布,在生活中,经常用样本的频率分布去估计总体的频率分布.
　　[针对训练]
1.在抽查某批产品尺寸的过程中,样本尺寸数据的频率分布表如下,则m等于 (　　)
分组 [100, 200) [200, 300) [300, 400) [400, 500) [500, 600) [600, 700]
频数 10 30 40 80 20 m
频率 0.05 0.15 0.2 0.4 a b
A.40 B.30
C.20 D.10
2.一个样本的容量为72,分成5组,已知第一、五组的频数都为8,第二、四组的频率都为,则第三组的频数为　　　　.
题型(二)　画频率分布直方图
[例2]　从某校高三学生中抽取50名参加数学竞赛,成绩分组(单位:分)及各组的频数如下:
[40,50),2;[50,60),3;[60,70),10;[70,80),15;[80,90),12;[90,100],8.
(1)列出样本的频率分布表(含累积频率);
(2)画出频率分布直方图;
(3)估计成绩在[60,90)分的学生比例.
听课记录:
　　|思|维|建|模|
绘制频率分布直方图的步骤
(1)计算极差:一组数据中最大值与最小值的差;
(2)确定组距与组数:组数k=,若k∈Z,则组数 为k;若k Z,则组数为不小于k的最小整数;
(3)分组:通常对组内数值所在的区间取左闭右开区间,最后一组是闭区间;
(4)列表:一般分四列:分组、频数、频率、;
(5)画频率分布直方图:在频率分布直方图中,纵轴表示,数据落在各小组内的频率用各小矩形的面积来表示,各小矩形的面积的总和等于1.
　　[针对训练]
3.某中学从高一年级随机抽取50名学生进行智力测验,其得分如下(单位:分):
48　64　52　86　71　48　64　41　86　79
71　68　82　84　68　64　62　68　81　57
90　52　74　73　56　78　47　66　55　64
56　88　69　40　73　97　68　56　67　59
70　52　79　44　55　69　62　58　32　58
根据所给的数据,回答下列问题:
(1)这次测验成绩的最高分和最低分分别是多少
(2)将区间[30,100]平均分成7个小区间,试列出这50名学生智力测验成绩的频率分布表,进而画出频率分布直方图和频率折线图.
题型(三)　频率分布直方图的应用
[例3]　为了了解高一年级学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图所示),图中从左到右各小矩形的面积之比为 2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组的频数为12.
(1)第二小组的频率是多少 样本容量是多少
(2)若次数在110以上(含110次)为达标,则该校高一年级全体学生的达标率约是多少
听课记录:
　　|思|维|建|模|
(1)频率分布直方图的性质
①因为小矩形的面积=组距×=频率,所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样,频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.
②在频率分布直方图中,各小矩形的面积之和等于1.
③=样本容量.
(2)频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性,由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率,可近似地估计总体在这一范围内的可能性.
　　[针对训练]
4.从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图.
分组 频数
[0,2) 6
[2,4) 8
[4,6) 17
[6,8) 22
[8,10) 25
[10,12) 12
[12,14) 6
[14,16) 2
[16,18] 2
合计 100
(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的比例;
(2)求频率分布直方图中a,b的值.
14.3.2　频率分布直方图
课前预知教材
1.组距　　2.中点　组距
[基础落实训练]
1.选D　设抽取的样本的容量为n,所以=0.4,即n=50.
2.选D　∵n·=27,∴n=60.故选D.
3.选D　∵(0.05+0.06+a+0.03+0.01+0.01)×5=1,∴a=0.04,∴100×(0.06+0.04+0.03)×5=65(名).
课堂题点研究
[例1]　选AB　原来体重在区间[90,100)内的频数为20×30%=6,健身后体重在此区间内的频数为20×40%=8,频数增加值为2,A正确;原来体重在区间[110,120)内的频数为20×20%=4,而健身后在此区间内的频数为0,说明此前的肥胖者体重都有减少,B正确;健身后体重在区间[100,110)内的频数没有变化,但是并不能说原来体重在区间[100,110)内的人减肥没有效果,因为健身前后这个区间的人不一定是相同的,同理,也不能说原来体重在[80,90)和[90,100)内的人减肥失败,C、D均不正确.
