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2024-2025学年江苏省南京市协同体九校高二下学期期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，且，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.乘积展开后共有 项．
A. B. C. D.
5.已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是( )
A. B. C. D.
6.已知，，，若，，，四点共面，则( )
A. B. C. D.
7.甲乙丙等人站在一排，且甲不在两端，乙和丙中间恰好有两人，则不同排法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.正方体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 已知向量，则向量在上的投影向量为
B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面
C. 若是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
D. 若直线的方向向量为，平面的法向量，则直线
10.已知，则下列描述正确的是( )
A.
B.
C.
D.
11.下列说法正确的是( )
A. 个不同的小球，放入个不同的盒中，共有种不同的放法
B. 个不同的小球，放入个不同的盒中，不能有空盒，共有种不同的放法
C. 个相同的小球，放入个不同的盒中，不能有空盒，共有种不同的放法
D. 个相同的小球，放入个不同的盒中，共有种不同的放法
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从，，，，这个数中任选个数，组成没有重复数字的三位数的个数为 ．
13.的展开式中含项的系数为 ．
14.如图，在平行六面体中，为的中点，，交平面为，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在三棱锥中，点为的中点，，设
试用向量表示向量
若，且，求证：平面．
16.本小题分
在二项式的展开式中．
若展开式后三项的二项式系数的和等于，求展开式中二项式系数最大的项；
若为满足的整数，且展开式中有常数项，试求的值和常数项．
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．
求异面直线与所成角的余弦值；
求点到平面的距离；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
直四棱柱中，底面为平行四边形，若分别为的中点．
证明：平面；
若，且平面与平面所成角的余弦值为，求．
19.本小题分
我们曾用“算两次”的方法发现了组合恒等式，例如，，请继续使用“算两次”的方法完成下面的探究．
计算：并与比较，你有什么发现
写出的一般性结论并证明；
证明：
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.为中点，
，
，
；
且，
为等边三角形且，
平面，
平面，
平面，
，
，
为重心，
同理可证，
平面，
平面．

16.由，
得，显然．
二项式系数中最大的项是第项与第项，
其中；
依题意，展开式中有常数项，则且，
则，常数项为

17.解：由题意可知、、两两垂直，
如图所示建立空间直角坐标系，
则，，，，
即，
所以，
即异面直线与所成角的余弦值为；
由知：，
设面的一个法向量为，
则由，，有，
取，可得，，即，
所以点到平面的距离为；
由知：，
设面的一个法向量为，
则由，，有，
取，可得，，即，
设平面与平面夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值．
18.取中点，连接
为中点，
，即四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
在直四棱柱中，平面，则，
又，则，所以平行四边形是菱形，
连接交于点，由，则，，
以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，，
设平面的一个法向量为
则，令，得，
，
又
设平面的一个法向量为，
则，解得，
，
解得，故．

19.，，
从而，；
，证明如下：
，等式左侧的系数为，
等式右侧的系数为，
而等式恒成立可得左右的的系数相等，即；
，等式左侧的系数为，
等式右侧的系数为
，
而等式恒成立可得左右的的系数相等，即得证．

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