[针对训练]
1.选C　∵频率、频数的关系为频率=,∴=.∴a=0.1.∵表中各组的频率之和等于1,∴b=1-0.9=0.1,m=20.
2.解析:因为频率=,所以第二、四组的频数都为72×=16.所以第三组的频数为72-2×8-2×16=24.
答案:24
[例2]　解:(1)频率分布表如下:
成绩分组 频数 频率 累积频率
[40,50) 2 0.04 0.04
[50,60) 3 0.06 0.1
[60,70) 10 0.2 0.3
[70,80) 15 0.3 0.6
[80,90) 12 0.24 0.84
[90,100] 8 0.16 1.00
合计 50 1.00
(2)频率分布直方图如图所示.
(3)学生成绩在[60,90)分的频率为0.2+0.3+0.24=0.74=74%,所以估计成绩在[60,90)分的学生比例为74%.
[针对训练]
3.解:(1)这次测验成绩的最高分是97分,最低分是32分.
(2)根据题意,列出样本的频率分布表如下:
分组 频数 频率
[30,40) 1 0.02
[40,50) 6 0.12
[50,60) 12 0.24
[60,70) 14 0.28
[70,80) 9 0.18
[80,90) 6 0.12
[90,100] 2 0.04
合计 50 1.00
频率分布直方图和频率折线图如图所示.
[例3]　解:(1)频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的,
因此第二小组的频率为=0.08.
因为第二小组的频率=,
所以样本容量===150.
(2)由频率分布直方图可知,该校高一年级全体学生的达标率约为×100%=88%.
[针对训练]
4.解:(1)根据频数分布表知,100名学生中一周课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10(名),
所以样本中的学生一周课外阅读时间少于12小时的频率是1-=0.9.
故从该校随机选取一名学生,估计其该周课外阅读时间少于12小时的比例为0.9.
(2)课外阅读时间落在[4,6)组内的有17人,频率为0.17,所以a===0.085.
课外阅读时间落在[8,10)组内的有25人,频率为0.25,
所以b===0.125.(共56张PPT)
14.3.2
频率分布直方图
(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表,画频率分布直方图、折线图.
2.学会应用频率分布直方图分析个体在总体中的分布位置,体会频率分布直方图的特点.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.频率分布直方图
把横轴均分成若干段,每一段对应的长度称为_____,然后以此段为底作矩形,它的高等于该组的_______,这样得出一系列的矩形,每个矩形的面积恰好是该组的频率,这些矩形就构成了直方图.我们将这种直方图称为频率分布直方图.
2.频率折线图
将频率分布直方图中各个矩形的上底边的_____顺次连接起来,并将两边端点向外延伸半个_____,就得到频率折线图,简称折线图.
组距
中点
组距
基础落实训练
1.从一群学生中抽取一个一定容量的样本对他们的学习成绩进行分析,前三组是不超过80分的频数之和为20,其频率之和为0.4,则抽取的样本的容量为 (　　)
A.100 B.80
C.20 D.50
解析:设抽取的样本的容量为n,所以=0.4,即n=50.
√
2.将容量为n的样本中的数据分成6组,绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1,且前三组数据的频数之和等于27,则n的值为 (　　)
A.20 B.27
C.33 D.60
解析:∵n·=27,∴n=60.故选D.
√
3.某高中随机选取100名学生一次数学统测测试成绩,分为6组:[65,70),
[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95],绘制了频率分布直方图如图所示,则成绩在区间[70,85)内的学生有 (　　)
A.35名 B.50名 C.60名 D.65名
√
解析:∵(0.05+0.06+a+0.03+0.01+0.01)×5=1,∴a=0.04,∴100×
(0.06+0.04+0.03)×5=65(名).
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一)　频数与频率的关系
[例1]　(多选)肥胖不仅影响了个人形象,还会增加各种疾病发生的机率,近几年,减肥行业风生水起.为了了解运动健身减肥的效果,某健身房跟踪调查了20名肥胖者,把健身前后他们的体重(单位:kg)制成如下表格.
调查日期 2023年1月1日 体重区间 [80,90) [90,100) [100,110) [110,120]
频率 10% 40% 50% 0
调查日期 2022年9月1日 体重区间 [80,90) [90,100) [100,110) [110,120]
频率 0 30% 50% 20%
对比健身前后,关于这20名肥胖者,下面结论正确的是 (　　)
A.健身后,体重在区间[90,100)内的频数增加值为2
B.健身后,原来体重在区间[110,120)内的肥胖者体重都有减少
C.原来体重在[80,90)和[90,100)内的人减肥失败
D.原来体重在区间[100,110)内的人减肥没有效果
解析:原来体重在区间[90,100)内的频数为20×30%=6,健身后体重在此区间内的频数为20×40%=8,频数增加值为2,A正确;
原来体重在区间[110,120)内的频数为20×20%=4,而健身后在此区间内的频数为0,说明此前的肥胖者体重都有减少,B正确;
健身后体重在区间[100,110)内的频数没有变化,但是并不能说原来体重在区间[100,110)内的人减肥没有效果,因为健身前后这个区间的人不一定是相同的,同理,也不能说原来体重在[80,90)和[90,100)内的人减肥失败,C、D均不正确.
√
√
|思|维|建|模|
　　频率反映了相对总数而言的相对强度,其携带的总体信息要超过频数,频数受总体数量影响较大,所以频率能客观地反映总体分布,在生活中,经常用样本的频率分布去估计总体的频率分布.
针对训练
1.在抽查某批产品尺寸的过程中,样本尺寸数据的频率分布表如下,则m等于 (　　)
分组 [100,200) [200,300) [300,400) [400,500) [500,600) [600,700]
频数 10 30 40 80 20 M
频率 0.05 0.15 0.2 0.4 a B
A.40 B.30
C.20 D.10
√
解析:∵频率、频数的关系为频率=,∴=.∴a=0.1.
∵表中各组的频率之和等于1,∴b=1-0.9=0.1,m=20.
2.一个样本的容量为72,分成5组,已知第一、五组的频数都为8,第二、四组的频率都为,则第三组的频数为　　　　.
解析:因为频率=,所以第二、四组的频数都为72×=16.所以第三组的频数为72-2×8-2×16=24.
24
题型(二)　画频率分布直方图
[例2]　从某校高三学生中抽取50名参加数学竞赛,成绩分组(单位:分)及各组的频数如下:
[40,50),2;[50,60),3;[60,70),10;[70,80),15;[80,90),12;[90,100],8.
(1)列出样本的频率分布表(含累积频率);
解:频率分布表如下:
成绩分组 频数 频率 累积频率
[40,50) 2 0.04 0.04
[50,60) 3 0.06 0.1
[60,70) 10 0.2 0.3
[70,80) 15 0.3 0.6
[80,90) 12 0.24 0.84
[90,100] 8 0.16 1.00
合计 50 1.00
(2)画出频率分布直方图;
解:频率分布直方图如图所示.
(3)估计成绩在[60,90)分的学生比例.
解:学生成绩在[60,90)分的频率为0.2+0.3+0.24=0.74=74%,
所以估计成绩在[60,90)分的学生比例为74%.
|思|维|建|模|
绘制频率分布直方图的步骤
(1)计算极差:一组数据中最大值与最小值的差;
(2)确定组距与组数:组数k=,若k∈Z,则组数为k;若k Z,则组数为不小于
k的最小整数;
(3)分组:通常对组内数值所在的区间取左闭右开区间,最后一组是闭区间;
(4)列表:一般分四列:分组、频数、频率、;
(5)画频率分布直方图:在频率分布直方图中,纵轴表示,数据落在各小组
内的频率用各小矩形的面积来表示,各小矩形的面积的总和等于1.
针对训练
3.某中学从高一年级随机抽取50名学生进行智力测验,其得分如下(单位:分):
48　64　52　86　71　48　64　41　86　79
71　68　82　84　68　64　62　68　81　57
90　52　74　73　56　78　47　66　55　64
56　88　69　40　73　97　68　56　67　59
70　52　79　44　55　69　62　58　32　58
根据所给的数据,回答下列问题:
(1)这次测验成绩的最高分和最低分分别是多少
解:这次测验成绩的最高分是97分,最低分是32分.
(2)将区间[30,100]平均分成7个小区间,试列出这50名学生智力测验成绩的频率分布表,进而画出频率分布直方图和频率折线图.
解:根据题意,列出样本的频率分布表如下:
分组 频数 频率
[30,40) 1 0.02
[40,50) 6 0.12
[50,60) 12 0.24
[60,70) 14 0.28
[70,80) 9 0.18
[80,90) 6 0.12
[90,100] 2 0.04
合计 50 1.00
频率分布直方图和频率折线图如图所示.
题型(三)　频率分布直方图的应用
[例3]　为了了解高一年级学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图所示),图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组的频数为12.
(1)第二小组的频率是多少 样本容量是多少
解:频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的,
因此第二小组的频率为
=0.08.
因为第二小组的频率=,
所以样本容量===150.
(2)若次数在110以上(含110次)为达标,则该校高一年级全体学生的达标率约是多少
解:由频率分布直方图可知,该校高一年级全体学生的达标率约为
×100%=88%.
|思|维|建|模|
(1)频率分布直方图的性质
①因为小矩形的面积=组距×=频率,所以各小矩形的面积表示
相应各组的频率.这样,频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.
②在频率分布直方图中,各小矩形的面积之和等于1.
③=样本容量.
(2)频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性,由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率,可近似地估计总体在这一范围内的可能性.
针对训练
4.从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图.
分组 频数
[0,2) 6
[2,4) 8
[4,6) 17
[6,8) 22
[8,10) 25
[10,12) 12
[12,14) 6
[14,16) 2
[16,18] 2
合计 100
(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的比例;
解:根据频数分布表知,100名学生中一周课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10(名),
所以样本中的学生一周课外阅读时间少于12小时的频率是1-=0.9.
故从该校随机选取一名学生,估计其该周课外阅读时间少于12小时的比例为0.9.
(2)求频率分布直方图中a,b的值.
解:课外阅读时间落在[4,6)组内的有17人,频率为0.17,所以a===0.085.
课外阅读时间落在[8,10)组内的有25人,频率为0.25,
所以b===0.125.
课时跟踪检测
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
A级——达标评价
1.一个容量为20的样本数据,分组与频数如下表:
分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70]
频数 2 3 4 5 4 2
则样本在[10,50)内的频率为 (　　)
A.0.5 B.0.24 C.0.6 D.0.7
解析:因为样本在[10,50)内的频数为2+3+4+5=14,样本容量为20,所以在[10,50)内的频率为=0.7.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
2.(多选)容量为100的样本,其数据分布在[2,18]内,将样本数据分为4组:[2,6),
[6,10),[10,14),[14,18],得到频率分布直方图如图所示,则下列说法正确的是 (　　)
A.样本数据分布在[6,10)内的频率为0.32
B.样本数据分布在[10,14)内的频数为40
C.样本数据分布在[2,10)内的频数为40
D.估计总体数据大约有10%分布在[10,14)内
√
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
解析:由题图可得,样本数据分布在[6,10)内的频率为0.08×4=0.32,所以A正确.
由题图可得,样本数据分布在[10,14)内的频数为100×(0.1×4)=40,所以B正确.
由题图可得,样本数据分布在[2,10)内的频数为100×(0.02+0.08)×4
=40,所以C正确.
由题图可估计,总体数据分布在[10,14)内的比例为0.1×4=0.4=40%,所以D错误.故选ABC.
1
5
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12
13
3
4
2
3.已知一组数据有40个,把它分成六组,第一组到第四组的频数分别为 10,5,7,6,第五组的频率是0.20,则第六组的频率是 (　　)
A.0.10 B.0.12
C.0.15 D.0.18
解析:由已知条件可得,第一组到第四组数据的频率分别为0.25,0.125,
0.175,0.15,又这六组的频率之和是1,因此,第六组的频率为1-0.25-0.125-0.175-0.15-0.20=0.10.故选A.
√
1
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6
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10
11
12
13
3
4
2
4.在抽查产品尺寸的过程中,将其尺寸分成若干组,[a,b)是其中的一组,该组的频率为m,在频率分布直方图中该组的小长方形的高为h,则|a-b|等于 (　　)
A.hm B. C. D.h+m
解析:=h,故|a-b|=组距==.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3
4
2
5.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽取了一个容量为n的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出(单位:元)在[50,60]内的学生有30人,则n的值为 (　　)
A.100 B.1 000 C.90 D.900
解析:由题意可知,前三组的频率之和为(0.01+0.024+0.036)×10=0.7,
∴支出在[50,60]内的频率为1-0.7=0.3,∴n==100.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3
4
2
6.在样本的频率分布直方图中,共有5个小长方形,已知中间一个小长方形面积是其余4个小长方形面积之和的,且中间一组的频数为10,则样本容量是　　　　.
解析:设中间长方形的面积为x,样本容量为n.
由题意得x=(1-x),解得x=,即中间一组的频率为,∴=,n=40.
40
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3
4
2
7.现对某类文物进行某种物性指标检测,从1 000件中随机抽取了200件,测量物性指标值,得到如下频率分布直方图,据此估计这1 000件文物中物性指标值不小于95的件数为　　　　.
670
1
5
6
7
8
9
10
11
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13
3
4
2
解析:抽取的200件文物中,物性指标值不小于95的频率为(0.033+
0.024+0.008+0.002)×10=0.67,由此估计出1 000件文物中,物性指标值不小于95的频率约为0.67,∴估计这1 000件文物中物性指标值不小于95的有1 000×0.67=670件.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3
4
2
8.在一次竞选中,规定一个人获胜的条件是:
(1)在竞选中得票最多;
(2)得票数不低于总票数的一半.
如果在计票时,周鹏得票数据丢失.
候选人 赵明 钱红 孙华 李丽 周鹏
得票数 300 100 30 60 x
请问如果周鹏获胜,那么周鹏的得票数x的最小值为　　　　.
490
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3
4
2
解析:根据条件,如果周鹏获胜,周鹏的得票数x不低于总票数的一半,
即≥,解得x≥490,且x∈N,即周鹏得票数至少为490票.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3
4
2
9.(15分)对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下表.
寿命/h [100,200) [200,300) [300,400) [400,500) [500,600]
个数 20 30 80 40 30
(1)制作频率分布表,并绘制频率分布直方图;
解:由题意得,样本总数为20+30+80+40+30=200,
电子元件寿命在[100,200)的频率为=0.10,
电子元件寿命在[200,300)的频率为=0.15,
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3
4
2
电子元件寿命在[300,400)的频率为=0.40,
电子元件寿命在[400,500)的频率为=0.20,
电子元件寿命在[500,600]的频率为=0.15,
频率分布表如下,
电子元件寿命分组 频数 频率
[100,200) 20 0.10
[200,300) 30 0.15
[300,400) 80 0.40
[400,500) 40 0.20
[500,600] 30 0.15
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3
4
2
各组的频率/组距的值依次为
0.001 0,0.001 5,0.004 0,0.002 0,0.001 5.
频率分布直方图如下.
1
5
6
7
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13
3
4
2
(2)估计电子元件寿命在400 h以上的在总体中占的比例.
解:电子元件寿命在400 h以上的频率为0.20+0.15=0.35.
据此可以估计电子元件的寿命在400 h以上的在总体中占的比例为35%.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3
4
2
10.(多选)统计某校n名学生的某次数学同步练习成绩(满分150分),根据成绩依次分成六组:[90,100),[100,110),[110,120),
[120,130),[130,140),[140,150],得到频率分布直方图如图所示,若不低于140分的人数为110,则下列说法正确的是(　　)
A.m=0.031
B.n=800
C.100分以下的人数为60
D.成绩在区间[120,140)内的人数占大半
B级——重点培优
√
√
1
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6
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8
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12
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3
4
2
解析:由题图可知,10×(m+0.020+0.016+0.016+0.011+0.006)=1,
解得m=0.031,故A正确;
因为不低于140分的频率为0.011×10=0.11,所以n==1 000,
故B错误;
因为100分以下的频率为0.006×10=0.06,所以100分以下的人数为
1 000×0.06=60,故C正确;
成绩在区间[120,140)内的频率为0.031×10+0.016×10=0.47<0.5,
人数占小半,故D错误.故选AC.
1
5
6
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8
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12
13
3
4
2
11.(多选)某城市为促进家庭节约用电,计划制订阶梯电价,阶梯电价按年月均用电量从低到高分为一、二、三、四档,属于第一档电价的家庭约占10%,属于第二档电价的家庭约占40%,属于第三档电价的家庭约占30%,属于第四档电价的家庭约占20%.为确定各档之间的界限,从该市的家庭中抽查了部分家庭,调查了他们上一年度的年月均用电量(单位:千瓦时),由调查结果得到如图所示的频率分布直方图,由此可以做出的合理判断是 (　　)
1
5
6
7
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9
10
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12
13
3
4
2
A.年月均用电量不超过80千瓦时的家庭属于第一档
B.年月均用电量低于200千瓦时,且超过80千瓦时的家庭属于第二档
C.年月均用电量低于240千瓦时,且超过200千瓦时的家庭属于第三档
D.年月均用电量超过240千瓦时的家庭属于第四档
解析:年月均用电量不超过80千瓦时的家庭频率为0.002 5×40=0.10,属于第一档,
A正确;
年月均用电量低于200千瓦时,且超过80千瓦时的家庭频率(0.004 0+0.006 0+
0.004 5)×40=0.55>0.4,所以年月均用电量在[160,200)的不属于第二档,B错误;
√
√
√
1
5
6
7
8
9
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13
3
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2
年月均用电量低于240千瓦时的家庭频率为(0.002 5+0.004 0+0.006 0+0.004 5+0.003 0)×40=0.80,年月均用电量低于240千瓦时,且超过200千瓦时的家庭频率为0.003 0×40=0.12<0.3,属于第三档,C正确;
年月均用电量超过240千瓦时的家庭频率为(0.002 0+0.001 0×3)×
40=0.20,属于第四档,D正确.故选ACD.
1
5
6
7
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13
3
4
2
12.某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),
[104,106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是　　　　.
90
1
5
6
7
8
9
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11
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13
3
4
2
解析:∵样本中产品净重小于100克的频率为(0.050+0.100)×2=0.3,频数为36,
∴样本容量为=120.
∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,
∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120×0.75=90.
1
5
6
7
8
9
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11
12
13
3
4
2
13.(17分)随机抽取某校高二年级100名学生,测得他们的身高(单位:cm),按照区间[160,165),[165,170),[170,175),[175,180),[180,185]分组,得到样本身高的频率分布直方图如图所示.
(1)求频率分布直方图中x的值及身高在170 cm及以上的学生人数;
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3
4
2
解:由频率分布直方图可知,5×(0.01+0.07+x+0.04+0.02)=1,解得x=0.06.身高在170 cm 及以上的学生人数为100×5×(0.06+0.04+0.02)=60.
(2)将身高在[170,175),[175,180),[180,185]区间内的学生依次记为A,B,C三个组,用分层抽样的方法从这三个组中抽取6人,求这三个组分别抽取的学生人数.
解:A组人数为100×5×0.06=30,
B组人数为100×5×0.04=20,
C组人数为100×5×0.02=10.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3
4
2
由题意可知,
A组抽取的学生人数为6×=3,
B组抽取的学生人数为6×=2,
C组抽取的学生人数为6×=1.课时跟踪检测(五十)　频率分布直方图
(满分90分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.一个容量为20的样本数据,分组与频数如下表:
分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70]
频数 2 3 4 5 4 2
则样本在[10,50)内的频率为 (　　)
A.0.5 B.0.24
C.0.6 D.0.7
2.(多选)容量为100的样本,其数据分布在[2,18]内,将样本数据分为4组:[2,6),[6,10),[10,14),[14,18],
得到频率分布直方图如图所示,则下列说法正确的是 (　　)
A.样本数据分布在[6,10)内的频率为0.32
B.样本数据分布在[10,14)内的频数为40
C.样本数据分布在[2,10)内的频数为40
D.估计总体数据大约有10%分布在[10,14)内
3.已知一组数据有40个,把它分成六组,第一组到第四组的频数分别为 10,5,7,6,第五组的频率是0.20,
则第六组的频率是 (　　)
A.0.10 B.0.12
C.0.15 D.0.18
4.在抽查产品尺寸的过程中,将其尺寸分成若干组,[a,b)是其中的一组,该组的频率为m,在频率分布直方图中该组的小长方形的高为h,则|a-b|等于 (　　)
A.hm B.
C. D.h+m
5.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽取了一个容量为n的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出(单位:元)在[50,60]内的学生有30人,则n的值为 (　　)
A.100 B.1 000
C.90 D.900
6.在样本的频率分布直方图中,共有5个小长方形,已知中间一个小长方形面积是其余4个小长方形面积之和的,且中间一组的频数为10,则样本容量是　　　　.
7.现对某类文物进行某种物性指标检测,从1 000件中随机抽取了200件,测量物性指标值,得到如下频率分布直方图,据此估计这1 000件文物中物性指标值不小于95的件数为　　　　.
8.在一次竞选中,规定一个人获胜的条件是:
(1)在竞选中得票最多;
(2)得票数不低于总票数的一半.
如果在计票时,周鹏得票数据丢失.
候选人 赵明 钱红 孙华 李丽 周鹏
得票数 300 100 30 60 x
请问如果周鹏获胜,那么周鹏的得票数x的最小值为　　　　.
9.(15分)对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下表.
寿命/h [100,200) [200,300) [300,400) [400,500) [500,600]
个数 20 30 80 40 30
(1)制作频率分布表,并绘制频率分布直方图;
(2)估计电子元件寿命在400 h以上的在总体中占的比例.
B级——重点培优
10.(多选)统计某校n名学生的某次数学同步练习成绩(满分150分),根据成绩依次分成六组:[90,100),
[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150],得到频率分布直方图如图所示,若不低于140分的人数为110,则下列说法正确的是 (　　)
A.m=0.031
B.n=800
C.100分以下的人数为60
D.成绩在区间[120,140)内的人数占大半
11.(多选)某城市为促进家庭节约用电,计划制订阶梯电价,阶梯电价按年月均用电量从低到高分为一、二、三、四档,属于第一档电价的家庭约占10%,属于第二档电价的家庭约占40%,属于第三档电价的家庭约占30%,属于第四档电价的家庭约占20%.为确定各档之间的界限,从该市的家庭中抽查了部分家庭,调查了他们上一年度的年月均用电量(单位:千瓦时),由调查结果得到如图所示的频率分布直方图,由此可以做出的合理判断是 (　　)
A.年月均用电量不超过80千瓦时的家庭属于第一档
B.年月均用电量低于200千瓦时,且超过80千瓦时的家庭属于第二档
C.年月均用电量低于240千瓦时,且超过200千瓦时的家庭属于第三档
D.年月均用电量超过240千瓦时的家庭属于第四档
12.某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是　　　　.
13.(17分)随机抽取某校高二年级100名学生,测得他们的身高(单位:cm),按照区间[160,165),[165,170),
[170,175),[175,180),[180,185]分组,得到样本身高的频率分布直方图如图所示.
(1)求频率分布直方图中x的值及身高在170 cm及以上的学生人数;
(2)将身高在[170,175),[175,180),[180,185]区间内的学生依次记为A,B,C三个组,用分层抽样的方法从这三个组中抽取6人,求这三个组分别抽取的学生人数.
课时跟踪检测(五十)
1．选D　因为样本在[10,50)内的频数为2＋3＋4＋5＝14，样本容量为20，所以在[10,50)内的频率为＝0.7.
2．选ABC　由题图可得,样本数据分布在[6,10)内的频率为0.08×4＝0.32，所以A正确．由题图可得，样本数据分布在[10,14)内的频数为100×(0.1×4)＝40，所以B正确．由题图可得，样本数据分布在[2,10)内的频数为100×(0.02＋0.08)×4＝40，所以C正确．由题图可估计，总体数据分布在[10,14)内的比例为0.1×4＝0.4＝40%，所以D错误．故选ABC.
3．选A　由已知条件可得，第一组到第四组数据的频率分别为0.25,0.125,0.175,0.15，又这六组的频率之和是1，因此，第六组的频率为1－0.25－0.125－0.175－0.15－0.20＝0.10.故选A.
4．选B　＝h，故|a－b|＝组距＝＝.
5．选A　由题意可知，前三组的频率之和为(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.7，∴支出在[50,60]内的频率为1－0.7＝0.3，∴n＝＝100.
6．解析：设中间长方形的面积为x，样本容量为n.由题意得x＝(1－x)，解得x＝，即中间一组的频率为，∴＝，n＝40.
答案：40
7．解析：抽取的200件文物中，物性指标值不小于95的频率为(0.033＋0.024＋0.008＋0.002)×10＝0.67，由此估计出1 000件文物中，物性指标值不小于95的频率约为0.67，
∴估计这1 000件文物中物性指标值不小于95的有1 000×0.67＝670件．
答案：670
8．解析：根据条件，如果周鹏获胜，周鹏的得票数x不低于总票数的一半，即≥，解得x≥490，且x∈N，即周鹏得票数至少为490票．
答案：490
9．解：(1)由题意得，样本总数为20＋30＋80＋40＋30＝200，
电子元件寿命在[100,200)的频率为＝0.10，
电子元件寿命在[200,300)的频率为＝0.15，
电子元件寿命在[300,400)的频率为＝0.40，
电子元件寿命在[400,500)的频率为＝0.20，
电子元件寿命在[500,600]的频率为＝0.15，
频率分布表如下，
电子元件寿命分组 频数 频率
[100,200) 20 0.10
[200,300) 30 0.15
[300,400) 80 0.40
[400,500) 40 0.20
[500,600] 30 0.15
各组的频率/组距的值依次为0.001 0,0.001 5,0.004 0,0.002 0,0.001 5.
频率分布直方图如下．
(2)电子元件寿命在400 h以上的频率为0.20＋0.15＝0.35.据此可以估计电子元件的寿命在400 h以上的在总体中占的比例为35%.
10．选AC　由题图可知，10×(m＋0.020＋0.016＋0.016＋0.011＋0.006)＝1，解得m＝0.031，故A正确；因为不低于140分的频率为0.011×10＝0.11，所以n＝＝1 000，故B错误；因为100分以下的频率为0.006×10＝0.06，所以100分以下的人数为1 000×0.06＝60，故C正确；成绩在区间[120,140)内的频率为0.031×10＋0.016×10＝0.47<0.5，人数占小半，故D错误．故选AC.
11．选ACD　年月均用电量不超过80千瓦时的家庭频率为0.002 5×40＝0.10，属于第一档，A正确；年月均用电量低于200千瓦时，且超过80千瓦时的家庭频率(0.004 0＋0.006 0＋0.004 5)×40＝0.55>0.4，所以年月均用电量在[160,200)的不属于第二档，B错误；年月均用电量低于240千瓦时的家庭频率为(0.002 5＋0.004 0＋0.006 0＋0.004 5＋0.003 0)×40＝0.80，年月均用电量低于240千瓦时，且超过200千瓦时的家庭频率为0.003 0×40＝0.12<0.3，属于第三档，C正确；年月均用电量超过240千瓦时的家庭频率为(0.002 0＋0.001 0×3)×40＝0.20，属于第四档，D正确．故选ACD.
12．解析：∵样本中产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.3，频数为36，∴样本容量为＝120.∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120×0.75＝90.
答案：90
13．解：(1)由频率分布直方图可知，5×(0.01＋0.07＋x＋0.04＋0.02)＝1，解得x＝0.06.身高在170 cm 及以上的学生人数为100×5×(0.06＋0.04＋0.02)＝60.
(2)A组人数为100×5×0.06＝30，B组人数为100×5×0.04＝20，C组人数为100×5×0.02＝10.由题意可知，A组抽取的学生人数为6×＝3，B组抽取的学生人数为6×＝2，C组抽取的学生人数为6×＝1.

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